РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 61-71
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.373
СВЯЗАННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ СУБМИЛЛИМЕТРОВОГО ДИАПАЗОНА
© 2015 г. М. А. Дунаева12
1ОАО "Радиофизика" Российская Федерация, 125480, Москва, ул. Героев-Панфиловцев, 10 2Московский физико-технический институт (государственный университет) Российская Федерация, 141700, Долгопрудный Московской обл., Институтский пер. 9
E-mail: margr@mail.mipt.ru Поступила в редакцию 02.06.2014 г.
Описан подход к увеличению выходной мощности источника терагерцевого излучения на чипе. Теоретически исследовано влияние параметров линии и числа генераторов на спектр системы и фазовую стабильность. Представлены результаты экспериментального исследования генератора, изготовленного по 350 нм SiGe — технологии.
doi: 10.7868/S0033849415010040
ВВЕДЕНИЕ
Терагерцевый частотный диапазон перспективно применять в системах безопасности, медицине, системах контроля в производстве медикаментов, для неразрушающего анализа произведений искусства. В последнее время активно рассматривается возможность разработки высокоскоростных тера-герцевых систем для беспроводной связи между сверхбольшими интегральными схемами (СБИС) (кристалл—кристалл) и в пределах кристалла, для радиолокации на больших высотах и космоса.
Для медицинских приложений и беспроводной связи в системах на кристалле одним из приоритетных направлений является разработка миниатюрных генераторов терагерцевого излучения. Наиболее критический недостаток существующих источников на чипе — недостаточная мощность выходного сигнала. Один из способов решения этой проблемы — умножение частоты [1]. Наибольшими недостатками решения предложенного в [1] являются его низкий КПД и необходимость использования внешнего генератора.
Другое решение состоит в синхронизации нескольких маломощных источников [2—8]. В данной работе рассматривается вариант с умножением частоты на самих генераторах, а затем их синхронизация на умноженной частоте. Наибольшей проблемой связанной со вторым решением является фазовая стабильность. Предложено теоретическое исследование фазовой стабильности системы, результаты моделирования четырех синхронных генераторов, а также результаты экспериментального исследования изготовленного генератора.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ На рис. 1 представлена схема возможной синхронизации. Осцилляторы х1 с импедансом г собраны в кольцевую структуру. Длина микропо-лосковых линий составляет X/ 4, т.е. равна четверти предполагаемой длины генерируемой волны. Наибольший интерес вызывает вопрос фазовой стабильности генераторов и зависимости сдвига фаз генераторов от импеданса и длины линий.
Итак, для системы генераторов на рис. 1 можно записать четыре матричных уравнения, связывающих токи и напряжения с падающими и отраженными волнами:
U = At + и,- = Ai+и + Bi+1(-,
I , (A, - B-), w
1+1i = _ (A,+1i — Bi+1i), w
(1)
(2)
V = Au exp((a + jk()X/4) + Bu exp(-(a + jk()X/4),
V = a, i_1 exp((a + jkt )X/ 4) + + Btt-1 exp(-(a + jk,) X/ 4),
it, = A,, exp((a + jk,)X/4) -- Ba exp(-(a + jk ,)X/4),
(3)
(4)
'¡+и = 4+и ехр((а + Д-+1)X/4) -- Д+1 ехр(-(а + Д+1 )Х/4). Обозначение токов и напряжений введено на рис. 1, а — коэффициент поглощения, к — волно-
Рис. 1. Кольцо из N связанных осцилляторов.
вой вектор, у — вне индексации мнимая единица. Величины Л{ки Вк соответствуют излученной и отраженной волнам, которые, используя (1) и (2), можем выразить через напряжение ик и ток 11к:
ик + мЬк
Лк -
2
Лк+1к -
_ (1 + ЧН)ик - »I,
кк
в _ик - VIк В1к - ---.
в,
'к+1к
= (1 - у/Щщ + У/, 2
кк
(5)
(6)
(7)
(8)
Подставив полученные выражения в (3) и (4), получим по три матричных уравнения для напряжений и токов:
4 7 4
V = ирЪ + ) + »/¿сЪ (
V=и-1^ (а7+ + »(( - I--1 )сЪ( 7*).
