ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 3 декабрь,2005
i • т- -г, . г vp, -л /»»
©2005 г. A.C. Чихачев*
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ РАЗБЕГАЮЩИХСЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Изучаются связанные состояния в нестационарной системе разбегающихся ¿-цент-ров. Рассмотрены состояния, характеризующиеся разной глубиной уровня точечных центров, в одномерной и трехмерной задачах.
Ключевые слова: уравнение Шредингера, точечный потенциал, связанное состояние.
1. ВВЕДЕНИЕ
' ' ... 'V .-V» .
Представление о потенциале нулевого радиуса действия оказывается плодотворным для решения нестационарных задач квантовой механики. При помощи нестационарных моделей с точечными взаимодействиями, допускающих точное решение, изучались нуклонное туннелирование [1], нейтрализация и перезарядка атомных частиц [2], [3]. Большое число работ посвящено изучению рассеяния частиц на движущихся точечных центрах (см., например, работы [4]). Ряд работ посвящен решению различных вопросов, связанных с поиском точного решения нестационарного уравнения Шредингера [5]-[7]. При этом связанные состояния в системе разбегающихся центров представляются недостаточно изученными. Под "связанными" имеются в виду состояния, описываемые функциями, достаточно быстро (экспоненциально) убывающими по пространственным переменным. По-видимому, впервые связанное состояние в системе разбегающихся центров в одномерной задаче рассматривалось в работе [5]. В настоящей работе изучены связанные состояния для одномерной и трехмерной систем, причем рассматриваются системы, характеризуемые разной глубиной уровня разбегающихся центров. Решения определяются при помощи опережающей функции Грина.
2. СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА В ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ
Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера следующего вида:
+="vt)+6{x+w
* Всероссийский электротехнический институт им. В. И. Ленина, Москва, Россия. Е-таП: churchev@mail.ru
4 Теоретическая и математическая физика, т.145, № 3, 2005 г. ^ * 385
i ш^лищ 5Ль:(«йжацэпО
386
•А,?. £
А. С. ЧИХАЧЕВ
. ХЖ Г ч Т.Т у ? XI Т 'Т о у' 1',
Здесь ф(х, <) - пси-функция, используется система единиц, в которой тп = Н = е = 1. При V = 0 уравнение (1) имеет решение, описывающее единственное связанное состояние:
Опережающая функция Грина свободного уравнения Шредингера имеет вид
0п - --—^)ехр1 2(«'-<) /' (2)
л/-2т(г - г')
где а(х) = 1 при х ^ О, а(х) = 0 при х < 0.
Уравнение (1) с учетом (2) может быть представлено в интегральной форме
,, . а Г°° ¿г' (
¿(а: — г>£)2
2(* - 0
+ ехр
(х + уЬ)
21
2(г' - о
(3)
Рассмотрим симметричный случай ф(х,Ь) = 'ф(—х, £). Если обозначить /(£) = е-®"2*/2^^, <), то из (3) следует интегральное уравнение для /:
2(у2Ы'
у/241Л л/«7^ V + 6ХР
£' - £
(4)
Это уравнение может быть приведено к уравнению с разностным ядром посредством замены £ = г-1, £' = (г')-1, ^(г) = /(т-1)т-3/2. Для образа Лапласа
г ос
Нр)= д{т)е-^6т Jo
можно получить дифференциальное уравнение первого порядка, для решения которого удобно положить р = д2/(2г). Решение имеет вид
Ня) — Со ехр [ гад
2у
+
га
2у Г
(5)
где множитель обеспечивает плавный переход к случаю —► 0 (при этом Со
не зависит от у). Обратное преобразование Лапласа позволяет получить следующее решение для /(£):
<квекя:>. ин
(в)
Контур интегрирования в комплексной плоскости ц представляет собой два луча (+гоо, 0) и (0, +оо). Использование разложения
■еЯ
приводит к равенству
/(«) = ^Е ^ +2Мехр(|(а +
(7)
ЗвЕ
-дежюптшатш н
аэТ
I
т = К = е = 1. взанное состоя-
П 3>1Л
I
(2)
эме
-■«',«). (3)
чить /(*) =
(4)
посредством
Г
I которого
(5)
:)У1 ЭТОМ Со следующее
(6)
два луча
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
387
Чтобы получить решение уравнения (1) в явном виде, следует вычислить интеграл
00 м' ____( ____( ¿(х + ы)2
+ ехр -
2(«' - «)
В результате получим
Ф(х,г) = 2_<В3ех------—)х * ..... • - -г«-«*
а \ ' ги-.ггч
х {ехр(гг;а; - (а + 2гг;я)|х - уЦ) + ехр(-гг;э; - (а + 2гг;я)|а: + г;£|)}, (8)
где
В.
