научная статья по теме СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ РАЗБЕГАЮЩИХСЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ Математика

Текст научной статьи на тему «СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ РАЗБЕГАЮЩИХСЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 3 декабрь,2005

i • т- -г, . г vp, -л /»»

©2005 г. A.C. Чихачев*

СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ РАЗБЕГАЮЩИХСЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Изучаются связанные состояния в нестационарной системе разбегающихся ¿-цент-ров. Рассмотрены состояния, характеризующиеся разной глубиной уровня точечных центров, в одномерной и трехмерной задачах.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, точечный потенциал, связанное состояние.

1. ВВЕДЕНИЕ

' ' ... 'V .-V» .

Представление о потенциале нулевого радиуса действия оказывается плодотворным для решения нестационарных задач квантовой механики. При помощи нестационарных моделей с точечными взаимодействиями, допускающих точное решение, изучались нуклонное туннелирование [1], нейтрализация и перезарядка атомных частиц [2], [3]. Большое число работ посвящено изучению рассеяния частиц на движущихся точечных центрах (см., например, работы [4]). Ряд работ посвящен решению различных вопросов, связанных с поиском точного решения нестационарного уравнения Шредингера [5]-[7]. При этом связанные состояния в системе разбегающихся центров представляются недостаточно изученными. Под "связанными" имеются в виду состояния, описываемые функциями, достаточно быстро (экспоненциально) убывающими по пространственным переменным. По-видимому, впервые связанное состояние в системе разбегающихся центров в одномерной задаче рассматривалось в работе [5]. В настоящей работе изучены связанные состояния для одномерной и трехмерной систем, причем рассматриваются системы, характеризуемые разной глубиной уровня разбегающихся центров. Решения определяются при помощи опережающей функции Грина.

2. СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА В ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ

Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера следующего вида:

+="vt)+6{x+w

* Всероссийский электротехнический институт им. В. И. Ленина, Москва, Россия. Е-таП: churchev@mail.ru

4 Теоретическая и математическая физика, т.145, № 3, 2005 г. ^ * 385

i ш^лищ 5Ль:(«йжацэпО

386

•А,?. £

А. С. ЧИХАЧЕВ

. ХЖ Г ч Т.Т у ? XI Т 'Т о у' 1',

Здесь ф(х, <) - пси-функция, используется система единиц, в которой тп = Н = е = 1. При V = 0 уравнение (1) имеет решение, описывающее единственное связанное состояние:

Опережающая функция Грина свободного уравнения Шредингера имеет вид

0п - --—^)ехр1 2(«'-<) /' (2)

л/-2т(г - г')

где а(х) = 1 при х ^ О, а(х) = 0 при х < 0.

Уравнение (1) с учетом (2) может быть представлено в интегральной форме

,, . а Г°° ¿г' (

¿(а: — г>£)2

2(* - 0

+ ехр

(х + уЬ)

21

2(г' - о

(3)

Рассмотрим симметричный случай ф(х,Ь) = 'ф(—х, £). Если обозначить /(£) = е-®"2*/2^^, <), то из (3) следует интегральное уравнение для /:

2(у2Ы'

у/241Л л/«7^ V + 6ХР

£' - £

(4)

Это уравнение может быть приведено к уравнению с разностным ядром посредством замены £ = г-1, £' = (г')-1, ^(г) = /(т-1)т-3/2. Для образа Лапласа

г ос

Нр)= д{т)е-^6т Jo

можно получить дифференциальное уравнение первого порядка, для решения которого удобно положить р = д2/(2г). Решение имеет вид

Ня) — Со ехр [ гад

+

га

2у Г

(5)

где множитель обеспечивает плавный переход к случаю —► 0 (при этом Со

не зависит от у). Обратное преобразование Лапласа позволяет получить следующее решение для /(£):

<квекя:>. ин

(в)

Контур интегрирования в комплексной плоскости ц представляет собой два луча (+гоо, 0) и (0, +оо). Использование разложения

■еЯ

приводит к равенству

/(«) = ^Е ^ +2Мехр(|(а +

(7)

ЗвЕ

-дежюптшатш н

аэТ

I

т = К = е = 1. взанное состоя-

П 3>1Л

I

(2)

эме

-■«',«). (3)

чить /(*) =

(4)

посредством

Г

I которого

(5)

:)У1 ЭТОМ Со следующее

(6)

два луча

СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ

387

Чтобы получить решение уравнения (1) в явном виде, следует вычислить интеграл

00 м' ____( ____( ¿(х + ы)2

+ ехр -

2(«' - «)

В результате получим

Ф(х,г) = 2_<В3ех------—)х * ..... • - -г«-«*

а \ ' ги-.ггч

х {ехр(гг;а; - (а + 2гг;я)|х - уЦ) + ехр(-гг;э; - (а + 2гг;я)|а: + г;£|)}, (8)

где

В.

