МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2014
УДК 532.685
© 2014 г. Н. Е. ЛЕОНТЬЕВ
ТЕЧЕНИЯ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ ВОКРУГ ЦИЛИНДРА И СФЕРЫ
В РАМКАХ УРАВНЕНИЯ БРИНКМАНА С ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ НАВЬЕ
Получены точные аналитические решения задач об обтекании сферы и цилиндра в пористой среде при использовании уравнения Бринкмана с граничным условием Навье. Обращено внимание на то, что условие прилипания на границе пористой среды и твердого тела, в частности в случае использования уравнения Бринкмана, в общем случае должно быть заменено на условие, допускающее ненулевую скорость фильтрации на границе.
Ключевые слова: пористая среда, уравнение Бринкмана, граничное условие проскальзывания, условие прилипания.
Медленное течение ньютоновской несжимаемой жидкости в высокопроницаемой пористой среде в отсутствие массовых сил приближенно описывается уравнением Бринкмана [1] и уравнением неразрывности
-Vр и + ц'Аи = 0, ё1уи = 0 (0.1)
к
где р — давление, и — скорость фильтрации, ^ — вязкость жидкости, к — проницаемость пористой среды для крупномасштабных течений, ц' — постоянная с размерностью вязкости, которая, вообще говоря, отличается от ^ [1]. Обычно считается, что ^ и ц' одного порядка (разные авторы приводят различные оценки [2], но при стремлении пористости к единице ц' ^ ц) и часто, начиная с работ самого Бринкмана [3], полагают ц' = ц. Эта модель применима для течений в средах с относительно большим объемом порового пространства [2], например в волокнистых материалах и пенах, для которых, в отличие от типичных горных пород, проницаемость к не обязательно порядка квадрата характерного размера внутрипорового пространства.
В значительном числе работ [4—7], часто вычислительных [8], в качестве условия на границе пористой среды и непроницаемого твердого тела для этой модели ставится условие прилипания и = 0, что, по-видимому, объясняется аналогией с постановкой граничного условия для уравнения Навье—Стокса. В немногих работах, где ставится условие проскальзывания [9, 10], его использование часто формально аргументируется большей общностью.
Одна из целей статьи — обращение внимания на то, что использование условия прилипания (если это не является приближением) — в общем случае неверно. В самом деле, скорость фильтрации [11], используемая при континуальном описании течений в пористых средах, определяется как среднее значение скорости жидкости по объему, много большему, чем размер микроструктуры, поэтому граничное условие у непроницаемой границы должно допускать ненулевую скорость фильтрации. Этому требованию удовлетворяют условие непротекания и ■ п = 0 (п — нормаль к границе в сторону пористой среды) для законов фильтрации, не содержащих высших пространственных производных от скорости фильтрации (закон Дарси и его различные модификации, учитывающие инерцию жидкости), и условие проскальзывания, аналогичное условию
Навье [12—14] для вязкой жидкости, которое применяется для законов фильтрации типа уравнения Бринкмана и записывается в виде
Ь(Ущ + УЩ]У (Ь'к - Ппк) = ик, к = 1,2,3 (0.2)
Здесь V — ковариантная производная, 8 к — символ Кронекера, Ь — константа с размерностью длины, по повторяющимся индексам производится суммирование (отметим, что равенство нулю нормальной компоненты скорости фильтрации следует из (0.2) автоматически).
Ниже приводятся аналитические решения задач об обтекании непроницаемых цилиндра и сферы внутри пористой среды в рамках системы (0.1), (0.2). В случае условия прилипания решения аналогичных задач были получены соответственно в [15, 16].
1. Рассмотрим поперечное обтекание находящегося внутри пористой среды непроницаемого цилиндра радиуса Я поступательным потоком со скоростью и на бесконечности, направленной вдоль оси х1 декартовой системы координат х1, х2, х3. Вводя новые безразмерные переменные с помощью соотношений
х1 = ^, и1 = и, Р1 = -^р (1.1)
1 я 1 и цяи
получаем систему (далее индекс "1" опускается) -Ур - и + а2Ди = 0, Шуи = 0, а2 =
Ц Я2
с граничными условиями в декартовой системе координат
Л
Р+ d~i )nj(5,х -nink)-ик . vSx dx J
lim u = (1; 0; 0), p = b
r ^^ R
= 0
r=1
где r — расстояние до оси цилиндра.
