ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 74. Вып. 6, 2010
УДК 539.3:534.1
© 2010 г. Т. И. Белянкова, В. В. Калинчук, В. А. Лыжов
СВЯЗАННАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОДОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО ЭЛЕКТРОУПРУГОГО СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Исследуются особенности взаимодействия системы электродов с предварительно напряженным структурно неоднородным пьезоактивным полупространством. Задача сводится к уравнению свертки на системе отрезков, для решения которого используется обобщение предложенного ранее метода, позволяющего с высокой точностью учитывать динамические свойства среды. На примере задачи о возбуждении сдвиговых колебаний слабо неоднородного пьезоактивного полупространства показано, что характер влияния начальных механических напряжений на распределение электрической индукции в зоне контакта для однополярной и двуполярной системы из пяти и девяти электродов не зависит от количества электродов, но существенно зависит от вида начального напряженного состояния. Наиболее сильное влияние на распределение электрической индукции оказывает трехосное напряженное состояние.
Ранее [1, 2] при исследовании антиплоской динамической контактной задачи для системы электродов на поверхности электроупругого слоя использовался метод решения уравнений свертки, символы ядер которых — мероморфные функции. Для системы из двух электродов исследовано влияние их ширины и расстояния межу ними на распределение электрической индукции в зоне контакта. Было изучено [3, 4] влияние начальных напряжений на распределение индукции в зоне контакта и интегральные характеристики взаимодействия одиночного электрода с пьезоактивной средой.
1. Постановка задачи. В системе координат Лагранжа хь х2, х3, связанной с естественным состоянием среды, рассматривается динамическая связанная задача о взаимодействии многоэлектродной структуры с предварительно напряженным структурно-неоднородным электроупругим полупространством.
Система электродов представляет собой либо однополярную (накоротко соединены все электроды), либо двуполярную (электроды одного знака чередуются с электродами другого знака) систему из М электродов, занимающих выпуклые области От (т = 1, 2, ..., М), границы которых могут иметь угловые точки. На электрод с номером т подается потенциал фт, смещение поверхности среды под электродом описывается функцией
^т = {/1 т(хЪ хз) > /2т(хЪ хз) > /зт(хЪ хз)} > хЬ х3 е ^ т
Среда представляет собой преднапряженный пьезоактивный слой 0 < х2 < А, жестко сцепленный с преднапряженным пьезоактивным полупространством х2 < 0. Их начальная деформация обусловлена действием механических усилий. Слой и полупространство выполнены из материалов гексагональной сингонии класса бшш, главная ось симметрии которых совпадает с осью х3.
Краевая задача о колебаниях предварительно напряженной неоднородной среды описывается системой линеаризованных уравнений движения [3, 5] и электростатики
V.©(B) = p(n) V-A(n) = 0 (1.1)
dt
с граничными условиями на поверхности слоя xi = h и на границе раздела xi = 0 x2 = h : u(1) = f0m(xbx3), x\,x3 eQm, n • ©(1) = 0, n •A(1) = 0, xbx3 g Qm (1.2)
x2 = 0: u(1) = u(2), n -0(1) = n -0(2), n -A(1) = n -A(2) (1.3)
Здесь n = (0, 1, 0) — орт нормали к поверхности слоя, p(n) — плотности материалов слоя
/ 1 \ / (n) i (n) (n) (n) (n))
(n = 1) и полупространства (n = 2), u = ш ,u2 ,u3 ,u4 } — расширенный вектор смещения произвольной точки среды, (U4n) = ф(п) — потенциал электрического поля), f0m = {f1m, fine /зт,фт} — расширенный вектор смещения поверхности под электродом с
номером m, &(n) и A(n) — линеаризованные тензор напряжений и вектор индукции электрического поля электроупругой среды, компоненты которых определяются формулами [3, 5]
„(я) _ r (n)» 3uin) + (n)" д^ .(n) _ in)* duj >)* дф(п) (1 4)
„j _ cijki—— + eijki , А,- _ j ---Sj —— (1.4)
dxi dxi dxk dxj
(n)* (n)* (n)*
где Cjjki, eijk и s j — упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические константы материала слоя (n = 1) или полупространства (n = 2) в начально-деформированном состоянии. Далее полагаем, что начальная деформация обеих сред однородна и определяется соотношениями
R(n) = r(n) . Л(я), G(n) = Л(n) . Л(n)T
Л(n) = 5ljv(n)iij, v(n) = 1 + 5((n) = const (L5)
Здесь R(n) и r(n) — радиус-векторы точки слоя или полупространства в начально-деформированной и естественной конфигурациях, G(n) — мера деформации Коши — Грина,
ô(n) — относительные удлинения волокон, направленных в естественной конфигурации вдоль осей x1, x2, x3, совпадающих с декартовыми координатами, 5j- — символ Кронекера.