аС0 у/Ы

V 2у) «Г

(14) •П

Выражение (8) совпадает с решением, полученным другим методом в работе [5]. ^ Решение (8) является симметричным по х решением уравнения (1). Если в (8) сумму экспонент в фигурных скобках заменить на их разность, то полученное выражение также будет удовлетворять уравнению (1). Это решение, антисимметричное по х, найдено в работе [2]. Отметим, что если симметричное решение при V —> 0 переходит в связанное состояние одного ¿-центра с удвоенной константой связи, то антисимметричное решение при у —> 0 переходит в ф = 0.

3. ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ЦЕНТРОВ С РАЗНОЙ ГЛУБИНОЙ ' ~

Рассмотрим несимметричный случай - разбегание ¿-центров, характеризующихся различной глубиной связанного уровня. Уравнение Шредингера

,6ф 1 д2ф

в интегральной форме имеет вид

ф

= —Г

\fbTi Л

.... , {(х -уг')2\ а. ... ( {(х + уь')2

а/х(Оехр - ' +/?/2(Оехр - ^

где /1 = е~™2г/2ф(уЬ,Ь), /2 = е~гу2г12ф(-у1,1). Вместо одного уравнения (4) получим систему

оо

Л'

г

00 Л'

Л (О ехр -

00 дХ' , ( 21У2Н' 2 1У2П'\ 0 Г00 4?

+

0 Г

\/2тГг Л

(9)

-МП

^ДПу ^ г-г) \/2^Л тД^г'

Положим /11,2 = /о°° 31,2(т)е_рг <1т, где 31,2 = /1,2(т_1)г"3/2. Для /11,2(9) (при р = <72/(2г)) получим систему уравнений

= £

Я Щ Я я Я щ я я

388

кОШТОЛН А. С. ЧИХАЧЕВ

Система (10) имеет решение следующего вида:

Л! = 2-й (г) + С27, _ 2-й (г)},

I 2+1 2 1 4ч ->

Л2 = в(-"-<(«+«/2)|Сз ^ (г) + с4 у, ^ (г)|,

I 2 1 4и 2 1 4и ->

где г = у/сфе~2ьч/(2у), Jí,(z) - функция Бесселя, Сг - произвольные константы. В случае а = /3 и симметричного состояния = /гг при С\ = г'Сг МОЖНО получить, ЧТО

Ь /2 2г; Г .

/11 = /12 = \--ехр\-iaq-e ч— >С».

ужа [ 2У )

При Сщ ~ ега/(2и) решение соответствует случаю, рассмотренному в предыдущем разделе. В общем случае разложение функций Бесселя в ряды позволяет получить решение, описывающее связанное состояние, в следующем виде:

3

где г± = \xivt], - ехр(-а3г + 1а2г/2), Ха = ехр(-Ьа2 + гЬ^/2). Величины а3 и Ь3 определяются соотношениями

а2з+1 = /? + 2гг/(2в + 1), ¿2^+1 = а + 2г'г;(2«+1), а2г, = а + 4г'г/в, =+ 4г'г>в. Коэффициенты С'^ имеют вид

где

1 гДч-^^) 1 ГС- -

М, = 1 1 + 4»1; ^ дг 1 1 У2 4гу ^

Коэффициенты С^ получаются из

заменой а на /3 и /3 на а. Справедливость выражения (11) может быть проверена непосредственной подстановкой в уравнение. Это решение также было найдено в работе [6].

4. ТРЕХМЕРНАЯ СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА

В трехмерном случае одного движущегося с постоянной скоростью ¿-центра связанное состояние описывается ^-функцией следующего вида: , 5,

1 Г , , . , ч .v2t

|г _ ехр|-к|г-+гу(г - V*) + г — + (12)

Эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера

г^ + ^Дгр = — 6(т - у*)[(1 - ¿V(г - \^))гр + (г - у*)\7</>]. (13)

0Ь А Л

СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ

т

Константа к характеризует глубину связанного уровня. Решение уравнения (13) может быть найдено с помощью опережающей функции Грина

г(~) _ о -

a(t' - t)

[2тTi(t' - í)]

3/2

Г i(r — г')2 ]

Правая часть уравнения (13) не равна нулю только в точке г = vi, а в окрестности этой точки ф ~ с(<) (l/|r-Ví|-K + í'v(r - ví)/|r - ví|). ш;.т