V = и,,Ъ (( + ) + -1СЪ (( + 7®).
(9)
к = I и$Ъ
(— + 7к^) + и сЪ + 7кА).
\ 4 4 ! » \ 4 4 )
(10)
+ Иы сЬ (( ). » I 4 4 /
,-1 = /,н8|1 (( + Ь сЪ (( 7*).
Рассмотрим осцилляторы х. В схеме для моделирования использовали трехточечные кольцевые схемы из трех и четырех транзисторов. Для теоретического исследования удобнее ограничиться рассмотрением трехточечной схемы с одним транзистором (рис. 2). Уравнение для такой схемы имеет вид
(+ V + (г ^р
(г
йгА
(г\Ь С
+ ^Г + А. (1 - г^р) + ^ = 0. (г ь ьсу ьс
(11)
где ii = iii + 4_1. Ь — индуктивность, С — эквивалентная емкость транзистора, г — активное сопротивление катушки, в — коэффициент обратной связи, S — крутизна транзистора.
2
Используя матричные уравнения (9) и (10), а полосковой линией ^^ = 2, получим следующее также предположение о согласовании нагрузки с уравнение, связывающее ц и V :
. _ 1 ГУ_1 + V (ехр(аV2 + Д (к, + к1 ,)/4) + 81п X (к,- - к^/4)^ ' w^ ехр(аХ/2 + Д (к1 + к{ч)/4) + ео8 X (к1 - к{_^/4 ) + 1Г у-+1 + V (ехр(аХ/ 2 + Д (к, + к,+1^4) + 81п X (к, - к,+хУ4) ^^ ехр(аХ/2 + Д (к, + кг+1)/4) + ео8X (к,- - кг+1)/4
(12)
Уравнение (11) при использовании выраже- После линейного преобразования строк в (16) по-
ния (12) может быть переписано в виде
(а + + (а + бе)^-
лучим
йг
(а + Бе)— = Бв а
v ' ьс с
(У Г —Л —+гу
Ч Ш Ь у
(13)
ёе1
--е - sE
Ь
е
Б£
с
(е - Б (а + Бе)-1)
- е
5 +
где A — матрица преобразования вектора V, в ,, E — единичная матрица.
Для решения уравнения (13) проведем следующую замену:
ЬС (г/Ь +
= 0. (17)
Определитель (17) представляет собой произведение определителей диагональных блоков. Детерминант матрицы A найдем как произведение ее собственных чисел ^, где
в. = ^ + , йг ь ,
(14)
$ I =
2 еоБ (2п1/п) + ехр((а + }к) X/2)
(18)
w 1 + ехр((а + }к) X/ 2) Собственные числа матрицы а + Бе равны сум-
и умножим уравнение (13) на (а + Бе) 1. Тогда ме£,, и Б, а у обратной матрицы (а + Бе) 1 они рав-
получим
ны обратной величине суммы выражения (18) и Б:
- Г е е
Ь
е ^е - (а + Бе)-1
ьс С с у '
(15)
где точка означает дифференцирование по времени.