Вводим цилиндрическую систему координат (r, 9, z), где 0 отсчитывается от оси х1. Будем искать r- и 0 -компоненты скорости и давление в виде
ur = F(r)cos 9, и0 = G(r)sin 9, p = H(r)cos 9 + const (1.2)
Подставляя (1.2) в обезразмеренную систему модели пористой среды, получим
-дР - , + а2 Гдиг - ^ - 2dU£ 1 = 0
дг r { r r2 r2 д0 1 dp 2 (. и 2 диг \ _
-ri - Ue + a lAUe - ^ + Г2 50 J = 0
£ (rur) + dUi = 0, A = 1д (r A) + J- 4 dr 3Q r дЛ dr) r2 ae2
Граничные условия примут вид
r ^ да : ur ^ cos 9, u0 ^ - sin 9
n oí див 1 (1.3)
r = 1: ur = 0, в I —- - г -
l dr
После несложных преобразований получаем следующую краевую задачу для функций F, G, H, зависящих только от радиуса r
3(r2 + a2)F' + (r3 - 3a2r)F" - 6a2r2F" - r3a2F= 0
= 1, lim (rF'(r)) = 0, F(1) = 0, (1 -P)F'(1) -0F"(1) = 0
r
G = -F - rF', H = a2(4rF" + r2F'") - rF - r2F'
Решение этой задачи имеет вид
C C 1
F (r) = C + Cf + C3 K i(y r), y = 1 r 2 r a
C _ i C _ a(2p + 1)K0(y) + (P + 4pa2 + 2a2)K^)
112 D
2
C3 = 2a D + 1), D = a(2p + 1)K0(y) + pK 1(7)
где K0 и K1 — модифицированные функции Ганкеля нулевого и первого порядка [17].
Картины линий тока в поперечном сечении цилиндра для полученного решения и симметричного безотрывного обтекания цилиндра идеальной жидкостью качественно не отличаются. При a ^ да (обтекание цилиндра вязкой жидкостью в приближении Стокса) функция F(r) поточечно стремится к нулю, что соответствует отсутствию решения задачи (парадокс Стокса). В пределе a ^ 0 независимо от в поточечно получается решение задачи об обтекании цилиндра в случае закона Дарси, кинематически аналогичное бесциркуляционному обтеканию цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью (при этом, что естественно, для предельного решения граничное условие, содержащее в, не выполняется).
Поле скоростей существенно меняется на расстояниях как минимум порядка a от поверхности цилиндра, причем параметр a не мал. В экваториальной плоскости 9 = п/2 скорость, равная по абсолютной величине | G (r )|, около поверхности цилиндра повышается по сравнению с ее величиной на бесконечности (профиль скорости имеет характерные "уши"), что для случая прилипания (Р = 0) отмечалось в [15]. На поверхности цилиндра при 9 = п/2 величина скорости отлична от нуля (при в ф 0) и при a ^ 0 приближается к удвоенной скорости на бесконечности.
На фиг. 1, а для случаев Р = 0 (прилипание) и Р = 1 показан вид функции F(r), имеющей смысл скорости при 0 = 0 (соответственно, кривые 1 и 2), и функции | G (r)| (кривые 3, 4).
