МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014
УДК 531.36,531.38
© 2014 г. Б. И. КОНОСЕВИЧ, Ю. Б. КОНОСЕВИЧ
СВОЙСТВО ПРИТЯЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ, СНАБЖЕННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕМ
В статье рассматривается неуравновешенный гироскоп в кардановом подвесе с вертикальной наружной осью подвеса, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем. Уравнения движения такой системы допускают семейство решений, описывающих ее стационарные движения (регулярные прецессии или равномерные вращения ротора). Показано, что при наличии изолированного минимума приведенной потенциальной энергии возмущенные движения с течением времени стремятся к стационарным движениям из того же семейства (даже в критических случаях устойчивости).
Ключевые слова: гироскоп в кардановом подвесе, стационарное движение, устойчивость, притяжение, асинхронный и синхронный электродвигатель.
1. Введение. Гироскоп в кардановом подвесе представляет собой механическую систему трех твердых тел, позволяющую реализовать любое вращательное движение тела, играющего роль ротора. Он обладает рядом интересных динамических свойств, и поэтому его изучение является важной задачей динамики системы твердых тел. В первых теоретических исследованиях динамики гироскопа в кардановом подвесе предполагалось, что трение на осях подвеса и ротора отсутствует, т.е. прибор рассматривался как система с идеальными связями. При более точной постановке задачи учитывают, что быстровращающийся ротор испытывает значительное воздействие сил трения, и для поддержания вращения ротора используется электродвигатель. Его статором служит внутренняя карданова "рамка", а ротором — ротор прибора. Основные типы электродвигателей — синхронный и асинхронный.
Как и в случае идеального гироскопа, при наличии электродвигателя у гироскопа в кардановом подвесе существует семейство стационарных движений — равномерных вращений и регулярных прецессий ротора. Однако, как было показано в работах [1, 2], включенных в книгу [3], при учете электродвигателя гироскоп в кардановом подвесе является системой с частичной диссипацией энергии, и поэтому его динамика качественно отличается от динамики идеального гироскопа.
В статье [4] исследована устойчивость стационарных движений гироскопа в карда-новом подвесе, установленного на неподвижном основании в поле силы тяжести, имеющего вертикальную наружную ось подвеса и снабженного электродвигателем синхронного или асинхронного типа. Установлено, что для такого гироскопа достаточным и, как правило, необходимым условием устойчивости стационарных движений по отношению к обобщенным скоростям и углу поворота внутренней рамки подвеса является наличие изолированного минимума приведенной потенциальной энергии по углу поворота внутренней рамки.
В настоящей работе, дополняющей статью [4], показано, что при наличии изолированного минимума приведенной потенциальной энергии возмущенное движение с течением времени стремится к стационарному движению, близкому к невозмущенному.
2. Исходные соотношения. В работе принята следующая модель гироскопа в карда-новом подвесе, берущая свое начало от статьи [5]. Динамически симметричный ротор заключен в карданов подвес, составленный из двух "рамок" произвольной формы, внутренняя ось подвеса неколлинеарна наружной оси подвеса и оси ротора, и эти три оси, вообще говоря, не пересекаются в одной точке. Относительно оси ротора действуют момент сил трения и вращающий момент электродвигателя. Какие-либо дис-сипативные или управляющие моменты на осях подвеса предполагаются отсутствующими. Наружная ось подвеса неподвижна и направлена вертикально.
