МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. С.Е. АЛЕКСАНДРОВ, И.Д. БАРАНОВА, Г. МИШУРИС
СЖАТИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛИТАМИ
При применении закона максимального трения некоторые из обобщений решения Прандтля для сжатия пластического слоя между шероховатыми плитами не существуют. В частности, к этому классу относятся полученные ранее вязкопластические решения. В настоящей работы показано, что эти решения не существуют из-за свойств модели материала и введена модель, для которой решение построено. Полученное решение является сингулярным. В частности, эквивалентная скорость деформации стремится к бесконечности при приближении к поверхности трения, а ее асимптотическое поведение в точности совпадает с поведением, возникающем в классическом решении. Полученное решение иллюстрируется численными примерами, из которых, в частности, видно, что вблизи поверхности трения может возникать исключительно тонкий пограничный слой.
Сжатие слоя между параллельными шероховатыми плитами является одной из наиболее известных задач теории пластичности. Решение для идеально жесткопластиче-ского материала было получено в [1, 2]. Многочисленные обобщения этого решения на разные модели материалов были предложены в [3-13]. Другой класс обобщений, связанный с более сложной формой инструмента или отказом от условий плоско-деформированного состояния, был предложен в ряде работ, которые можно найти в [14]. В частности, вязкопластическое решение было получено в [9]. В этой работе предполагалось, что эквивалентное напряжение oeq является степенной функцией эквивалентной скорости деформации ^eq и что удельные силы трения у пропорциональны локальному пределу текучести при чистом сдвиге к. Закон максимального трения получается как частный случай, если у = к. Непосредственной проверкой можно убедиться, что полученное решение не существует при законе максимального трения. В частности, усилие, требуемое для сжатия слоя, стремится к бесконечности. Несуществование решения связано с тем, что кинематические предположения, принимаемые в решении Прандтля и его обобщениях, требуют выполнения условия проскальзывания на поверхностях трения в то время как из общей теории [15] следует, что при зависимостях oeq(^eq), удовлетворяющих условию oeq ^ гс при ^eq ^ гс, на поверхности максимального трения должно выполняться условие прилипания. Поэтому в случае вязкопластического материала обобщение решения Прандтля может существовать, только если зависимость oeq(^eq) не попадает в класс зависимостей, рассмотренных в [15]. В частности, необходимым условием существования решения является условие oeq ^ os < гс при ^eq ^ гс. Одна из простейших функций, удовлетворяющая этому условию, имеет вид
°eq
1-|i_i0 |exp
(1)
Здесь = const - некоторая характерная скорость деформации и о0 - начальный предел текучести, oeq = Оо при ^ =
2 Механика твердого тела, № 6
33
и
У \/ ////// / ////// / \
h Tf
0 L x
/////// ////// /
и
Фиг. 1
В [9] была решена следующая система уравнений:
dajdx + даху/д у = 0, даху/д х + дауу/д у = 0 (2)
хх - £уу)/£ху = (Gхх - °уу)/ Gxy, £хх + £уу = 0 (3)
Geq = Go [ 1 + (£eq/£о)"] (4)
Здесь (2) - уравнения равновесия, (3) - следствие ассоциированного закона течения и (4) - условие пластичности, в котором n = const. Кроме того, Gia, Gуу и g^ - компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат, показанной на фиг. 1; £хх, £уу и £ху - компоненты тензора скорости деформации в той же координатной системе. На фиг. 1 также показана геометрическая схема процесса. Очевидно, что поверхность пластичности в пространстве главных напряжений имеет форму кругового цилиндра, радиус которого зависит от £eq. Поэтому, имеет место соотношение Geq = Т3 k. В рассматриваемом случае отличие от постановки задачи, принятой в [9], состоит только в том, что вместо (4) принимается условие (1). Поэтому, многие промежуточные результаты, полученные в [9], остаются в силе и могут быть непосредственно использованы в настоящем исследовании. В частности, поля напряжения и скорости, удовлетворяющие (2) и (3), определяются выражениями
х 2 2 1/2 х у
Gxx = kwh + 2(k - Gxy) + CGs, G-у = kwh+ CG^ Gху = -kwh (5)
U- = -- + 4- f +V U_y = -у (6)
U h h J(Gxx - g уу)иу U' U h KJ
Здесь h - половина толщины слоя (фиг. 1); kw - величина k при у = h; ux и иу - проекции вектора скорости в декартовой системе координат; U - скорость плит; C и V/U - постоянные интегрирования. Ввиду симметрии, решение выписано только в области х > 0 и у > 0. Решение (5) удовлетворяет краевому условию Gху = 0 на оси симметрии у = 0 и закону трения gху = -kw и у = h. Решение (6) удовлетворяет краевым условиям иу = 0 на оси симметрии у = 0 и на поверхности плит иу = -U при у = h.