аС0 у/Ы
V 2у) «Г
(14) •П
Выражение (8) совпадает с решением, полученным другим методом в работе [5]. ^ Решение (8) является симметричным по х решением уравнения (1). Если в (8) сумму экспонент в фигурных скобках заменить на их разность, то полученное выражение также будет удовлетворять уравнению (1). Это решение, антисимметричное по х, найдено в работе [2]. Отметим, что если симметричное решение при V —> 0 переходит в связанное состояние одного ¿-центра с удвоенной константой связи, то антисимметричное решение при у —> 0 переходит в ф = 0.
3. ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ЦЕНТРОВ С РАЗНОЙ ГЛУБИНОЙ ' ~
Рассмотрим несимметричный случай - разбегание ¿-центров, характеризующихся различной глубиной связанного уровня. Уравнение Шредингера
,6ф 1 д2ф
в интегральной форме имеет вид
ф
= —Г
\fbTi Л
.... , {(х -уг')2\ а. ... ( {(х + уь')2
а/х(Оехр - ' +/?/2(Оехр - ^
где /1 = е~™2г/2ф(уЬ,Ь), /2 = е~гу2г12ф(-у1,1). Вместо одного уравнения (4) получим систему
оо
Л'
г
00 Л'
Л (О ехр -
00 дХ' , ( 21У2Н' 2 1У2П'\ 0 Г00 4?
+
0 Г
\/2тГг Л
(9)
-МП
^ДПу ^ г-г) \/2^Л тД^г'
Положим /11,2 = /о°° 31,2(т)е_рг <1т, где 31,2 = /1,2(т_1)г"3/2. Для /11,2(9) (при р = <72/(2г)) получим систему уравнений
= £
Я Щ Я я Я щ я я
388
кОШТОЛН А. С. ЧИХАЧЕВ
Система (10) имеет решение следующего вида:
Л! = 2-й (г) + С27, _ 2-й (г)},
I 2+1 2 1 4ч ->
Л2 = в(-"-<(«+«/2)|Сз ^ (г) + с4 у, ^ (г)|,
I 2 1 4и 2 1 4и ->
где г = у/сфе~2ьч/(2у), Jí,(z) - функция Бесселя, Сг - произвольные константы. В случае а = /3 и симметричного состояния = /гг при С\ = г'Сг МОЖНО получить, ЧТО
Ь /2 2г; Г .
/11 = /12 = \--ехр\-iaq-e ч— >С».
ужа [ 2У )
При Сщ ~ ега/(2и) решение соответствует случаю, рассмотренному в предыдущем разделе. В общем случае разложение функций Бесселя в ряды позволяет получить решение, описывающее связанное состояние, в следующем виде:
3
где г± = \xivt], - ехр(-а3г + 1а2г/2), Ха = ехр(-Ьа2 + гЬ^/2). Величины а3 и Ь3 определяются соотношениями
а2з+1 = /? + 2гг/(2в + 1), ¿2^+1 = а + 2г'г;(2«+1), а2г, = а + 4г'г/в, =+ 4г'г>в. Коэффициенты С'^ имеют вид
где
1 гДч-^^) 1 ГС- -
М, = 1 1 + 4»1; ^ дг 1 1 У2 4гу ^
Коэффициенты С^ получаются из
заменой а на /3 и /3 на а. Справедливость выражения (11) может быть проверена непосредственной подстановкой в уравнение. Это решение также было найдено в работе [6].