Из (13) следует, что

ф =

2тг

f°° dt'cjt') Г (2«)3/2 Jt (t> - t)3/2 \ехр

г (г - vi')

М2

2 (¿' -1)

(14)

Если с(<) = ехр{гк2</2 + ¿Л/2}, то из (14) следует соотношение (12), т.е. выполнены граничные условия для ^-функции в точке, где находится ¿-центр. В случае разбегающихся центров уравнение Шредингера имеет вид

Щ 1

+ -Аф = — {¿(г - ví)[(l - ¿v(r - vt))i/j + (г - ví)V^] +

¿á К *

+ <5(r + vi) [(1 + ¿v(r + vi))ф + (r + ví)V^>]}. С учетом того, что г = ±ví,

t,.. .«ЛЧН.-- Ф = Ф) |

(15)

|г ± ví|

к Т

iv(r ± vi)

|r± ví|

из (15) следует, что 2тг

ф = -

f°° dt'cjt') \

(2тгг)3/2 Jt (? - t)3/2 1еХР

г (г - vi')

/\2

2(t> - i)

+ ехр

г(г +vi')

/\21

2(<' - i) J

(16)

Для того чтобы получить уравнение для с(<), вычислим {[1 — 1у(г — г<) + (г г')УМ|г_>уГ Имеем

—nc(t) = —

2тг

_ Z-00 dt',

(27гг)3/2 Jt (í' - í)3/2 \ г (г - vi')2

tii'c(i') Г

„ . , N г(г - vi) (г - vi')' 1 - ¿v(r - Vi) - -—;-- | X

í'-t

x ехрI —

2(t' -1)

, iv2(t' + t)'

ш

Положим с(<) = д({)егу21/2. Первое слагаемое, заключенное в квадратные скобки, прежде чем преходить к пределу г = проинтегрируем по частям. Подстановку

2 Г iv2t г (г - vi)2 , .

t' = oo

t'=t

будем считать равной нулю. Если записать показатель экспоненты в размерных переменных, то в знаменателе появится параметр /г. Следует сделать замену /г —»■ /г( 1 + ге),

390

MMNTOA> А. С. ЧИХАЧЕВ

где е - малая положительная величина. При вычислении подстановки при t' > t следует сначала устремить i' к i, а затем положить е = 0. Отметим, что эта процедура эквивалентна процедуре "вычитания бесконечностей", описанной в книге [8]. В результате получим уравнение для g(t):

2i f°° g{t')dt' i f°° g(t')dt' f-2iv2t\

Делая замену* = т-1, t' = (т')-1, з(т-1) = к(т)л/т, можно переписать это уравнение

в виде _ - —'-

">..- i

, _ _J_ Г dr> (2h(r'y + h(r')) _ _Jr_ Г dT>h(T>)exp(=^)

1Т) KsfbúJo V^P KsfWiJo (т-т')3/2 ' К '

Данное интегральное уравнение характеризуется ядром, зависящим от разности, и может быть решено при помощи преобразования Лапласа. Если положить

roo

Н(р) - / e~pTh(r) dr,

Jo

то можно получить для Н(р) дифференциальное уравнение первого порядка

-~МЩр>+2pf)+

Положим р = д2/(2г). Тогда уравнение для Н можно записать следующим образом:

ÍKH(q)q = a'(q)H + a(q)H', (19)

где a(q) =q~ e~2v<¡ / (2v), a' = da/dq = 1 + e~2v(l. Решение уравнения (19) имеет вид

const a(q)

При этом g(t) определяется равенством

"•^•»МШ- (20)

'>"''" <27Г ¡^-"'"'"чШ^Я. И)

Контур L представляет собой лучи (гоо,0) и (0,+оо). Поскольку c(i) = g(t)elv2t/2, из (21) следует, что

ч f°° dt'e™2*'/2 1 f J ia2/(2t,, 1 (. fq q'dq'\

rp(r,t) = const / —-/ dqqeiq /{-2t >— exp[гк / x

Jt (*' -<)3/2 y/F Jl a(q) Jo a(4'))

( ( i(r-vt')2\ ( ¿(r + vi')2M

* rxp Г "w^ J + ))~const[xp- + ф+}>

где

_ p dt'e^'/2 f V/(2t') J_exJiK Г exJ J(r±vt>)2\

СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ

391

Найдем эти функции. Если воспользоваться равенством мэ^адя

1 = 1 Г а ¿рЧ/2-прЯ

Д' /ЪЙУ

у/г'

то можно вычислить интеграл по времени:

1 Г°° ¿Г

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком