ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 437, № 5, с. 621-623
УДК 532+533+534
ФИЗИКА
СВЯЗИ МЕЖДУ НЕЛИНЕИНЫМИ ЯДРАМИ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ
© 2011 г. А. Я. Эндер, И. А. Эндер, Л. А. Бакалейников
Представлено академиком Д.А. Варшаловичем 23.10.2010 г. Поступило 30.11.2010 г.
В работе [1] изучались матричные элементы (МЭ) интеграла столкновений в уравнении Больцмана, возникающие при разложении функции распределения (ФР) по сферическим полиномам Эрмита (функциям Барнетта). Показано, что такие МЭ связаны простыми рекуррентными соотношениями, позволившими определять МЭ с очень большими индексами. Это дало новый импульс развитию моментного метода. В [2] этим методом впервые была исследована эволюция ФР примеси ионов в нейтральном газе после резкого включения достаточно сильного электрического поля.
Однако в моментном методе возникают ограничения на сходимость разложения ФР. Эта трудность преодолевается, если разлагать ФР по сферическим гармоникам. При этом сложный пятикратный интеграл столкновений заменяется набором сравнительно простых интегральных операторов, и аналогом матричных элементов становятся изотропные
ядра О1^ ¡2 (с, с1, с2) этих операторов [1, 3].
Впервые интеграл столкновений был преобразован к интегралу фредгольмовского типа с симметричным ядром Гильбертом [4], а его разложение по сферическим гармоникам выполнено Гек-ке [5]. Эти результаты получены только для линейных ядер и только для модели твердых шаров. Переход к таким ядрам сильно упрощает задачу решения кинетического уравнения. Это дало возможность получить ряд интересных результатов для граничных задач в динамике разреженного газа [6, 7]. Подчеркнем, что все эти результаты получены только для линеаризованного уравнения Больцмана. Необходимость построения нелинейных ядер очевидна. Целью данной работы является построение рекуррентных связей для таких ядер.
Как показано в [1, 3], не уменьшая общности, изучение ядер можно проводить для осесиммет-
Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской Академии наук, Санкт-Петербург Санкт-Петербургский государственный университет
ричного по скоростям случая. При этом сферические гармоники переходят в полиномы Лежанд-ра, и для ФР имеем
х = cos 9.
f (c) = X f (c) P (х),
Здесь 0 — угол между вектором скорости с и осью г. Интеграл столкновений выражается через ядра
О'1ъ12 следующим образом:
2 (еГ
f <Х) с
dt У col
= X P (х) \\Ghh (c, Ci, С2 )fh (c )f (C2 )c12c22dc1dc2
Huh
V о о
(1)
Нелинейные ядра О¡ ^ (с, с1, с2) не равны нулю только если ^ - /2| < I < ¡1 +12 [1].
Если известны МЭ К^ , т.е. коэффициенты разложения интеграла столкновений по сферическим полиномам Эрмита [1], то нелинейные ядра можно представить в виде [3]
0^2 (с, с1, с2 ) = = М(с)^ с (с )КгМ2—±---2-
(2)
Vi
■»Г,
Здесь М(с) = — максвеллиан, Бга (х), а = I + -, — п 3 2
полиномы Сонина (Лагерра), а г = Г(г + {+ 3/2) —
2п г!
нормировочные множители.
1. Функции распределения можно рассматривать в системах отсчета, различающихся скоростями и движения вдоль выделенной оси г. Представления ФР в этих системах отсчета (базисах) связаны некоторым оператором перехода. Для его определения рассмотрим базис и1, смещенный вправо относительно базиса и0. Величину смещения обозначим %, т.е. % = и1 - и0. Коэффициенты разложения ФР по полиномам Лежандра в базисах и0, и1 обозначим (с), (с'), где с, с' —
C
622
ЭНДЕР и др.
значения скоростей в базисах u0, щ. Они удовлетворяют соотношениям
2 2 2 ,2 ,2 2 С = cz + Ср, c = c z + Cp,
z P z P (3)
cZ = cz cz = ^ cZ =c 'x '•
Здесь x = cos 8, x ' = cos 8 ' — косинусы углов между осью z и векторами скоростей c, c'. Запишем разложение ФР в разных базисах:
œ œ
f (c) = Z f (c) P (x ) = Z F (c ') P (x '). (4) l=0 1=0 Умножая скалярно это тождество на полином Ле-жандра в базисе щ, т.е. интегрируя его с px(x') =
P% (x ') 2
= —-—-, nx =-, получаем
пх 2k +1
df (c dt
col
Z
X=0
Z
l =0
dFx (c ')• dt
f (c)
dt
P (x)
col
Px (x')•
col
Умножая скалярно тождество (9) на полином Ле-жандра в базисе щ1, получаем
dFx (c ') dt
col
Z ¥xj ("i, "0; c ')
.^(d (c)
l=0
dt
col
Записывая уравнение (1) в разных базисах и привлекая предыдущие формулы, найдем
dFx (c ')' dt
col
= Z JJ"V ("1, "0;c')GÎ,l2 (C,ci,c2)x
l,l1,l2 0 0
F (c ') = Z ^ v ("1, "0; c ')f (c). (5) x Z " hM К ui; ci))Li (c; ) ( ui; c2)x
l=0 M1A2
Оператор x,, применяется к функции f (c). Из (4) имеем
¥
X,l
("i, "0; c ') f (c) = J Px (x ) (x ) f (c) dx '. (6)
-i
Здесь учтено, что с зависит от переменной интегрирования х'. Следовательно, оператор Фявляется интегральным оператором.
