МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.36
© 2008 г. А.А. КИРЕЕНКОВ
СВЯЗАННАЯ МОДЕЛЬ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ И КАЧЕНИЯ В ДИНАМИКЕ ТЕЛ НА ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ
Предлагаются связанные модели трения для круговых площадок контакта трущихся тел в условиях комбинированной динамики, когда помимо скольжения и верчения тело участвует в движении качения. При построении моделей использовались опубликованные в литературе многочисленные экспериментальные результаты о перекосе симметричной диаграммы распределения контактных напряжений в направлении скорости качения. Для описания этого перекоса предложен линейный закон, с одним коэффициентом, зависящим от направления и скорости качения.
В предположении справедливости закона Кулона в дифференциальной форме для элементарной площадки внутри пятна контакта построены интегральные представления главного момента и главного вектора сил трения.
Показано, что взаимосвязь трения качения и скольжения приводит к появлению ненулевой компоненты силы трения, направленной по нормали к траектории движения.
Чтобы избежать использования кратных интегралов в уравнениях движения, точные интегральные представления главного момента и вектора сил трения заменяются соответствующими аппроксимациями Паде. Полученные в результате модели могут рассматриваться как связанные реологические модели трения скольжения и качения. Для корректного описания взаимосвязи трения качения и скольжения в полной постановке на их основе необходимо знать всего шесть коэффициентов, которые, при решении реальных задач практики, могут быть определены из эксперимента.
В случае, если распределение нормальных контактных напряжений подчиняется закону Герца, уравнения модели точно проинтегрированы в элементарных функциях.
1. Введение. Сухому трению в научной литературе посвящено большое число работ, классификация которых, в зависимости от преследуемых в них целей, дана в [1]. В большинстве публикаций авторы используют модель сухого трения по Кулону, считая силу в точке контакта направленной против относительной скорости скольжения и не зависящей от ее модуля. Однако существуют многочисленные экспериментальные данные о несоответствии данной зависимости реальной ситуации, когда трущиеся тела участвуют одновременно в поступательном и вращательном движениях.
Одна из первых моделей, описывающих взаимосвязь трения скольжения и трения вращения в случае неточечного контакта движущихся тел, была предложена в [2], где с использованием теории контактных напряжений Герца, получена численная зависимость силы сухого трения от отношения скорости скольжения к скорости вращения в предположении, что обе соприкасающиеся поверхности локально сферические. При этом в [2] вычислена только сила трения, без рассмотрения момента сил трения. Принципиально новое развитие теории Контенсу дано в [3], где с помощью переноса центра координат в мгновенный центр скоростей, получены точные аналитические выражения
главного вектора и момента сил трення для круговых площадок контакта в предположении, что распределение контактных напряжений в пятне контакта подчиняется закону Герца. Для использований полученных зависимостей в задачах динамики в [3] построены их дробно-линейные аппроксимации Паде, с помощью которых получены качественно новые результаты о динамике тяжелого шара, скользящего с верчением по шероховатой плоскости.
Теория Журавлева была применена автором для исследования динамики однородного круглого диска, скользящего с вращением по плоскости [4]. В предположении, что распределение контактных напряжений распределено по параболическому закону [5], получены точные аналитические выражения для главного вектора и момента сил трения и построены их дробно-линейные аппроксимации Паде. Представлены новые качественные результаты, отличающиеся от результатов работы [6], в которой данная задача была решена в предположении равномерного распределения контактных напряжений, слабо соответствующего теории упругости [5]. В частности, показано, что в момент остановки мгновенный центр скоростей находится точно на границе диска, и что движение заканчивается за конечное время.
Одно из отличий задач, изученных в [3, 4], состоит в том, что сначала строятся точные выражения для главного вектора и момента сил трения, а уже на их основе аппроксимации Паде, которые и применяются для исследования динамики. Данный подход, как и большинство использованных ранее, требует вычисления кратных интегралов по пятну контакта, которое возможно только для ограниченного числа видов распределений контактных напряжений, а получаемые в результате интегрирования выражения крайне громоздки и неудобны при решении задач динамики. Более того, в реальных задачах законы распределений контактных напряжений априори неизвестны и зачастую могут быть получены только эмпирически. Многие авторы пытались решить данную проблему, однако все попытки ограничивались либо упрощенными представлениями о законе трения либо разложениями в ряды Тейлора подынтегральных выражений [7], в зависимости от соотношения между скоростями скольжения и вращения. Для решения данной проблемы была разработана методика прямого построения аппроксимаций Паде, минуя вычисления соответствующих интегралов [8, 9].
