№ 3
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2015
УДК 536.2
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ АНИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ПОДВИЖНАЯ ГРАНИЦА КОТОРОГО СОДЕРЖИТ ПЛЕНОЧНОЕ ПОКРЫТИЕ
© 2015 г. А.В. АТТЕТКОВ, И.К. ВОЛКОВ
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (МГТУим. Н.Э. Баумана), Москва
E-mail: fn2@bmstu.ru
Предложена математическая модель процесса формирования температурного поля анизотропного полупространства, граница которого, движущаяся с постоянной скоростью, имеет термически тонкое покрытие и находится под действием внешнего теплового потока. Математическая модель в подвижной системе координат представляет собой смешанную задачу для уравнения в частных производных параболического типа, содержащего вторые смешанные производные по пространственным переменным. Специфика предложенной математической модели обусловлена наличием конвективной составляющей в уравнении теплопереноса и в нестандартном нестационарном краевом условии на подвижной границе, содержащем малый параметр. Для нахождения искомого температурного поля реализован метод малого параметра в совокупности с композицией двухмерного экспоненциального интегрального преобразования Фурье и интегрального преобразования Лапласа. С использованием нулевого приближения, определяющего базовую составляющую изучаемого температурного поля, проведен предварительный анализ процесса его формирования. В частности, подтвержден факт "сноса" температурного поля в анизотропном материале и установлен характер его зависимости от скорости движения границы области.
Ключевые слова: анизотропное полупространство, термически тонкое покрытие, подвижная граница, температурное поле, интегральные преобразования.
TEMPERATURE FIELD OF THE ANISOTROPIC HALF-SPACE, WHICH MOBILE BOUNDARY CONTAINS THE FILM COATING
A.V. ATTETKOV, I.K. VOLKOV
Bauman Moscow State Technical University E-mail: fn2@bmstu.ru
The mathematical model of temperature field formation process in an anisotropic halfspace is proposed. Moving with a constant speed boundary of that half-space has thermally thin covering and is influenced by an external heat flow. The mathematical model in mobile system of coordinates represents the mixed task for the equation in private derivatives of the parabolic type with the second mixed derivatives on spatial variables. The proposed mathematical model's particularity is caused by existence of a convective component both in the heat transfer equation, and in the non-standard non-stationary boundary condition containing small parameter on mobile boundary. The method of small parameter combined
with composition of two-dimensional exponential integrated transformation of Fourier and integrated transformation of Laplace is implemented for finding of an unknown temperature field. The preliminary review of its formation process is carried out with using of the zero approach defining a basic component of the studied temperature field. In particular, the fact of "deflection" of a temperature field in anisotropic material is confirmed and the type of its dependence from the speed of the area's boundary movement is established.
Key words: anisotropic half-space, thermally thin coating, moving boundary, temperature field, integrated transformation.
ВВЕДЕНИЕ
В связи с внедрением композиционных материалов в инженерную практику возникает необходимость использования методов математического моделирования при изучении процессов формирования температурных полей в анизотропных твердых телах [1, 2]. При этом специфика математических моделей, используемых в "анизотропном" разделе математической теории теплопроводности [3] стимулирует разработку новых высокопроизводительных и абсолютно устойчивых вычислительных алгоритмов [1, 2] и дает представление решений соответствующих тестовых задач в аналитически замкнутом виде. Если в "изотропном" и "ортотропном" разделах математической теории теплопроводности существует множество тестовых задач весьма обширно [3—5], то в "анизотропном" разделе ограничено [1, 2, 6—8].
Трудности, возникающие при решении задач математической теории теплопроводности аналитическими методами даже в ее "изотропном" разделе, известны [3—5]. Но они усугубляются в случаях, когда возникает необходимость учета влияния разного рода физико-химических и механических процессов на изучаемое температурное поле, так как их протекание может приводить к временному изменению положения границ твердого тела. Следует заметить, что проблематичность нахождения решений задач этого класса в аналитически замкнутом виде сохраняется даже в тех случаях, когда закон движения границы твердого тела известен [9, 10].
Цель проведенных исследований — решение задачи о нахождении температурного поля анизотропного полупространства, граница которого, обладающая изотропным покрытием пленочной толщины s*, находится под воздействием внешнего теплового потока и перемещается параллельно самой себе с постоянной скоростью V*.
Исходные допущения, математическая модель и ее преобразования. Обратимся к математической модели процесса формирования температурного поля 9(x, y, z, Fo); [x, z]T e R2, y > VFo-s, Fo > 0 системы, представляющей собой анизотропное полупространство y > VFo с изотропным покрытием пленочного типа VFo — s < y < VFo. Предполагаем, что:
1) в анализируемой системе реализуются условия идеального теплового контакта, т.е. при y = VFo заданы граничные условия четвертого рода [5];
2) внешняя поверхность покрытия y = VFo — s — 0 находится под воздействием нестационарного теплового потока Q(x, z, Fo);
3) функционал Q(x, z, Fo) при каждом фиксированном значении Fo > 0 интегрируем с квадратом в R2 по совокупности переменных x, z [11], т.е.
Q(x, z, fo)|fo ,0 e ¿2(R2),
и как функция Fо является оригиналом интегрального преобразования Лапласа [5, 11] при любом фиксированном значении [x, z]T e R2.
