РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 5, с. 513-521
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2;621.372.8
СВЯЗАННЫЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДВУХ ЦИЛИНДРАХ ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА © 2015 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 141190, Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1 Е-таИ: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 24.09.2014 г.
Рассмотрена двумерная задача возбуждения линейным источником структуры в виде двух идентичных сплошных и полых цилиндров из метаматериала в условиях, когда геометрические и материальные параметры цилиндров обеспечивают в каждом из них существование высокодобротных квазистатических резонансов. Исследовано влияние расстояния между цилиндрами на пространственную структуру резонансных полей. Показано, что частотный отклик структуры имеет вид, характерный для связанных резонаторов. Численно исследовано поведение полей в окрестности критической связи, приводящей к качественному изменению частотной характеристики составного резонатора.
БО1: 10.7868/80033849415040026
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается двумерная задача возбуждения нитью магнитного тока двух одинаковых полых цилиндров из материала, диэлектрическая е и магнитная ц проницаемости которого отрицательные (рис. 1). Приняты следующие обозначения: а — радиусы внутренних полостей, Ь — внешние радиусы цилиндров, d — расстояние между их центрами. Частный случай а = 0 соответствует сплошным цилиндрам. Используются две системы полярных координат: (тъ ф1) и (г2, ф2), которые связаны с центрами левого и правого цилиндров соответ-
ственно. Исследуется случай ТМ-поляризации, когда двумерное волновое поле и = и1(г1, ф1) = = и2(г2, ф2) имеет смысл г — компоненты магнитного поля: и = НГ
Источник цилиндрической волны расположен на прямой, соединяющей центры цилиндров. В переменных (гъ ф1) и (л2, ф2) возбуждающее поле определяется следующим образом:
и0 = Н02)
к^2 + г02 + 2г1г0 ео8 ф1
= Н02) ((г22 + (Л) + /)2 + 2Г2(Г0 + /)С05 ф2),
(1)
Е < 0, ц < 0
Рис. 1. Геометрия задачи.
|Ui(b,0)|
Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики структуры из двух сплошных цилиндров при d = 2.1b; кривая 1 — \U1(b,0)\, кривая 2 - |U2(b,0)|.
где Н02) — функция Ганкеля, к — волновое число в свободном пространстве.
Задача возбуждения сплошного и полого одиночных цилиндров из метаматериала рассмотрена в работах [1, 2]. Установлено, что при значениях е, близких к минус единице, в цилиндрах электрически малого радиуса (кЬ < 1) существуют высокодобротные резонансы. В условиях резонанса волновое поле описывается единственной азимутальной гармоникой ео8(тф). При этом поле локализовано вблизи поверхностей цилиндра г = Ь и г = а. Такие цилиндры можно рассматривать как кольцевые резонаторы на сильно замедленных поверхностных волнах, распространяющихся вдоль границ метаматериала.
Цель работы — исследование резонансных явлений в структуре, содержащей два идентичных цилиндра. Взаимодействие их резонансных полей приводит к тому, что частотный отклик структуры имеет вид, характерный для системы из двух связанных резонаторов. Параметром, определяющим связь между отдельными резонаторами, является расстояние d между цилиндрами. Найдена область значений d, которая соответствует критической связи, приводящей к появлению провала в частотной характеристике структуры.
Из близких по тематике исследований отметим работы, в которых рассмотрены связанные плазмонные колебания двух сферических нано-частиц (см., например, монографию [3] и приведенную там библиографию).
1. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Численные расчеты волновых полей проведены с помощью модифицированного метода дискретных источников [4], который был использован в работах [1, 2] при исследовании резонансных свойств одиночных цилиндров из метаматериалов.
Приведем результаты, полученные для случая сплошных цилиндров (а = 0). Во всех расчетах полагали г0 = 1.2Ь. При этом метаматериал имел следующие материальные параметры:
6 = -1.01, ц = -0.91. (2)
Частотный отклик структуры будем характеризовать значениями модуля волнового поля в точках г1 = Ь, ф1 = 0 и г2 = Ь, ф2 = 0, расположенных на границах цилиндров. На рис. 2 представлены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) структуры для случая, когда зазор между цилиндрами мал: й = 2.1Ь. На кривых 1 и 2 имеется несколько резонансных всплесков. Наименьшая резонансная частота равна кЬ = 0.33... На рис. 3 представлена АЧХ одиночного цилиндра (й = да) с указанными выше значениями материальных параметров. Из сравнения кривых, приведенных на рис. 2 и 3, следует, что резонансные частоты двухэлементной структуры существенно отличаются от резонансных частот одиночного цилиндра.
На рис. 4 изображено распределение модуля поля и2(Ь, ф2) вдоль границы правого цилиндра на резонансной частоте кЬ = 0.33... Расчеты показали, что резонансные поля на левом и правом цилиндрах с большой точностью удовлетворяют со-
СВЯЗАННЫЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ |01(Ь,О)|
10'
10-
10'
_I_I_
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика одиночного сплошного цилиндра.
1.2 кЬ
|и2(Ь,ф2)| 45
40 35 30 25 20 15 10 5
0 1 2 3 4 5 6 7
ф2, рад
Рис. 4. Распределение модуля поля \\ 2(Ь, ф2)| вдоль границы сплошного левого цилиндра на резонансной частоте кЬ = = 0.33... при й = 2.1Ь.
отношению \\1(Ь, ф)| = \\2(Ь, п-ф)|. Необычным свойством этих сложных распределений являются сверхбыстрые осцилляции в областях ф1 = 0 и ф2 = п. Эти области соответствуют точкам, где границы цилиндров максимально сближаются.
Покажем, что такое поведение поля связано с наличием двух близко расположенных границ раздела между метаматериалом и свободным пространством. Физически очевидно, что геометрию составного тела в области максимального сбли-
|и2(Ь,0)|
кЬ
Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики структуры из двух сплошных цилиндров; сплошные кривые — \ ^Ь, 0), штриховые кривые — \\2(Ь, 0). Кривые 1, 2 соответствуют 1 = 106; 7.7Ь.
жения цилиндров (г1 « Ь, ф1 ~ 0) можно упрощенно представить в виде плоскопараллельного зазора толщиной 5 = 1 - 26, разделяющего два полупространства с материальными параметрами е и ц. При значениях е и ц, определенных согласно формуле (2), в зазоре малой толщины существует четная поверхностная волна, постоянная распространения которой к удовлетворяет условию к > к [5]. Кривая на рис. 4 рассчитана для параметров кЬ = 0.33... и 1 = 2.16. Это означает, что электрическая толщина зазора равна к,Ъ = 0.033____
Зная величины к,Ъ, е, ц, из соответствующих дисперсионных уравнений (см. [5]) получим к к ~ 160. В результате поле стоячей поверхностной волны в области г1 = Ь, ф1 ~ 0 будет описываться функцией ео8(ЛЬф1) « ео8(53ф1). Период осцилля-ций поля и2(Ь, ф2) вблизи направления ф2 = п (см. рис. 4) согласуется с оценкой, вытекающей из приведенной выше формулы. Заметим, что в случае одиночного цилиндра резонансное поле описывается одной азимутальной гармоникой ео8(тф).
Таким образом, из приведенных выше результатов следует, что структура из двух близко расположенных цилиндров так же, как и одиночный цилиндр, имеет резонансные свойства в низкочастотной области. Однако пространственно-частотные характеристики резонансных полей принципиально отличаются от соответствующих характеристик полей одиночного цилиндра.
Очевидно, что при достаточно большом удалении цилиндров взаимодействие парциальных квазистатических полей уменьшается (каждое поле сосредоточено в окрестности соответствующего цилиндра). При этом вблизи цилиндров поля и 1(г1, ф1) и и2(г2, ф2), имея одинаковую пространственную структуру, будут различаться лишь амплитудами. В результате АЧХ структуры \\1(Ь, 0) будет иметь такой же вид, как и АЧХ одиночного цилиндра.
Представляет интерес исследование промежуточной области расстояний ё, в которой взаимодействие цилиндров приводит к качественному изменению АЧХ. На рис. 5 изображены АЧХ для 1 = 10Ь и 1 = 7.7Ь (кривые 1, 2 соответственно). Результаты расчетов представлены в узкой полосе частот, соответствующей резонансу четвертой гармоники. В этом диапазоне частот поле на границах цилиндров с большой точностью описывается функциями ео8(4ф12), что проиллюстрировано на рис. 6, где приведены функции \1(Ь, ф1) и \2(Ь, ф2) для случая 1 = 7.7Ь. С увеличением расстояния ё точность приближенного описания поля одной азимутальной гармоникой должна возрастать, что подтверждают численные расчеты. Из рис. 5 следует, что при 1 = 10Ь резонансные кривые имеют один максимум, а при 1 = 7.7Ь на резонансных кривых образуется провал.
|Ц2(Ь,ф2)|
6000 Г
5000 -
4000 -
3000 -
2000
1000
0 1 2 3 4 5 6 7
Р1, Р2, Рад
Рис. 6. Распределение модулей полей \\ф1)| и \\2(Ь,ф2)| вдоль границ сплошных цилиндров на резонансной частоте кЬ = 0.7075 при й = 7.7Ь; кривые 1 — \х(Ь,ф!), кривые 2 — \2(Ь,ф2)|.
Рисунок 7 иллюстрирует поведение модуля поля вдоль линии, соединяющей центры цилиндров, для двух случаев: когда связь между парциальными резонаторами не достигла критического уровня (й = 10Ь, кривая 1) и когда превысила его (й = 7.7Ь, кривая 2). Расчеты проведены на центральных частотах соответствующих резонансных кривых. Видно, что при й = 10Ь амплитуда поля на левом цилиндре больше, чем на правом, а при й = 7.7Ь соотношение между амплитудами изменилось на противоположное. Отметим, что уровень поля на границах цилиндров значительно превышает уровень поля в средней точке зазора г1 = й/ 2.
На рис. 8 изображен модуль диаграммы рассеяния двух цилиндров |ф5(ф1), разнесенных на
расстояние й = 7.7Ь. Диаграмму рассеяния определяли по формуле
и5 (г1, ф1) = Ф 5 (ф1) (2/ пкг1 )2 ехр (-1кг1 +1 п/4), кг1 ^ да,
(3)
где и1 (г1, ф1) — рассеянное поле в системе координат (Г1, ф1).
Обратим внимание на то, что диаграмма рассеяния составного объекта общей протяженностью порядка длины волны имеет сложный многолепестковый вид. При этом амплитуды лепестков значительно превышают уровень диаграммы на-
правленности первичного поля |Ф0| = 1. Такие свойства "сверхнаправленности" характерны д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.