Удобство использования аппроксимаций Паде, позволяющее описывать эффекты комбинированного сухого трения для всего диапазона угловых и линейных скоростей, привело к созданию принципиально новых моделей трения на их основе, которые могут рассматриваться как реологические, так как их коэффициенты могут быть определены из экспериментов. В зависимости от числа кинематических параметров, определяющих силовое состояние, в [1, 9] введено понятие размерности модели сухого трения, а в зависимости от порядка используемых Паде аппроксимаций понятие порядка модели. Например, для круговых площадок контакта с центрально-симметричным распределением контактных напряжений [1, 9] два силовых фактора: сила трения, направленная против скорости скольжения, и момент зависят от двух кинематических факторов: угловой и линейной скоростей (двумерная модель [1, 9, 10]. Если форма пятна контакта отлична от круговой, то дополнительно появляются ненулевая компонента силы, направленная по нормали к траектории, и зависимость от угла поворота пятна контакта [11, 13] (трехмерная модель).
Предположение о том, что в случае круговых площадок контакта распределения нормальных напряжений зависят только от радиус-вектора с началом в центре пятна контакта, хорошо применимо для моделирования комбинированного сухого трения при наличии поступательного и вращательного движений. Однако известны многочисленные экспериментальные факты о нарушении симметрии в диаграмме распределения контактных напряжений, когда трущиеся тела помимо поступательного и вращательного движения участвуют еще и в движении качения. Опираясь на эксперименты, прове-
денные ведущими мировыми концернами по производству шин для автомобилей, в [14] предложена эмпирическая зависимость влияния качения на распределение контактных напряжений. В соответствии с данными результатами влияние качения состоит в перекосе симметричной диаграммы распределения в направление мгновенной скорости качения. Этот перекос хорошо описывается линейной функцией с одним коэффициентом, зависящим от направления и скорости качения. Аналогичные эффекты наблюдаются при качении колесной пары по рельсу [15]. При описании возникающих эффектов в [14, 15] предполагалось, что направление мгновенной скорости качения совпадает с направлением проскальзывания (по касательной к траектории движения). Это предположение применимо при моделировании качения колесных пар и пневматиков автомобилей при отсутствии явлений заноса. В случае качения тяжелого шара, например бильярдного, по шероховатой поверхности, а также при возникновении заноса направление скорости качения не совпадает с направлением проскальзывания. Одна из первых попыток описать возникающие при качении шара эффекты предпринята в [16], с последующим обобщением в [17]. Однако авторы работ [16, 17] исходили из упрощенных представлений о возникающих эффектах, пренебрегая взаимосвязью качения и скольжения на этапе построения модели трения.
Нарушение в симметрии распределения нормальных контактных напряжений в случае круговых площадок контакта приводит к появлению составляющей силы трения, направленной по нормали к траектории, которая тождественно обращалась в ноль при наличии симметрии. В результате модель трения становится четырехмерной. Две компоненты главного вектора и момента сил трения зависят от четырех кинематических параметров: скоростей скольжения, вращения и качения и угла между направлением качения и скольжения.
2. Трехмерная модель трения скольжения и качения. Построение связанной модели трения скольжения и качения проводится для круговых площадок контакта в предположении справедливости закона Кулона в дифференциальной форме для малого элемента площади йБ внутри пятна контакта, в соответствии с которым дифференциалы главного вектора с№ и момента йМс сил трения относительно центра круга определяются по формулам
й¥ = -/а(х, у)йБ, йМс = -/а(х, у)йБ, V = (и-юу, юх) (2.1)
где / - коэффициент трения, г = (х, у) - радиус-вектор элементарной площадки внутри пятна контакта относительно его центра (фиг. 1), а (х, у) - распределение нормальных контактных напряжений, и - линейная скорость скольжения, а ю - угловая скорость вращения центра пятна контакта.
Перекос, возникающий при отличной от нуля угловой скорости качения юг, в симметричной диаграмме распределения контактных напряжений а(х, у) в прямоугольной системе координат {хОу}, ось х которой направлена вдоль мгновенной скорости скольжения фиг. 1, описывается зависимостью
д(х, у) = а(х, у)(1 + кг, \К\ ^ 1, К = 0, юг = 0 (2.2)
где Я - радиус пятна контакта, £ - ось прямоугольной системы координат, направленная перпендикулярно мгновенной скорости качения Ог (фиг. 2), а кг - безразмерный коэффициент, знак которого зависит от направления качения. Ограничения, накладываемые на значения кг, обусловлены требованием того, чтобы центр тяжести
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.