ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 420, № 2, с. 151-156
= МАТЕМАТИКА
УДК 517.958
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ И ИХ СОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ
© 2008 г. Н. Л. Гольдман
Представлено академиком В.А. Ильиным 03.12.2007 г. Поступило 07.12.2007 г.
1. Проводится исследование обратных задач с финальным и граничным переопределением для параболических уравнений с неизвестной правой частью. Такие задачи относятся к некорректно поставленным, что проявляется в возможном отсутствии решения при несогласованных входных данных и в его неустойчивости относительно погрешностей в их задании. Однако в случае существования решения оно может обладать свойством единственности. Основная цель работы - установить для данных обратных задач связь проблемы единственности решения в классах Гёльдера с проблемой плотности решений соответствующих сопряженных задач.
Предлагаемый в работе подход позволяет доказать, что данные сопряженные задачи обладают свойствами, близкими свойствам плотности наблюдений и их усреднений в задачах управления для линейных параболических уравнений с управляющими воздействиями в начальном и граничных условиях [1, 2]. Эти свойства сопряженных задач являются следствием известных результатов о единственности решений однородных линейных параболических уравнений с обратным направлением времени [3, 4] и нехарактеристическими данными Коши [5]. Доказано, что такие свойства плотности обеспечивают, в свою очередь, единственность решения в классах Гёльдера исходных обратных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений общего вида. Вывод достаточных условий единственности не требует дополнительной гладкости входных данных и основан только на требованиях гладкости, связанных с точными дифференциальными зависимостями в соответствующих краевых задачах [6] и с условиями теорем единственности в [3-5].
Результаты данного исследования позволяют расширить для параболических уравнений с неизвестными коэффициентами класс обратных за-
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
дач, обладающих свойством единственности (см., например, [7-10]).
2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ФИНАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ
2.1. Требуется найти и(х, г) в области Q = {0 < < х < I, < г <Т} и/(х) при 0 < х < I, удовлетворяющие первой краевой задаче
c(x, t, u)ut - Lu = p0(x, t) f (x) + p1 (x, t), (x, t) e Q,
(1)
lx = 0
= V0(t), u |x = i = Vi(t), 0 < t < T, (2)
u|t = 0 = ф(x), 0 < x < l,
(3)
и дополнительному условию в конечный момент времени
u|t = t = g(x), 0 < x < l,
(4)
в предположении, что Lu = (a(x, t, u)ux)x - b(x, t, u)ux -- d(x, t, u) - равномерно эллиптический оператор, a > amin > 0, b, с > cmin > 0, d, p, Vi (i = 0, 1), ф и g -известные функции, amin, cmin = const > 0.
Сформулируем требования к входным данным обратной задачи (1)-(4), используя стандартные обозначения классов функций из [6].
(i) При (x, t) £ Q, |u| < ^ функции a, ax, au, b, с, d равномерно ограничены.
(ii) При (x, t, u) £ D = Q x [-M0, M0],
M0 > max |u|) функции a и с принадлежат
(x, t) £ Q
H1, W2' 1(D), b, d, ax, au, cx и cu принадлежат HK yi, 1(d ), 0 < < X < 1.
(iii) Функции p0(x, t) и p1(x, t) принадлежат HX' X2( Q), функции v0(t), v1(t) и ф^) принадлежат соответственно H1 + X2[0, T] и H2 + X[0, l], v0(t)|t=0 = = ф^ = 0, v1(t)|t = 0 = ф^ = l.
u
(iv) Функция g(x) е H2 + х[0, l], выполнены условия согласования
с(x Т, g)v0t- Lg\x = 0,t = T = = {Po(x, T)f (x) + Pi(x, T)}|x = 0,
с ( x, т, g ) vit - Lg|x = I, t = T =
= {Po(x, T)f(x) + Pi(x, T)}|x = l,
в которых значения f |x = 0 и f |x = l удовлетворяют соотношениям
с(x, 0, Ф) vot - Lç|x = 0, t = 0 = = {P0(x, 0)f (x) + pi(x, 0)}|x = 0,
с(x, 0, Ф) vit - Lç|x = I, t = 0 = = { P0(x, 0 ) f ( x ) + Pi (x, 0)}| x = i.
