МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.67
© 2008 г. С.А. ЛЫЧЁВ СВЯЗАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ
Построено замкнутое аналитическое решение связанной динамической задачи термовязкоупругости для тел канонической формы. Решение представлено в форме спектральных разложений по биортогональной системе собственных функций несамосопряженного пучка дифференциальных операторов, порождаемых рассматриваемой задачей. Спектральные разложения получены с помощью специального класса несимметричных интегральных преобразований.
1. Введение. При исследовании нестационарных динамических процессов в термо-вязкоупругих телах необходимо учитывать взаимосвязь тепловых и механических полей, в том числе при формулировке соотношений собственной и термической диссипации [1-3]. В наиболее строгом виде это удается осуществить на основе законов неравновесной термодинамики и, в частности, теории скрытых переменных состояния [3]. Преимущество моделей сред со скрытыми переменными состоит в том, что они позволяют связать механическое поведение тел с рядом микроструктурных процессов, протекающих на молекулярном и субмолекулярном уровнях. Вместе с тем соответствующее математическое описание даже в линейной постановке приводит к сложным начально-краевым задачам, лишенным энергетической симметрии, и, как следствие, несамосопряженным. В статье [4] построено представление решений несимметричных начально-краевых задач в форме спектральных разложений по полной системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного пучка дифференциальных операторов. В настоящей работе эти представления используются для решения пространственной задачи динамической линейной термовязко-упругости.
2. Формулировка начально-краевой задачи в операторной форме. Линеаризованные уравнения движения и теплового баланса термовязкоупругой среды имеют вид [1, 3, с. 218]:
V • T + рf - pdu = 0, T = T*
О • Y7 7 П f ду Эу ,2 Э2 (2.1)
9q^ + V • q - h = 0; T = -4, s = -Э-, Э, = —
de Э9 Эг1
Здесь u - перемещения, V - набла-оператор Гамильтона, T - напряжения, р - плотность, f - заданное поле массовых сил, 90, 9г - температуры среды в отсчетном и актуальном состояниях, 9 = 9г - 90; s, h - энтропия и мощность внутренних источников тепла, отнесенные к единице объема, q - тепловой поток, у - плотность свободной энергии, e = (Vu + (Vu)*)/2 - тензор малых деформаций. Производные по времени обозначаются точкой, операция транспонирования - звездочкой.
Полагаем, что плотность свободной энергии у аппроксимируется следующей квадратичной зависимостью:
п п
9„ 2 9^ „, ч2 -О -О ^ .«В -0. -В.
V = X К?(е- V + м-е : е + XIVе -1) : (е -1)-
г =1 г =1 (2.2)
п
-3Уме9 -3 ХУг(е - Пг)9 92
г = 1 0
Здесь ТО , еО - девиаторные, г, е - шаровые составляющие соответственно тензоров
напряжений и деформаций, пг, 10 - шаровые и девиаторные составляющие тензоров скрытых переменных состояния, Кте, имеют смысл длительных модулей всесто-
роннего расширения, сдвига, термомеханической постоянной, се - теплоемкость при постоянной деформации.
Аппроксимация (2.2) согласно третьему и четвертому уравнениям (2.1) определяет законы состояния
пп
г = 3К„е + 3 Х(Кг(е - Пг) - Уг9), Т° = 2М° + 2 X (еО -110)
г =1 г =1 (2.3)
п С
s = 3уме + 3 ХУг(е - Пг) + ^9
г= 1 0
Внутренние (скрытые) переменные пг, 11 ° в линейном приближении удовлетворяют уравнениям эволюции (£ - диссипативные характеристики среды [3]):
■Л г = ^гЭУ/ЭПг> *0 = °
которые, в виду (2.2), могут быть записаны следующим образом:
п г = ^г( 3 У г9 -9 Кг( е - П))' 110 = -2 ?г М е 0 -110) Исключив из (2.3) скрытые переменные пг, "Л0 , приходим к соотношениям:
п дг
Ь1'Г0 = 2 Ь2е0, Ь3г = 3Ь4 е - Ь59, Ь3 я = 3 Ь6 е + Ь7 9, Ь = X ¡1 —ц (2.4)
г = 0 д г
где коэффициенты ¡1 обозначают соответствующие алгебраические комбинации введенных выше параметров среды.
Зависимости (2.4) в совокупности с линейным законом теплопроводности q = -ЛУ9 (Л - коэффициент теплопроводности) позволяют сформулировать уравнения движения и теплового баланса, связывающих перемещения и температуру (а = 90/Л, в = 1/Л):
Ь2Ь3У2и + (Ь1Ь4 + Ь2Ь3/3)УУ • и + рЬ1Ь3(Г - д2и) - Ь1Ь5 V9 = 0
2 • (2.5)
Ь3У 9 - аЬ79- аЬ6 V • 11 + вЬ3Н = 0
Краевые условия, соответствующие упругому закреплению тела, могут быть записаны в форме:
п • Т + 3 • и|г = 0, п • q + х9|г = 0
Здесь 33 - тензор упругих параметров закрепления границы Г; % - характеристика ее теплопроводности. С учетом (2.4) краевые условия принимают вид
L2L3 n•(Vu + Vu*) + n [(3 LjL4 - 2L2 L3) V • u - L1LS0] + Lx L3S • u| r = 0
n • V0 -X0
Л
=0
(2.6)
Начальные данные замыкают начально-краевую задачу, которая теперь может быть представлена как задача Коши с операторными коэффициентами [5]:
Е A ^ V
У = F,
q = 0
dt'
Уо, q = 0, ..., m - 1, m = 2(n + 1)
(2.7)
t = 0
Здесь введены обозначения: F = (-рL1L3f, -PL3Н), у = (и, 9) - четырехмерные заданная и искомая вектор-функции, Aг - дифференциальные операторы, область определения
к г-,
которых задается краевыми условиями (2.6) (полагаем ¡п = 0, если к < 0 или к > п; V -градиент, &у - дивергенция):
Aq =
Е
p = 0
¡fi?-p v2 + (¡p¡4-p + mi'^irp) Vdiv - pip -1 Ip -a/( q + 1 )lq6 -1div
,p -1 ,p - q -1
-¡1¡5- p V 1/(q +1)¡3 V2- a /(q + 1) ¡q -1
3. Операторные пучки. Решение задачи (2.7) будем искать в форме квадратично сходящегося разложения. Для этой цели на множестве комплекснозначных 4-мерных вектор-функций у = (и, 9), интегрируемых с квадратом в области V с К3, определим
гильбертово пространство Ь"^ со скалярным произведением
<У1, У2> = |У1 • У2dV = <(и1,91),(и2,92)> = и1 • и2 + 9192}dV
V V
,4 - „
где у1, у2 е Ь2, у2 - вектор, комплексно сопряженный к у2.
Задаче Коши (2.7) соответствует полиномиальный пучок
Li
(3.1)
i = 0
который можно формально трактовать как характеристическое уравнение для (2.7) [6]. Действие оператора на четырехмерный вектор (и, 9) может быть представлено следующим образом:
Li(u, 0) =
' V • Ci : V ® u - Hi-u - PiV 0 ^ -Qi V • u + ViV20 - Wi 0
г
m
q
qm
m
4 Механика твердого тела, № 5
97
Сх = ]£,2]£-З((Е ® 15)(1324) + (15 ® 15)(1432)) + (Ь^ - 2/3¿2¿3)Е ® 15
Нх = х2р¿1ЬЗ 15, Рх = Ох = аЬЬб, Ух = ¿З, Wx = ахЬт, Ьк = £ ^
q =0
Здесь 55 - единичный тензор.
Область определения Б^ пучка Ьх определяется оператором краевых условий БЛ = {(и, 9)|В(и, 0)|г = (-¿1 Ьз2 • и, х9)|г}
Вх(и, 9)
п • С х : V ® и - Р.9Л
Лп • V 9
Наряду с пучком (3.1) рассмотрим в области Б* сопряженный пучок
т
¿* =
I = 0
который будем определять как оператор, удовлетворяющий соотношению УиУи (и е Б а и е Б* )«•(< ¿хи, и) - < и, ¿* и) = 0)
(3.2)
Явный вид сопряженного пучка ¿* может быть получен в результате последовательного применения к выражению
I = <¿х(и1, 01), (и2, 02)) = |{(V • Сх : V ® и1 - • и1) • и2 + (Ух—201 - Wх9l) -
у
- РхV92 • и2- Ох— • и192 }йУ теоремы Гаусса-Остроградского. Имеем
I = |п • {(Сх : V ® и1) • и2 - (СХ*) : V ® ^) • и1 + Ух92V9l - Ух91702 -
э
-Рх91 и2 - Охи192 }йг + |{(V • Сх* : V ® и2 - Нх • и2) • и1 + (УхV202 - Wх92)91 -
у
- (QхV02) • и1 + (PхV • й)01 }йу, Сх*) = Сх3412)
Таким образом, для выполнения условия (3.2) необходимо и достаточно, чтобы пу-
(*)
чок ¿х был определен выражением
¿х*)(и, 9)
V • Сх*) : V ® и - Нх • и + 0^9 Р^ • и + УхV20 - Wх9
п
; области, задаваемой оператором краевых условий В*
B* (u,0) =
f \ n • C* : V ® u + Q,0
Л Л
Лп • V 0
4. Разложение резольвенты пучка. Если объем V, занимаемый исследуемой термо-вязкоупругой средой конечен, то операторный пучок (3.1) компактен, и его резольвента = ЬХ1 представляет собой интегральный оператор с ядром, аналитически зависящим от X, определенный на всей комплексной плоскости за исключением счетного множества собственных значений X; [7, 8, 9]. Особые точки ядра резольвенты X; имеют конечный порядок и в совокупности образуют спектр пучка Ьх.