Положение этой механической системы в каждый момент времени t определяют углы а, Р, ф, где а — угол поворота наружной рамки относительно основания, Р — угол поворота внутренней рамки относительно наружной, ф — угол поворота ротора относительно внутренней рамки. При сделанных предположениях кинетическая энергия системы выражается формулой
T = 1/2[G(P)á2 + H р2 + C ф2 + 2N (P)á 0 + 2Q(P)á ф + 2R0 ф] (2.1)
где C — осевой момент инерции ротора, коэффициенты H, R зависят только от постоянных механических параметров, коэффициенты G, N, Q, а также потенциальная энергия силы тяжести U зависят от угла Р и механических параметров по формулам
ЩР) = u0 + u1 sin в + u2 cos в
G(P) = go + gi sin в + g2 cos в + g3 sin 2в + g4 cos 2в (2.2)
N(P) = n0 + n1 sin в + n2 cos в, Q(P) = q0 + q1 sin в
Здесь u0 — произвольная постоянная, а выражения остальных коэффициентов формул (2.2) и величин H, R через механические параметры вытекают из формул (8)—(15) статьи [6], если предположить, что наружная ось подвеса вертикальна, ротор динамически симметричен и центр масс ротора находится на оси его вращения. Из этих выражений следует, что
n0 = Hcosе2 (H > 0), R = Ccosе3
q0 = с cos е2 cos е3, q1 = с sin е2 sin е3 ^ 0
Здесь 02, 93 — углы, образованные внутренней осью подвеса с наружной осью подвеса и с осью ротора (92,93 е (0,я/2]). Для уравновешенного гироскопа U = const.
Так как кинетическая энергия (2.1) является определенно положительной квадратичной формой угловых скоростей а, р, ф, то при любом Р выполняются неравенства Сильвестра
/(Р) > 0, /1(Р) = G(p)H - N2(р) > 0,
G(P) > 0, /2(3) = G(P)C - Q2(р) > 0 .
где / (Р) — определитель квадратичной формы 2T.
Внутренняя "рамка" и ротор образуют вместе электродвигатель. Силы, действующие на ротор со стороны статора, создают относительно оси ротора момент L, равный алгебраической сумме вращающего момента электродвигателя и момента сил трения относительно оси ротора.
В случае асинхронного электродвигателя для суммарного момента L часто принимают выражение L = -lj. Здесь X > 0 — постоянная, у = ф - а, а постоянная ю > 0 мень-
ше угловой скорости вращения магнитного поля в статоре электродвигателя. При более общем подходе (см. [3, с. 107—110]) полагают Ь = Ду), где Ду) — непрерывно дифференцируемая функция такая, что
у Ду) < 0 (у ф 0), Ь(0) = 0 (2.5)
В случае синхронного электродвигателя для момента L обычно принимают выражение Ь = -Х^ - X2у, где Х1Д2 > 0 — постоянные, у = ф - ю? - ф0, ю > 0 — угловая скорость вращения магнитного поля в статоре электродвигателя (см. [3, с. 132]). Оно является линейным приближением более общей формулы Ь = Ь(у,у) = Д(у) + Ь2(у). Здесь функции Д(у), Ь2(у) непрерывно дифференцируемы, причем
уД(у) < 0 (у* 0), Д(0) = 0 (2.6)
Шу) < 0 (у * 0), Ь2(0) = 0 (2.7)
Момент Д(у) можно представить в виде
У
А(у) = ^(у) = -{ Д(с) с1а (2.8)
а у ■'
' 0
Так как, согласно (2.6), знак Д(у) противоположен знаку у, то ^(у) > 0 (у Ф 0), ^(0) = 0. Таким образом, Ц^(у) — определенно положительная функция переменной у. Она является потенциальной энергией магнитного взаимодействия ротора и статора синхронного электродвигателя.
3. Устойчивость стационарных движений синхронного гироскопа. При сделанных предположениях обобщенные силы для лагранжевых координат а, Р, ф равны 0, -и', L. Здесь и далее штрихом обозначается дифференцирование по Р. Пользуясь вместо ф переменной у = ф-ю ? -ф0, получаем следующие лагранжевы уравнения движения синхронного гироскопа:
а [(X ^(3) + в N(3) + (ю + у)б(р)] = 0
а
d [(х N (в) + в H + (ю + у)Л] - а dt
а с(р)+в n хв) + (ю+у)ехв)
= -и'(в) (3.1)
d [(X е(в) + в R + (ю + Y)C] = L(y, у) dt
Они эквивалентны нормальной системе с фазовым вектором (а, р, у, р, у). Уравнения (3.1) имеют семейство стационарных решений
а = О0, р = 0, у = 0, р = р0, у = 0 (3.2)
где постоянные О0, в0 связаны соотношением
-Q0
l2 q V(в0) + (в0)
+ и' (в0) = 0 (3.3)
Эти решения описывают регулярные прецессии (Q0 Ф 0) или равномерные вращения ротора (Q0 = 0). Уравнения (3.1) допускают интеграл
a G(P) + р N (Р) + (ю + y)Q(P) = p (p = const) (3.4)
Рассматривая равенство (3.4) как определение новой переменной р, перейдем в уравнениях (3.1) от переменных (а, (3, у, р, у) к переменным (р, Р, у, Р, у). Для этого во втором и третьем уравнениях (3.1) заменим а выражением
а =
р -юб(Р) -в N (в) -у б(Р) О(в)
вытекающим из (3.4). Получим преобразованную систему уравнений
Ср = 0, d сН сН
^((Р - юQ)N + р(О# - N2) + у(ОЛ - QN)) .О
А.
<Эр
Р -в N -у Q)2 + и
_2О
= 0
с
л
1((Р - юQ)Q + Р(ОЛ - QN) + у(ОС - Q2)) О
= ь
(3.5)
(3.6)
определяющую (р, (3, у, р, у). Аргументы (у, у) у функции Ь и аргумент Р у функций О, N, Q, и здесь для краткости опущены. При фиксированном значении р последние два уравнения (3.6) образуют приведенную систему Бр, соответствующую данному р.
Так как О(Р) > 0 при любом Р согласно (2.4), то замена переменных (а, р, у, р, у) переменными (р, Р, у, Р, у) взаимно однозначна и непрерывна в обе стороны. Поэтому устойчивость любого решения лагранжевой системы (3.1) эквивалентна устойчивости соответствующего решения преобразованной системы (3.6).
Стационарному решению (3.2) системы (3.1) соответствует стационарное решение
р = р0, р = 0, у = 0, р = р0, у = 0
(3.7)
системы (3.6). Здесь р0 = О 0О(Р0) + ш Q(P0). Оно существует, если выполнено условие
0 п/о0\
р -ю Q(в )
О(в0)
р0 -Ю0(в0)) + ЮQ ЧР0)
+ и '(Р0) = 0
(3.8)
эквивалентное (3.3). Характеристическое уравнение системы (3.6), линеаризованной
в окрестности ее решения (3.7), имеет вид 5/4(5, р0) = 0, где р0) — полином четвертой степени
Р4(5,р0) = 0154 + X2О1153 + [(^ - d°Q'О)2 + /2(ц2 + рО) + Х1О/1]52 + + X 2О(ц2 + р0)5 + Х10(ц2 + рО) ц = ^0О' + юQ,, р = -^0(^0О"/2 + юQ") + и" ^ = (р0 ^(р0))/О(р0)
Функции угла Р взяты здесь при Р = р0.
Приведенная потенциальная энергия силы тяжести выражается по формуле
и *( р,р) = [р^ещ,+и (в)
Р 2О(р) ^
Введем обозначения *1(Р) = О(р)Л - N(Р)О(Р)
К2(р,в) = [р - юО(Р)] [О'(Р^(Р) - 0(P)Q'(Р)] + юО(р^'(РШ)
(3.9)
(3.10)
Тогда условие (3.8) существования стационарного решения (3.7) у системы (3.6) эквивалентно равенству и*( р 0,Р0) = 0, а критерий Рауса—Гурвица приводит к следующим двум условиям отрицательности действительных частей всех корней характеристического уравнения Д(,$, р0) = 0 линеаризованной приведенной системы 8р0:
и*(р0,р0) > 0 (3.11)
№(Р0)1 +1К2(р°,р°)к 0 (3.12)
При выпол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.