4. ТРЕХМЕРНАЯ СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
В трехмерном случае одного движущегося с постоянной скоростью ¿-центра связанное состояние описывается ^-функцией следующего вида: , 5,
1 Г , , . , ч .v2t
|г _ ехр|-к|г-+гу(г - V*) + г — + (12)
Эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера
г^ + ^Дгр = — 6(т - у*)[(1 - ¿V(г - \^))гр + (г - у*)\7</>]. (13)
0Ь А Л
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
т
Константа к характеризует глубину связанного уровня. Решение уравнения (13) может быть найдено с помощью опережающей функции Грина
г(~) _ о -
a(t' - t)
[2тTi(t' - í)]
3/2
Г i(r — г')2 ]
Правая часть уравнения (13) не равна нулю только в точке г = vi, а в окрестности этой точки ф ~ с(<) (l/|r-Ví|-K + í'v(r - ví)/|r - ví|). ш;.т
Из (13) следует, что
ф =
2тг
f°° dt'cjt') Г (2«)3/2 Jt (t> - t)3/2 \ехр
г (г - vi')
М2
2 (¿' -1)
(14)
Если с(<) = ехр{гк2</2 + ¿Л/2}, то из (14) следует соотношение (12), т.е. выполнены граничные условия для ^-функции в точке, где находится ¿-центр. В случае разбегающихся центров уравнение Шредингера имеет вид
Щ 1
+ -Аф = — {¿(г - ví)[(l - ¿v(r - vt))i/j + (г - ví)V^] +
¿á К *
+ <5(r + vi) [(1 + ¿v(r + vi))ф + (r + ví)V^>]}. С учетом того, что г = ±ví,
t,.. .«ЛЧН.-- Ф = Ф) |
(15)
|г ± ví|
к Т
iv(r ± vi)
|r± ví|
из (15) следует, что 2тг
ф = -
f°° dt'cjt') \
(2тгг)3/2 Jt (? - t)3/2 1еХР
г (г - vi')
/\2
2(t> - i)
+ ехр
г(г +vi')
/\21
2(<' - i) J
(16)
Для того чтобы получить уравнение для с(<), вычислим {[1 — 1у(г — г<) + (г г')УМ|г_>уГ Имеем
—nc(t) = —
2тг
_ Z-00 dt',
(27гг)3/2 Jt (í' - í)3/2 \ г (г - vi')2
tii'c(i') Г
„ . , N г(г - vi) (г - vi')' 1 - ¿v(r - Vi) - -—;-- | X
í'-t
x ехрI —
2(t' -1)
, iv2(t' + t)'
ш
Положим с(<) = д({)егу21/2. Первое слагаемое, заключенное в квадратные скобки, прежде чем преходить к пределу г = проинтегрируем по частям. Подстановку
2 Г iv2t г (г - vi)2 , .
t' = oo
t'=t
будем считать равной нулю. Если записать показатель экспоненты в размерных переменных, то в знаменателе появится параметр /г. Следует сделать замену /г —»■ /г( 1 + ге),
390
MMNTOA> А. С. ЧИХАЧЕВ
где е - малая положительная величина. При вычислении подстановки при t' > t следует сначала устремить i' к i, а затем положить е = 0. Отметим, что эта процедура эквивалентна процедуре "вычитания бесконечностей", описанной в книге [8]. В результате получим уравнение для g(t):
2i f°° g{t')dt' i f°° g(t')dt' f-2iv2t\
Делая замену* = т-1, t' = (т')-1, з(т-1) = к(т)л/т, можно переписать это уравнение
в виде _ - —'-
">..- i
, _ _J_ Г dr> (2h(r'y + h(r')) _ _Jr_ Г dT>h(T>)exp(=^)
1Т) KsfbúJo V^P KsfWiJo (т-т')3/2 ' К '
Данное интегральное уравнение характеризуется ядром, зависящим от разности, и может быть решено при помощи преобразования Лапласа. Если положить
roo
Н(р) - / e~pTh(r) dr,
Jo
то можно получить для Н(р) дифференциальное уравнение первого порядка
-~МЩр>+2pf)+
Положим р = д2/(2г). Тогда уравнение для Н можно записать следующим образом:
ÍKH(q)q = a'(q)H + a(q)H', (19)
где a(q) =q~ e~2v<¡ / (2v), a' = da/dq = 1 + e~2v(l. Решение уравнения (19) имеет вид
const a(q)
При этом g(t) определяется равенством
"•^•»МШ- (20)
'>"''" <27Г ¡^-"'"'"чШ^Я. И)
Контур L представляет собой лучи (гоо,0) и (0,+оо). Поскольку c(i) = g(t)elv2t/2, из (21) следует, что
ч f°° dt'e™2*'/2 1 f J ia2/(2t,, 1 (. fq q'dq'\
rp(r,t) = const / —-/ dqqeiq /{-2t >— exp[гк / x
Jt (*' -<)3/2 y/F Jl a(q) Jo a(4'))
( ( i(r-vt')2\ ( ¿(r + vi')2M
* rxp Г "w^ J + ))~const[xp- + ф+}>
где
_ p dt'e^'/2 f V/(2t') J_exJiK Г exJ J(r±vt>)2\
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
391
Найдем эти функции. Если воспользоваться равенством мэ^адя
1 = 1 Г а ¿рЧ/2-прЯ
Д' /ЪЙУ
у/г'
то можно вычислить интеграл по времени:
1 Г°° ¿Г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.