Компоненты тензоров деформации в начально-деформированной конфигурации даются формулой
sj = 1 ôy(v(n)2 - 1) (1.6)
(n)* (n)* (n)*
Коэффициенты j, ejl и sj в этом случае представляются выражениями
c(n)* _ р (nW (n) (n)c(n)
clksp - Plp °ks + vk vs clksp (17)
e(n)* _,,(n)e(n) P(n)* _ P Jn)Jn)Jn)Jn)-4 + Jn)
elsp - vs е1р Bip - B0V1 v2 V3 Vi Oip + Zip
Здесь Рр" — компоненты тензора напряжений в начально-деформированном состоянии.
Для решения краевой задачи (1.1) — (1.3) рассмотрим вспомогательную задачу о возбуждении колебаний в пьезоактивной среде при условии, что нагрузка, действующая на электрод, и распределение заряда под электродом на поверхности — = к — известные функции
п • ©(1) = дотХХъА, п • А(1) = —х^), хьХз е Пт (1.8)
Здесь д0т — вектор механических напряжений, действующих на электрод с номером т. При этом смещение точек поверхности среды под каждым электродом и его потенциал — неизвестные величины. Тем самым в краевой задаче (1.1)—(1.3) вместо первого граничного условия (1.2) используем условие (1.8).
Для дальнейших построений введем расширенный вектор напряжений
д т = (Ч1т,Ч2т,Ч3т,-&т) (1.9)
и используем матричную систему обозначений Фойгта для упругих и пьезоэлектрических констант
^ _ ^ ^ _ ^ /Л 1 ГЛ\
^ сав,е1кр ^ е1
при которой нумерация для парных индексов определяется соотношениями
11 ^ 1, 22 ^ 2, 33 ^ 3, 23 ^ 4, 13 ^ 5, 12 ^ 6 (1.11)
Далее используются безразмерные параметры: все линейные величины отнесены к
/• и -1 (2)
толщине слоя, т.е. I = 1п , плотность — к плотности полупространства р , все упругие параметры (напряжения и усилия) — к модулю сдвига подстилающего полупространства: с= с^/с44. При обезразмеривании пьезоэлектрических и диэлектрических констант используется множитель Е, = 1010 В/м, при этом
е)" = е^, ) = е(;)е(0)^2/с42)
(е(0) — диэлектрическая проницаемость вакуума). Далее штрихи опускаем. В качестве
безразмерной частоты используется параметр к2 = юк} Р(2)/с44).
2. Решение краевой задачи. Методами операционного исчисления (а1 и а2 — параметры преобразования Фурье по осям х1 и х3) уравнения (1.1) и (1.2) приведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение которой после удовлетворения преобразованным по Фурье последним двум граничным условиям (1.2) и условию (1.8) представляется в виде
М 4
ир] = —2^^ | |Кр)(аъ-2,а2)ЬубУт(а 1,а2)ех ^^а^ (2.1)
4п т=1)=1 г1 г2
К^а],-2,а2) = -га^)), к2]\аъх^) = )
М (п) ' (2.2)
кРдаь-2,а2) = -га2%", Р = 3,4
4У = "Т£8Ь^ + Ау,к+4СЬак1)х2], р = 1,3,4 Л к=1
^2)' = -1 Е /2^^ сЬ СТ^Х + Лу,к+4«Ь СТ^Х) Л0 к=1
4
4? = ^X/кЛм+8?^, ^ = 1, 2, 3, 4
До к=1
От(«],а2) — трансформанта Фурье компоненты д-т(х],х3) расширенного вектора qm
(1.9), Ь = га-1, Ь2 = 1, Ь3 = га-1, Ь4 = -га-1, А0 = ёЫ А, Атк — алгебраическое дополнение элемента матрицы А с номером mk . Матрица А имеет вид