Au11 = 0 = 0, Au\t = T = 0, 0 < t < l,
(8)
(5)
где %Аи = (а(х, г, и[ )Аих)х - ^Аих - ^ Аи - линейный оператор, коэффициенты которого непрерывны как функции (х, г) в силу требований (д)-(Ш) и принадлежности и[ и и°2 классу Н2 + ^ 1 + х/2(Q) [11].
2.3. Свойства краевой задачи, сопряженной с (6)-(8). Для доказательства
утверждения, что Аи = 0 в Q, А/ = 0 при 0 < х < I, изучается краевая задача
(с (х, г, и 1 )у) г + % * у = 0, 0 < х < I, 0 < г < Т,
(9)
В силу [6] требования (1)-(ш) обеспечивают однозначную разрешимость квазилинейной краевой задачи (1)-(3) в классе Гёльдера и(х, г) е
е Н2 + ^ 1 + х/2( ^) при любой функции / (х) е Нх[0, I] в правой части уравнения (1), удовлетворяющей условиям (5). Требование (гу) является следствием (5) и условия согласования входных данных при г = Т. Исходя из этого дадим
Определение 1. Решением в классах Гёльдера обратной задачи с финальным переопределением (1)-(4) назовем пару функций {и0(х, г), / 0(х)}:
0, „ч л2 + 1+ ^/2/7=>Ч
и (х, г) е Н (Q),
/0(х) е Нх[0,1], 0<^< 1,
удовлетворяющих соотношениям (1)-(5) в обычном смысле.
2.2. Предлагаемый подход к исследованию проблемы единственности решения в смысле определения 1 состоит в следующем. Допустим, что {и[, /0} и {и2, /0} - два решения обратной задачи (1)-
(4). Функции и? и и° можно рассматривать как решения краевой задачи (1)-(3), соответствующие
функциям /1 и / 2 в правой части уравнения (1), т.е. для них справедливы оценки в классе Гёльдера Н2 + 1 + х/2( Q) [6]. Для разностей Аи = и° - и? и
А/ = /0 - /° в силу (1)-(5) следует, что А/|х = 0 = 0, А/ |х = I = 0 и, кроме того,
С(х, , и0)Аи( - %Аи = р(х,г)А/(х), (6) (х, г) е Q,
Аи|х = 0 = 0, Аи|х = г = 0, 0 < г < Т, (7)
vlx = 0 = 0, vlx = i = 0, 0 < t < T, (10) Vlt = T = n(x), 0 < x < l, (11)
где = (a(x, t, u\ )vx)x + (^V)x - ^V» n(x) - про-
xx 0,
извольная функция из С [0, I].
Лемма 1. Пусть выполнены требования (¡)-(гу) и, кроме того, производные Ьх и сг непрерывны при (х, г, и) е О .
0 2
Тогда при любой функции п(х) е С [0, I] соответствующее решение у(х, г; п) сопряженной задачи (9)-(11) принадлежит С( Q) п С2' и удовлетворяет соотношению
Т I
х, г; п)р0 (х, г)А/(х) йх йг = 0
00
(12)
Vn е C [0, l ].
Лемма 2. Пусть выполнены требования (г)-0у) и, кроме того, производные аг, Ьх и сг непрерывны при (х, г, и) е О. Предположим, что при
02
любой функции п(х) е С [0, I] соответствующее решение у(х, г; п) сопряженной задачи (9)-(11) удовлетворяет при т е [0, Т] соотношению
I
х, г; п)|г = т^(х)йх = 0 (13)
для некоторой функции ч>(х) е С[0, I].
Тогда для любого такого т е [0, Т] функция ^(х) = 0 при 0 < х < I, т.е. множество значений {у(х, г; п)1г = т}, получаемое при пробегании функ-
02
цией п(х) пространства С [0, I], является всюду плотным.
0
Справедливость этого утверждения при т = Т сразу следует из (11) в силу произвольности п(х) е
02
е С [0, I] и плотности такого множества в ¿2[0, I]. В любой достаточно малой окрестности временного слоя г = Т свойством плотности обладает также множество {у(х, г; п)|г=Т- £} в силу непрерыв-
02
ности у(х, г; п) при любой п(х) е С [0, I] (лемма 1).