Введем стандартную подстановку
оХХ = о - ksin(29), оУУ = о + ksin(29), оХУ = kcos(29) (7)
где о - среднее напряжение. При плоском течении из ассоциированного закона течения следует, что ozz = о. Так как оху < 0 и oxx > оуу, то из (7) получаем
п/2 < 9 < 3п/4 (8)
Подставляя (7) в (5) и (6), найдем
о = kw Х- k sin 2 9 + Со,, cos 2 9 = -^У (9)
wh k h
U = h-h Í «g (29>^y+U U = -У <>0)
При плоской деформации эквивалентная скорость деформации определяется уравнением
Pe
2 (Р2 + р2 + 2£2 )
3 xx •'УУ JXyS
1/2
(11)
Из (10) можно найти компоненты тензора скорости деформации и, учитывая (8) и (11), эквивалентную скорость деформации в виде
£ = ____Ч.__(12)
73 Н sin29 v ;
Из последнего соотношения системы (7) и (8) следует, что закон максимального трения выполняется, если 9 = п/2 при у = Н. Тогда из (12) получаем, что £еч ^ гс при у ^ Н, и из (1) следует, что
К = а5/Тз (13)
Подставляя (1) и (13) во второе соотношение системы (9), найдем
^29 (14)
У =
h
1-11-^ ]exp(-^
о,
Так как £еч - известная функция 9 вследствие (12), то (14) определяет 9 как функцию у в неявном виде. Очевидно, что 9 зависит только от у. Асимптотический анализ уравнений (12) и (14) вблизи поверхности трения, где 9 ^ п/2, показывает, что
р = ¡Ш 1-У] + о Seq V3 h ( h1
1/2
1-У)
1/2
У ^ h (15)
Отметим, что такое асимптотическое поведение эквивалентной скорости деформации в окрестности поверхности максимального трения в точности соответствует случаю идеальножесткопластического тела [16]. Более того, коэффициент при главном члене в (15) такой же, как в классическом решении Прандтля [17]. Такое поведение решения является следствием закона (1). При других законах, также удовлетворяющих условию оеч ^ о5 < гс при £еч ^ гс, представление (15) может не иметь силы. В связи с этим представляется, что законы типа (1) являются наиболее подходящими для описания течения металлических материалов, которые должны, в зависимости от внешних
2* 35
условий, описываться либо уравнениями вязкопластичности, либо уравнениями теории идеальножесткопластического тела. Очевидно, что в приложениях граница перехода от одной системы уравнений к другой достаточно условна и поэтому желательно, чтобы основные свойства решений сохранялись при этом переходе. Характерным примером таких материалов и процессов является обработка металлов давлением. Отметим, что зависимость аеч(^еч), удовлетворяющая условию аеч ^ а5 < ^ при ^ была предложена в [18]. Однако, в этой работе основное внимание уделялось ее поведению при ^ 0, в то время как из анализа функции оеч(^еч) следует, что она имеет максимум при некотором значении а при больших значениях Иаеч/И^еч < 0, что представляется неестественным.
Для определения величины С, входящей в (5), необходимо использовать интегральное условие [9]:
к
= ьИУ = 0 (16)
0
где Ь - половина ширины слоя (фиг. 1). Подставляя (5) в (16), с учетом (1), (7), (12) и (13), получим
3п/4
= + С (1-Ю) - (
п/2
(17)
и9
где q = 2Ц/(л/3 й£0), а производная И(у/к)/И9 может быть выражена как функция 9 из (14). Усилие на единицу длины, требуемое для деформирования слоя, определяется так
Ь
Р = -2 ¡СууИх (18)
0
Подставляя (5) в (18), с учетом (13) и (17), найдем
Ю Г-Г"- С1) (19)
2юоЬ °о ^273 к
Из решения Прандтля [2] величина р определяется формулой
р" = 2Т3 (Ь+п) <20)
Сравнивая (19) и (20), можно видеть, что в обоих случаях усилие линейно зависит от Ь/к, но коэффициент при этом члене больше для вязкопластического материала.
Влияние параметров вязкопластической модели и скорости деформирования на величину усилия демонстрируется на фиг. 2, где показана зависимость отношения р/рр,. от о5/о0 для нескольких значений q (кривые 1-5 соответствуют значениям q: 3; 1; 0.5; 0.1; 0.01) при Ь/к = 5. Отметим, что параметр q комбинирует эффект параметра модели и скорости деформирования. Представляет интерес проанализировать поведение кривых 9 (у), которые могут быть получены из (12) и (14). При о5/о0 = 3 поведение этих кривых иллюстрируется на фиг. 3 для нескольких значений q (кривые 1-5 соответствуют значениям q: 3; 1; 0.5; 0.1; 0.01). На фиг. 4 эта же зависимость показана при q = 0.1 и нескольких значениях о5/о0 (кривые 1-5 соответствуют значениям о5/о0: 1.1; 1.3; 1.5; 2, 5). Отметим, что из (12) и (14) можно найти, что для всех кривых, показанных на фиг. 3 и 4,
Os/Oo
Фиг. 2
Фиг. 3
Фиг. 5
Фиг. 6
йу/й9 = 0 при у/Н = 1, хотя для некоторых кривых визуально нельзя определить даже такую тенденцию. Это говорит о том, что вблизи поверхности трения возникает исключительно тонкий пограничный слой, в котором имеют место очень высокие градиенты функций. Очевидно, что это может приводить к существенным трудностям при численном решении практически важных краевых задач и требует общего качественного анализа решений вблизи поверхностей максимального трения. Представляет интерес также поведение эквивалентной скорости деформации, так как она входит во многие кинетические уравнения для внутренних переменных. Распределение £ед/£0 по толщине слоя, определенное из (12) и (14), показано на фиг. 5 при о5/о0 = 3 (кривые 1-4 соответствуют значениям д: 3, 1, 0.5, 0.1) и на фиг. 6 при q = 0.1 (кривые 1-5 соответствуют значениям о5/о0: 1.1, 1.3, 1.5, 2, 5).
При необходимости распределение скорости их может быть найдено из первого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.