В соответствии с принятыми допущениями исходная математическая модель изучаемого процесса может быть представлена в следующем виде:
зе
dFo "х" -z-
= Ц11-
d2 е i 2 дх
+ 2
д2е
+ 2 ц
дхду dxdz ду
д2е д2е 0 д2е д2е
2 дyдz dz
е R2, у > VFo, Fo > 0;
з2 де = ¿32- + ¿32- + з-г
дх2 ду2 dz2
¿fo е(х,у, 0) = 0;
е R2
VFo - s<у < VFo, Fo > 0;
д<-
ду
= -Q(х, z, Fo);
у = VFo - е
е(х, VFo - 0, z, Fo) = е(х, VFo + 0, z, Fo),
л 3-
ду
у = VFo - 0
.12дГе + ¿у + fef
дх ду dz.
у = (VFo + 0)
г(х> у> z, Fo) |(у> VFo -е) л (Fo> 0) е l (R );
е(х, у, z, Fo)| T 2 е L2\VFo - б, <»1,
V >S>*-> 7 1([ х, z]T Е R2) л (Fo > 0) L ' J'
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
где интерпретация условий (7), (8) аналогична интерпретации формальной записи исходного допущения относительно функционала Q(x, z, Ро), задающего внешний тепловой поток;
е = ,
i'
у=
i
z=
i
Fo =
АП АП ,2'
c р l
ViJ =
= ^
б =
Б* l ,
2
a =
ИП ИП / АП АП -1
c р vc р
Л2
V = V
АП АП
c-----р-
Л2
l, л =
Л2
Q = QL
ИП
Л т0
Г(х:, x2, х3, t) — температура в точке с координатами хь x2, x3 в момент времени t; T0 — const — начальная температура системы; l — единица используемого масштаба пространственных переменных; ИП и АП — изотропное покрытие и анизотропное полупространство соответственно; Ху = Xjt — элемент тензора теплопроводности анизотропного полупространства; c, р — удельная теплоемкость и плотность материала соответственно.
Воспользовавшись исходными допущениями, будем считать, что среднеинтеграль-ная по толщине изотропного пленочного покрытия температура
VFo
<г(х, z, Fo)} = - Г е(z, у, z, Fo)йу
Б J
VFo - е
равна температуре его границ:
е(х, VFo - б + 0, z, Fo) = <е(х, z, Fo)} = е(х, VFo - 0, z, Fo),
(9)
(10)
то есть реализуем идею "сосредоточенная емкость" [11]. В этом случае, согласно (2), (9), (10), (4)—(6), приходим к нестационарному граничному условию при у = РРо:
де де
де
Ц12-Г + -г + Ц23--Г = -Л-i Q(х, z, Fo) - б
2 дх ду
'dz
2 де
a --
dFo
¿г + d!i
дх2 dz2 У -I
е R2, (у = VFo, Fo > 0)
0
22
ИП
и новой математической модели процесса формирования температурного поля в анизотропном полупространстве, граница которого, движущаяся с постоянной скоростью V в направлении оси 0_у используемой декартовой системы координат, обладает "термически тонким" покрытием, внешняя поверхность которого находится под воздействием внешнего теплового потока Q(x, г, Бо). Эта математическая модель задана уравнением (1), начальным условием (3), нестационарным граничным условием (11) и условиями (7), (8) принадлежности функционала 9(х, у, г, Ко) заданному классу.
Переходя в стандартную подвижную систему координат [3, 9, 10]
У = у — РТо, т = Бо,
(12)
приходим к искомой математической модели
30 - ц ^ + 2 ц
- - Ц11 2 + 2 ц12
дт
дх
30 + 2 щз^ + З2- + 2 Ц2з^
дх ЗУ дх дг ЗУ2 дУдг
+ Цзз
д20 + удо
дг
дУ
е Я2, У> 0, т > 0;
9(х, У, г, т)|т - о - 0;
30 , 30 , д9 ,
Ц12^ + ЗУ + Ц23^ = "Л 6(Х, г,Т) - £
2 де
а — -дт
д2 е
д2е
+ а
дх дг
уде-
зу
(13)
е Я2, У - 0, т > 0;
22
0(х У г,т)|(У>0)Л(Т>0) е 1 (Я );
е(х, У, г, т)| т 2 е х2[0, да),
4 ' ' ' у|([ х, г]т Е Я2) л (т > 0) 1 ' ''
которая эквивалентна математической модели (1), (3), (7), (8) и представляет собой смешанную задачу для уравнения в частных производных параболического типа, содержащего в своей правой части не только вторые смешанные производные по пространственным переменным, но и конвективную составляющую Р0'У(х, У, г, т), обеспечивающую прямолинейно-параллельный перенос в направлении, противоположном направлению оси 0У с постоянной скоростью V [11]. Следует отметить специфичность граничного условия при У = 0 в математической модели (13), которое можно интерпретировать как нестационарное обобщение специального вида стандартного граничного условия третьего рода [3—5].
Температурное поле. Приступая к решению смешанной задачи (13), то есть к нахождению искомого температурного поля в подвижной системе координат (12), обратим внимание на наличие параметра е в граничном условии при У = 0, который по смыслу исходных допущений является малым. Воспользовавшись этим фактом, функционал 0(х, У, г, т) будем искать в виде разложения по этому малому параме
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.