ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 10, с. 1840-1848
УДК 519.633
СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ДЛЯ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИИ - НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ ПРИ ОДНОРОДНЫХ
УСЛОВИЯХ ДИРИХЛЕ1
© 2011 г. В. Н. Разжевайкин
(119333 Москва, Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: razzh@mail.ru Поступила в редакцию 01.03.2011 г.
Для уравнений реакции — нелинейной диффузии с однородными граничными условиями Дирихле исследуются свойства чередования устойчивых и неустойчивых стационарных унимодальных решений. Для случая постоянной диффузии приводятся формулы для функций, определяющих характер устойчивости, и приводятся результаты их применения к случаю квадратичной нелинейности у точечного члена. Библ. 5.
Ключевые слова: нелинейные уравнения реакции—диффузии, пространственные структуры, краевые условия Дирихле, устойчивость стационарных унимодальных решений.
1. ВВЕДЕНИЕ
Отсутствие пространственных структур, т.е. стационарных устойчивых непостоянных решений на неограниченной прямой и в ограниченных выпуклых областях при граничных условиях непроницаемости для уравнения реакции — плотностно зависящей диффузии (см. [1], [2]) вызывает естественный вопрос о том, какую роль в данном явлении играют краевые условия, т.е. что изменится в случае замены непроницаемости границы на условия, обеспечивающие, например, исчезновение на ней решений. Заметим, что этот случай, соответствующий в математическом выражении однородным граничным условиям Дирихле, достаточно часто возникает в прикладных задачах динамики популяционных распределений, чему примером может служить исчезновение (т.е. смерть) особей на границе области гомеостазиса в пространстве физиологически значимых параметров (см. [3]).
С другой стороны, из общей теории стабилизации решений параболических уравнений второго порядка к стационарным распределениям (см., например, обзор в [4]) следует, что с ростом времени решения равномерно сходятся в ограниченных областях (покомпактная сходимость, или стабилизация). При этом процесс стабилизации в случае уравнений типа реакции-диффузии принимает форму цепочек последовательно отстающих друг от друга бегущих волн (см. [5]), между которыми формируются плато, соответствующие устойчивым положениям равновесия соответствующей точечной задачи, которые в грубом случае чередуются с неустойчивыми, так что на хвосте последней волны устанавливается доминирующее положение равновесия, соответствующее наибольшему значению потенциала (см. ниже). Поскольку в предположении адекватности использования диффузионного описания для распределенных биологических систем должно наблюдаться исчезновение влияния граничных условий на характер асимптотического поведения решений в случае пространственных областей достаточно большого размера, то перечисленные выше результаты означают, что для истинности такого предположения необходимо наличие схожих свойств возможных предельных распределений уже на уровне чисто математической постановки для задач с нулевыми граничными условиями.
В настоящей работе показано, что упомянутые чередования устойчивых и неустойчивых стационарных решений, равно как и наличие наибольшего устойчивого можно наблюдать и для случая задачи Дирихле по крайней мере для одномерных областей произвольного размера.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-07-00398).
1840
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим уравнение реакции—диффузии вида
щ = Б( и)(Щ( и) ах) х + Д и) (1)
с вещественными значениями и = и(х, 1) е К на ограниченном отрезке пространственной переменной х е I = [—I, I], I > 0. Исходные функции Б(и), Щи), Д(и) уравнения (1) предполагаются достаточно гладкими на I (например, имеющими непрерывные по Гёльдеру первые производные), причем +да > Бм > Б(и) > Б0 > 0, +да > Щм > Щи) > Щ0 > 0. Функции внутренней (дивергентной) Щи) и внешней (недивергентной) диффузии Б(и) определены с точностью до перебрасываемой между ними положительной постоянной.
В качестве граничных условий в настоящей работе рассматриваются условия Дирихле с постоянным значением, равным одному из неустойчивых корней функции Д(и). Без ограничения общности мы можем, сделав при необходимости замену зависимой переменной, считать его равным нулю, так что Д(0) = 0, иД(и) > 0 для малых |и| и
и(±1, г) = 0, г > 0. (2)
Решения задачи (1), (2) понимаются в классическом смысле, т.е. как имеющие непрерывные производные, входящие в (1) и удовлетворяющие системе (1), (2). Для приведенных выше требований начально-краевая задача для (1), (2) с непрерывной начальной функцией и(х, 0) = и0(х) является корректно разрешимой.
Устойчивой (соответственно, неустойчивой) пространственной структурой будем называть унимодальное стационарное (т.е. не зависящее от 1) ограниченное устойчивое (неустойчивое) решение и (х) задачи (1), (2), не являющееся постоянным. При этом устойчивость можно понимать в смысле нормы С0(1) (первый индекс означает выполнение условия (2) для возмущений). Унимодальность функции ч(х) для х е I означает наличие единственной особой точки х е I (т.е. такой, что чх( х) = 0).
Основная задача настоящей работы заключается в исследовании свойств чередования устойчивых и неустойчивых пространственных структур при произвольном выборе функций, входящих в (1). При этом в качестве предварительного результата дается объяснение тому обстоятельству, что свойство унимодальности оказалось включенным в определение пространственных структур. Кроме этого, указывается, почему традиционно рассматриваемый линейный случай является вырожденным.
3. УНИМОДАЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР
Теорема 1. Никакое непостоянное стационарное решение задачи (1), (2), имеющее более одной внутренней на 11 точки экстремума, не является устойчивым.
Доказательство. Пусть и (х) — непостоянное стационарное решение задачи (1), (2), имеющее две соседние точки экстремума —I < х1 < х2 < I. Для доказательства его неустойчивости в линейном приближении следует показать, что в подходящем функциональном пространстве спектр главной линейной части задачи (1), (2) в окрестности и (х) будет иметь собственные значения в правой комплексной полуплоскости.
Без ограничения общности считаем Щ(и) = 1. Действительно, в противном случае можно до-множить (1) на Щ(и) и воспользоваться заменой переменных
и
и —► w = V (и) = |Щ( V) йч. (3)
0
Уравнение для ч(х, 1) = и(х, 1) — и (х) имеет вид
= Ьч + чЯ(ч, х) (4)
2 ~ ~ 2 ~ ~ с линейным оператором Ь = к(х)дхх + ^(х), где к(х) = Б(и (х)), ^(х) = Б'(и (х))дххи (х) + Ь'(и (х)),
22 Ь(и) = Л(и)Д(и), и остаточным членом Я(ч, х) = JD(v)дххи (х) + JЬ(v) + (0'(и (х)) + JD(v))дххч(х),
где оператор J : С(1) —»- С(1) определяется формулой ^ч)](х) = || [/'(и(х) + £,ч(х)) —
6 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 51 № 10 2011
—/'(и (х))]^£,. Нетрудно видеть, что отображение .//(У) является непрерывным и обращается в нуль при у = 0.
Рассмотрим гильбертово пространство Х2 = Ь2 (I) функций на 11 со скалярным произведением
I
< и, V) = гиМуМ х J к (х)
-I
Будем считать, что оператор Ь является замыканием в этом пространстве оператора, изначально определенного на множестве гладких (под таковыми мы далее понимаем дважды непрерывно дифференцируемые) функций, удовлетворяющих краевым условиям (2). Нетрудно видеть, что в
Х2 оператор Ь является самосопряженным. При этом его спектр состоит из вещественных собственных значений, максимальное из которых является простым с соответствующей ему гладкой знакопостоянной собственной функцией ф0 = ф0(х), так что можно считать, что соотношение Ьф0 = ^0ф0 выполнено в классическом смысле.
Покажем, что при сделанных предположениях > 0. Положим ф(х) = их (х), так что дифференцированием (1) по х при и = и (х) находим Ьф = 0, причем ф(х12) = 0, а при х1 < х < х2 функция ф(х) знакопостоянна. Выберем у ф0(х) знак, совпадающий со знаком ф(х) при х1 < х < х2. Имеем
ф'' + #(х)ф = 0 и ф0' + £0(х)ф0 = 0 с g(x) = ^(х)Д(х) и g0(x) = х) — ^0)/£(х). В предположении ^ 0 находим g0(x) > g(x), так что
|(ф"(х)фо(х) - ф(х)ф0'(х))^х = |(^0(х) -£(х))ф(х)фо(х)йх > 0. (5)
Интеграл в левой части (5) равен
[ф'(х)фо(х) - ф(х)ф0(х))'йх = ф'(х2)фо(х2) - ф'(х!)фо(х^). (6)
I«
х1
Производные в правой части (6) не могут обращаться в нуль, поскольку в противном случае (например, при ф(х1) = 0) было бы их (х1) = ихх (х1) = 0, так что, в силу (1), F(и (х1)) = 0 и наряду с непостоянным решением и (х) задача Коши для стационарного уравнения (1) с теми же начальными условиями для и (х1) и их (х1) имела бы также и постоянное решение и(х) = и (х1) в противоречии с теоремой единственности. С учетом выбора знака для ф0 отсюда следует строгая отрицательность правой части (6), а следом за ней и неравенство > 0.
То, что из линейной неустойчивости следует неустойчивость также и для нелинейного случая, может быть проверено путем построения подходящих оценок для остаточного члена в (4), подробнее см [2].
Замечание 1. Содержательная часть доказательства теоремы представляет собой обобщение известной теоремы Штурма о нулях. Опущенные здесь детали легко восстанавливаются традиционными методами.
4. УСТОЙЧИВОСТЬ УНИМОДАЛЬНЫХ СТРУКТУР
Исследование устойчивости унимодальных пространственных структур удобно проводить применением конструкций, связанных с построением стационарных суб- и суперрешений уравнения (1). Здесь мы приводим те их определения и свойства, которые потребуются для дальнейшего изложения. Более детальное обсуждение с указаниями на оригинальную литературу можно найти в [5].
Регулярным суб- (соответственно, супер-) решением уравнения (1) в открытой области О с К называется функция и(х, ?), имеющая непрерывные производные, входящие в (1), и удовлетворяющая неравенству, получаемому из (1) заменой знака равенства на ^ (соответственно, на &). В общем случае суб- и суперрешений выбираются непрерывные функции, локально (т.е. в окрестности каждой из внутренних точек области О) представимые в виде максимумов (соответственно, минимумов) конечного числа регулярных. Базовыми свойствами таких функций являются сохранение верхней ограниченности субр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.