Если предположить, что все волновые числа к примерно равны, а также волновое число незначительно зависит от времени, то матрицы а и
(а + Бе)-1станут циклическими. Кроме того, для решения уравнения (15) целесообразно использовать операторный метод. Остается найти собственные числа 8 блочной матрицы из уравнения (15). Секулярное уравнение для системы (15) запишем в виде
ёе1
--е - 5е е
Ь
-а.е Бве - (а + Бе)-1 - 5е Ьс с с
= 0. (16)
Рис. 2. Схема осциллятора х
0
( + S) = ■
ДУНАЕВА w (1 + exp((a + jk) X/ 2))
2 (cos (2nl/n) + exp((a + jk) X/ 2)) + wS (1 + exp((a + jk) X/ 2)) Воспользовавшись выражением (19), найдем определитель нижнего правого блока (17):
det
^ (e - S (a + SE)-1)- e Sp_
1
LC (r/L + s)
лп n—1
= п
J. l=0
SP
- s -
1
wS (1 + exp((a + jk) X/2))
LC (r/L + s)
Л
C 2(cos (2nl/n) + exp((a + jk) X/2)} + wS (1 + exp((a + jk) X/2))j Для нахождения детерминанта (17) умножим (20) на (r/L + s)n, после упрощения получим
det
--e - se L
e
SP с
(e - (a + Se)-1 )■
- e
s +
1
«-1
2 + J r 2Sp
= П (s + s (-fK ) + Lc - 2Se K))
1
где
K =
LC (r/L + s)
cos (2nl/n) + exp((a + jk) X/ 2)
2 (cos (2nl/n) + exp((a + jk) X/ 2)) + wS (1 + exp((a + jk) X/ 2))
(19)
(20)
(21)
Приравняв выражение (21) к нулю, получим уравнение, решением которого будет набор п пар величин, в общем случае не комплексно-сопряженных:
(22)
„ =--П+а к, ^ и.+а к,)2--Ц
1 2Ь С ' \\2Ь С '! ьс
Допустим, что колебания установились, тогда действительная часть обращается в нуль:
j^ImKt ± j-^. C ' yflC
(23)
В случае, когда потерями в линии можно пренебречь, мнимая часть к , может быть записана следующем образом:
т f Sw Im K, =--x
' 4
sin (kX/ 2)
cos
(2nl/n) -1 + щ(cos (kX/2) + 1)
, l ф 0, (24)
Im K0 = 0,
ская частота генерируемого сигнала, можно записать уравнение для :
sin (щХ/2c)
щ- ~ -
А,- ±
S 2pw
4C cos (2nl/n) -1 + a,(cos (щ-Х/2c) +1) 1
+
0 ~ —
4LC 1
4LC'
, l * o,
(25)
Сделав в (25) замену Дю, = ю, - ю0, получим следующую систему уравнений:
ДЮ1;
S 2pw, 4C '
sin (Дщ/k/2c)
(26)
• + Д,, l Ф 0,
где а1 — безразмерный коэффициент.
При решении системы (15) было сделано "сильное" предположение о равенстве волновых векторов, которое реально во время переходного процесса не выполняется. Учет разброса волновых векторов можно провести путем добавки Ai в (24). Согласно выражению для волнового вектора к = ю,г/с. где с — скорость света, ю,г- — цикличе-
cos (2nl/n) -1 + at (1 - cos (ДюиХ/2c)) Дю0 = 0 .
Из решения системы (26) получаем спектр частот, причем отклонение от несущей будет зависеть от Д¡. Для процесса стабилизации колебаний в системе генераторов из (25) получим
фц ~ B sin ф„ + Дщ,
(27)
где ф,;- — разность фаз между соседними генераторами, В — положительный коэффициент. Заметим, что уравнение (27) совпадает с уравнением Адлера из [2]. Точки равновесия найдем из условия равенства нулю левой части уравнения (27),
0
VCC
L L L L
(Г (Y \ л
/ / / ^ъ /
O
Рис. 3. Схема реализованного кольцевого генератора.
их будет два набора: = arcsin(-A®;i/B) + 2nm и Ун = п - arcsin(-AЮ;,/В) + 2пт. Составив для обоих наборов точек уравнения в отклонениях, получим фц « ±ф¡^B2 + А®2, где плюс соответствует первому набору решений, минус — второму. Очевидно, что устойчивым может быть только второй набор решений. Чем меньше А®и, тем ближе разность фаз соседних генераторов к я. В тоже время, из [8] следует, что для стабильности генерации необходимо условие равенства фаз между соседними генераторами. Так как сумма разностей фаз должна быть равна 2ят, где т — натуральное число, то ф = 2nm/N, где N — число генераторов. Для двух или четырех генераторов в кольце, разность фаз соседних будет стремиться к я. При большом наборе генераторов возможна их синхронизация с разностью фаз соседних устройств, отличной от я.
Действительно, при моделировании системы генераторов в программе Spectre компании Cadence для системы из двух и четырех генераторов при любом разумном выборе параметров наблюдали синхронизацию соседних в противофазе. Для системы из восьми генераторов синхронизации часто не происходила.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
В качестве практической реализации системы св
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.