В пределе х ^ 0
¥х, ( щ\с')/, (с) = 8xj.fi (с). Для обратного оператора Ф из (5) имеем
¥
l ,х
("0,"i;c)Fx (c') = JPl (x)Px (x')Fx (c')dx,
Wl,x ("0, "i;c)x=0 Fx(c') = dliXFx(c'). Можно показать, что d¥xj ("1, "0;c')
X Вх2 (с2) С12^С1С22^С2-После ряда преобразований, используя равенство
с '2 с1с'^х[ = с\йс1йх1 и произвольность функций распределения , получаем связь между ядрами в разных базисах в следующем виде:
^1А2 (с\с1,с2) =
= X V XI («1, «о; с V ,1,11 («1, «о; с1) ^ х
1,11,12 П11 1 П12
XVХ2,12 («1, «о;с2)^ (с,с1,с2). (10)
Любое нелинейное ядро при фиксированных значениях индексов 1, 11, 12 в одном базисе не зависит от выбора другого базиса. Следовательно, если обе части (10) продифференцировать по х, то слева будет нуль, а справа возникнут производные только от операторов перехода. Поэтому при X = 0 имеем
dX
= Sl.x-BXV) + S,,x+BX2)(c), (7)
■(2)/
Z
xj ("i, "0; c')
X=0
d X
X=0
Gx i,x 2 |c, ci, c2 ) +
где операторы B®(c) и Bx2)(c) определяются следующим образом:
dPXi,li lщl, "0;ci
Àm(c)=
X d X -1
l1l1
dX
G,i,x2 (c ',ci,c2 ) +
X=0
Bfc =
2X - 1 \ dc c X + 1 /d , X + 2
--+ ■
(8)
d x2,,2 К "0; c2
2Х + 3 \ йс с 2. Интеграл столкновений инвариантен относительно выбора базиса. Разложим его по полиномам Лежандра в разных базисах:
dX
Gxhh (c*,ci,c2 ) = 0. (11)
Х=0
Подставляя выражения для производной от оператора перехода (7) и (8) в (11) и заменяя все X на
со
30
п
СВЯЗИ МЕЖДУ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЯДРАМИ
623
I, получаем искомую связь между ядрами в одном базисе:
д(1)(со-}2 (с, с-, с2)+д(2)(с)0-;,2 (с, с-, с2)+
+ В?,-3)(с1)0,,1+1,,2 (сЪс2) + + В4)(с1)0/,1_1,/2 (с, с1, с2) + Д(23)(с2)0/,1,,2+1 (с, с1, с2) +
+ B^fe)^- (c, cl9 c2 ) = 0.
Здесь
B^/i)(c)=-ц id-—i,
B/2)(c) = ■ ,
' 21 + 3\<9c c
B®(c) = + 2
' 2l + 1\<9c c
l id l -1
2l - 1 \ dc c l + 1 /д , l + 2
+ -
Bf'(c) =
(12)
(13)
(14)
21 + 1\ дс с
Таким образом, любое нелинейное ядро можно построить, если известно ядро О000 (с, с1, с2).
В заключение отметим, что связи между ядрами в одном базисе (12)—(14) были получены и
другим путем, а именно, с помощью преобразования связей между МЭ интеграла столкновений [1] и представления ядер (2). При этом использовался ряд рекуррентных соотношений между полиномами Сонина.
Работа поддержана ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (государственный контракт № 02.740.11.0201), а также грантом РФФИ 09-08-01017.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эндер А.Я., Эндер И.А. Интеграл столкновений уравнения Больцмана и моментный метод. Спб.: Изд-во Спб. ун-та, 2003. 224 с.
2. Эндер А.Я., Эндер И.А., Герасименко А.Б. // Open Plasma Phys. J. 2009. V. 2. P. 24-62 .
3. Эндер А.Я., Эндер И.А., Бакалейников Л.А. // ЖТФ. 2010. Т. 80. № 10. С. 12-21.
4. Hilbert D. // Math. Ann. 1912. Bd. 72. S. 562-577.
5. Hecke E. // Math. Ztschr. 1922. Bd. 12. S. 274-286.
6. Loyalka S.K. // Phys. Fluids. A. 1989. V. 1. P. 403-408.
7. Garcia R.D.M., Siewert C.E. // Europ. J. Mech.B/Fl. 2007. V. 206. P. 749-780.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.