При выводе леммы 2 для значений т таких, что 0 < т < Т - £, используется линейная краевая задача, сопряженная с (9)-(11) в области Qт = {0 < х < I, т < г < Т} (ср. с (6)-(8))
с(х, г, и0)гг- %г = 0, 0 < х < I, т < г < Т, (14)
г|х = 0 = 0, г|х = I = 0, т < г < Т, (15)
г|г = т = 6(х), 0 < х < I, (16)
%г = (а (х, г, щ) гх)х - ^ гх - ^ г,
9(х) = (с(х, г, и[)|г = т) 1Ы(х).
Ее решение г(х, г; т), принадлежащее С( Qт) п п С2, непрерывным образом зависит от параметра т в силу устойчивости относительно входных данных [6]. Для него устанавливается дополнительное условие г(х, г; т)|г = Т = 0 с помощью непрерывной функции
Т I
^ (т) = Л г {(с у)г + %* у} йх йг +
т0
Т I
+
Цу{ сг, - % г} йх йг,
(17)
т0
которая с учетом (9)-(11) и (13)-(16) приводится к виду
I
^(т) = |с(х, г, щ)|г = Тг(х, Т; т)п(х)йх = 0
0
02
Упе С [0,1].
Полученное условие г(х, г; т)|г = Т = 0 позволяет рассматривать уравнение (14) с граничными условиями (15) как однородную краевую задачу первого рода для линейного параболического уравнения с обратным направлением времени. Но тогда (см. [3, 4]) г(х, г; т) = 0 в Qт, в том числе и при г = т, т.е. 6(х) = 0, ^(х) = 0 при 0 < х < I. Таким образом, плотность множества {у(х, г; п)|г=т} является следствием свойства обратной единственности для уравнения (14).
2.4. Свойства усреднений решений сопряженной задачи (9)-(11). Дальней-
шее исследование проблемы единственности решения в смысле определения 1 связано с изучением усредненных на временном интервале [0, Т0]
Т 0
функций Т(х; п) = Т011 у (х, г; п)йг, где Т0 - произ-
0
вольная точка, 0 < Т0 < Т.
Лемма 3. Пусть входные данные удовлетворяют условиям леммы 2. При пробегании функци-
02
ей п(х) пространства С [0, I] соответствующие усредненные функции Т(х; п) образуют множество, всюду плотное в ¿г[0, I], т.е. из соотноше-
0
ния для некоторой функции м^(х) е С [0, I]
х; п)м>(х)йх = 0 Уп е С2 [0,1]
(18)
следует, что ^(х) = 0 при 0 < х < I.
Как и при выводе леммы 2, рассматривается краевая задача (14)-(16) в области Qт, но уже при всех значениях т, 0 < т < Т0, где Т0 - произвольная точка, 0 < Т0 < Т - £ (е > 0 - произвольно малое, но конечное число). Для функции ^(т) (см. (17)) имеет место соотношение
Т 0 I Т 0
| ^(т)йт = Цг(х, Т; т)йт с(х, г, и°) |г = Тп(х)йх -
0 0 0 1Т 0
-Цу(х,т; п)йт w(х)йх = 0. (19)
00
Из (19) в силу (18) и произвольности п(х) следует,
Т0
что при любом Т0, 0 < Т0 < Т - е, | г (х, Т; т)йт = 0,
0
0 < х < I. Отсюда заключаем, что г(х, Т; Т0) = 0. Таким образом, решение задачи (14)-(16) в области Qт при т = Т0 удовлетворяет в конечный момент времени дополнительному условию г(х, Т; Т0) = 0. Используя, как и при выводе леммы 2, результаты обратной единственности для такой задачи [3, 4],
приходим к тождеству г(х, г; Т0) = 0 в Qт0. Следовательно, при г = Т0 из (16) вытекает, что 6(х) = 0, ^(х) = 0 при 0 < х < I. Таким образом, усредненные функции Т(х; п) обладают свойством плотности, причем в силу произвольности е > 0 и Т0, 0 < Т0 < Т - е, и на всем интервале 0 < г < Т.
0
Таким же свойством плотности обладают и функции
x; n; po) = To1 Jpo(x, t)y(x, t; n)dt,
0 < T 0 < T,
которые можно рассматривать ка
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.