Пусть - собственное значение кратности 5. Тогда резольвента как мероморф-ная оператор-функция X может быть представлена в форме разложения в ряд Лорана в окрестности Х0 [10, 11]:
Rx = I
R
i = 1 (Л - Л0)
- + Ro(Л)
(4.1)
где (I = 0, ..., 5) - ограниченные операторы. Поскольку ЬХЯХ = I (I - единичный оператор), то
(Л - Ло )sI = (Л - Ло) sLxRx = L
1(Л - Ло)s - iRi + (Л - Ло)sRo(Л)
Vi = 1
(4.2)
Из этих равенств при X ^ Х0 вытекает определяющее соотношение для оператора Я5:
ЧК = 0
Аналогичные соотношения для _ 1, ..., можно получить, ^-кратно дифференцируя по X левую и правую части равенства (4.2). Учитывая, что
ЭЛ'
:(Lx(X - Ло)sRx)
k
I
j = о
- / \
k L( j)
V j J
fs - k + j
(s - i)!
(s - k + j - i)!
Г-Т7(Л - Ло)
s - k + j - i
R
ЭЛ"
-((Л - Ло)sRo(Л))
V 1 = 1
и переходя к пределу при X ^ Х0, получаем следующие выражения:
1 т (j)R
Ло s - k + j
1 j!Ч R
j = оу'
о, L
(j)
ЭЛj
I Т-ЧгЛ1'- jAi, k = 1,..., s -1 - j)! i
(4.3)
Точно так же выводится представление для резольвенты сопряженного пучка К*
R*
R* = I —ir-i + R*(X)
i = i(Л - Ло)
kj
L*R* = о, I IL*(j)R* k + j = о, L*(j) = j . (.
л-о s j! s k +j dXj (i - j)!
I -i-— л1 - j A* -¿Wi - i)! i
4*
99
s
k
k
m
Конкретизируем форму операторов (г = 1, ..., s). Поскольку Vz е Ь"^ Ь^Rsz = 0,
4
то Rs - проектор Ь2 на конечномерное ядро Кег¿х , т.е.
К^ = О, < М°, z), Ьх0= 0 (4.4)
где = (... т0) - функциональная матрица, представляющая собой некоторый к < ^-мерный базис.
Структура оператора Rs - 1 иная. Поскольку в соответствии с (4.3) для него должно выполняться рекуррентное соотношение Ь^ Rs _ 1 + ¿х^ Rs = 0, то, с учетом (4.4), по-
лучим равенство Vz е Ь2 ¿х Rs - ^ + ¿х1) <М°, z) = 0, которое выполняется, если
положить Rs - ^ = - 1 <М°, z) + <М°-1, z) + <м], z). Здесь - 1 - решение неоднородного дифференциального уравнения
ЧС* -1 = -¿х1;1(4.5)
удовлетворяющее краевым условиям БС5 - 1 = 0, а М°_ 1, М^ - функциональные матрицы, представляющие к-мерные базисы.
Повторяя приведенные выше построения, получим
г г - ] _
К-^ = ££ -1 <М^г + у + к, z), г = 0,..., *-1 (4.6)
] = 0 к = 0
Здесь - 1 находятся в результате последовательного решения неоднородных краевых задач
г ^
Ьх0О5 - г = - £ уЬх0 ° - г + р В° - г =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.