2. Аналогичным образом получается решение задачи об осесимметричном обтекании непроницаемой сферы радиуса R. С использованием сферических координат (r, 0, х) (азимутальный угол 9 отсчитывается от оси х1) после приведения к безразмерному виду с помощью (1.1) задача сводится к решению системы уравнений
-u + a2 Гдu - ^__d(u8 sin 9)0
dr Ur + a{^r r2 r2sin 9 39 1 0
1 dp ,, , a 2 f Л„ ue , 2 du,
2 • : r Sin
----- ue + a 1Л ue - ——+ — —r- 1 = 0
r d0 e l e r2 sin2 0 r2 ae'
д (r\) + Sin 9) = 0
д r sin 9 59
д = 4* (r2 -d-) + — д (sin ) r2 dr\ dr! r2 sin 050' 50/
1.2
F, \G 0.8
0.4
4/7
/ 3
/V1
У 1 1 1 а
12
4
6
8
10 1
Фиг. 1. Зависимость величины скорости фильтрации от радиуса г при обтекании цилиндра (а) и сферы (б): а = 1, в плоскости (а) и на оси (б) симметрии 0 = 0 (1 — р = 0, 2 - в = 1) и в плоскости 0 = п/2 (3 - Р = 0, 4 - Р = 1)
с граничными условиями (1.3). Подстановка искомых функций в виде (1.2) дает после преобразований краевую задачу
(4r2 + 8а V' + (r3 - 8а2r)F" - 8а2r2F'" - rЗа2F(iv) = 0
F(+rc) = 1, lim (rF'(r)) = 0, F(1) = 0, (1 - 2ß)F'(1) - ßF"(1) = 0
r
и выражения для других неизвестных функций
G = -F -1 rF' Я = а2 (2F + 3rF" +1 r2F'") - rF -1 r2F'/2 Решение краевой задачи имеет вид
С 2 С3
F (r) = c1 + -"3 + -^exp(-y r )(r + a) r r
c1 = 1, С2 = -((6a3 + 6a2 + 3a + 1)ß + a(3a2 + 3a + 1))/d c3 = 3a 2(2ß +1) exp(Y)/d, d = (3a + 1)ß + a
При a ^ ад полученное решение стремится к известному решению Бассе для ползущего течения вязкой жидкости вокруг сферы с условием проскальзывания [18]
1
* (г) = 1 - 3(2Р±1) I +
2(3р + 1) г 2(3р + 1)г'
Оно описывает, например, движение сферической частицы с супергидрофобным покрытием. В другом предельном случае (а ^ 0) решение описывает течение вокруг сферы для закона Дарси (кинематически оно совпадает с осесимметричным течением идеальной несжимаемой жидкости вокруг сферы).
Поведение поля скоростей качественно аналогично картине обтекания цилиндрического тела (фиг. 1, б). Здесь для случаев Р = 0 (прилипание) и Р = 1 показан вид функции ¥ (г), имеющей смысл скорости на оси симметрии течения 0 = 0 (соответственно, кривые 1 и 2), и функции | £ (г )|, описывающей поле скорости в экваториальной плоскости 9 = п/2 (кривые 3, 4).
0
r
0 1 2 3 4 5 6 х1
Фиг. 2. Линии тока при обтекании сферы: а = 1 (меридиональное сечение); Р = 1 (сплошные), 0 (штриховые)
0 1 2 3 4 5 х1
Фиг. 3. Изобары в меридиональном сечении при обтекании сферы: а = 1, Р = 1
Качественное поведение линий тока для случаев проскальзывания и прилипания одинаково и аналогично поведению линий тока при стоксовском обтекании сферы (фиг. 2).
Наличие дифференциального слагаемого со скоростью фильтрации в уравнении Бринкмана проявляется в особенности поля давления в меридиональном сечении
p = \-r + I cos 9 + const
I 2r 2 J
Она отсутствует в случаях стоксовского обтекания сферы и течения вокруг сферы для закона Дарси. Эта особенность характеризуется наличием двух седловых точек функции p при любых значениях а и в. На фиг. 3 в качестве примера показан фрагмент поля изобар для правой половины течения х1 > 0 при а = 1, р = 1. Наличие особенности приводит к тому, что на оси симметрии около поверхности сферы жидкость движется в сторону повышения давления (а не в сторону понижения, как это было бы в случае закона Дарси).
Аналогичное явление, сонаправленность градиента давления и скорости жидкости, может наблюдаться и для пол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.