/1 1с1 /1 2С2 /13С3 /14с4 /1 151 /1 2^2 /1 3^3 /1 4^4 0 0 0 0
121^1 12252 12353 12454 121с1 122с2 123с3 124с4 0 0 0 0
131С1 132с2 133с3 134с4 13252 13353 13454 0 0 0 0
^41с1 1^2с2 113сз ^14с4 ^41^1 ^42^2 ^43^3 ^14^4 0 0 0 0
А =
0 0 0 0
г (1) ./21 / (1) / 22 / (1) .7 23 / (1) / 24
0 0 0 0
0 0 0 0
/11 /12 /13 /1 /14
0 0 0 0
/11 /1 /32 /1 /33 /1 /34
/1 /41 /1 /42 /1 /43 /1 /44
/12 / (1) /12 /1(31) /141' -/1(12) / (2) -/1(32) -/1(42)
0 0 0 0 / (2) 21 / (2) 22 / (2) 23 / (2) 24
/3(11) / (1) /32 / (1) /33 /31' -/3(12) / (2) -/32 / (2) -/33 -/3(42)
/4(11' / (1) / 42 /431' / (1) / 44 -/4(12) / (2) -/42 -/4(32) / (2) -/44
0 0 0 0 -/121 / 2 -/123 / 2
/11 /1 /22 /1 /23 /1 /24 12 12 / 2 12 -/24
0 0 0 0 / 2 / 2 -/32 / 2 / 2 -/34
0 0 0 0 / 2 /41 / 2 /42 / 2 /43 / 2 /44
(2.3)
^ _ с(п)(.,.(п) («К («)' /1к = с66 (°к ,/1к + /2к )
I" - п2с(п) €(п) л. с(п)^(п) /(п) п2с(п) €(п) п2е(п) €(п) 12к = -а1с12 Пк + с22 °к /2к - а2с23 /3к - а2е32 /4к
/п _ с(п)(/(пК „(п) €(«)' , е(пи(п) €(")
/3к = с44 (/2к + °к /3к ' + е24 ак /4к
/п _ е(п)('/(п) , ,,.(п) €(п)' „ОО-М €(п)
/4к = е24 У2к + /3к ' - £22 /4к
&р = с^Н, С р = сЬ о'р^Н
Значения ак (к = 1,2,3,4, п = 1,2) удовлетворяют характеристическому уравнению
^с(п) 2 (п) -а2с- ' 2 (п) -а2е- '
-а2 *№п) А(п) 2 (п) (п) -а2 ак'с2^ 2 (п) (п) -а2ак '
2 (п) -а2 с- ' „(п)с (п) с2 А3п) А4п)
2 (п) -а2 е- ' „(п)е (п) е2 А4п) ^а5п)
= 0
(2.4)
где
Ain)(akn)) - c66 °k ■ (n) 1 - c11 a1 ' (n) 1 , (n) 1 - c55«1+ p K1
A1n)(akn)) = c(n) _(n)1 (n) 1 - c66 a1 (n) 1 , (n) 1 - c44a1 + p ;K1
A3n)(akn)) _ c44 (n) 1 - c55 a1 (n) 1 , (n) 1 - с3з «1 +P K1
A(n)(akn)) - >Un)1 - e14 ®k (n) 1 - e15 a1 (n) 1 - е3з a1
A5nUn)) _ Jn) (n) 1 - ^11 ®k (n) 1 -£11 a1 (n) 1 -S33 a1
(2.5)
Коэффициенты fpkk удовлетворяют системе однородных уравнений
Akfk + ¿n^fk ajCf - akf = о
-a^c f + Akfk a^C f a^ef = 0 (26)
fk + akn)ci(n) fk + Mfk + 42$ = 0 .
-a¡e^fk + ^Wf + Mfk - A^fk = 0
Apk = Ap(ck")), p = 1,1,3,4,5, k = 1,1,3,4, n = 1,1
Представление (2.1) описывает перемещение произвольной точки среды под действием заданной на поверхности обобщенной нагрузки qm. В случае, когда колебания в среде инициируются приложенными к электродам потенциалами фт и смещение поверхности среды под электродами — также заданная величина, в представлении (2.1) необходимо положить xi = h. При таких условиях соотношение (2.1) представляет собой интегральное уравнение относительно M неизвестных расширенных векторов напряжений q m
M M
Z k(1)qт = Z Яk(1)(xi - £,h,Хз - n)qт= fop (xi,Хз) е Пр (2.7)
m=1 m=1 о
3. Сдвиговые колебания. Рассмотрим частный случай описанной выше задачи о возбуждении сдв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.