№ 6
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 536.2
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ТЕЛА С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КАНАЛОМ,
НА ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКОМ ПОКРЫТИИ ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЫ
КОТОРОГО РЕАЛИЗУЕТСЯ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ
© 2014 г. А. В. АТТЕТКОВ, И. К. ВОЛКОВ
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (МГТУ им. Н.Э. Баумана), г. Москва E-mail: fn2@bmstu.ru
Определены достаточные условия, их реализация позволяет заменить исходную задачу о нахождении температурного поля неограниченного твердого тела с цилиндрическим каналом, на термически тонком покрытии подвижной границы которого реализуется нестационарный режим теплообмена с внешней средой, на эквивалентной задаче математической теории теплопроводности с неподвижной границей. Рассмотрен случай движения границы по заданному закону со скоростью, являющейся малым положительным параметром. Разработан приближенный аналитический метод решения рассматриваемой обобщенной краевой задачи нестационарной теплопроводности. С использованием ранее высказанной идеи расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования, обобщающего интегральное преобразование Вебера и полученного согласно общей теории интегральных преобразований, в аналитически замкнутом виде найдено решение соответствующей эквивалентной задачи.
Ключевые слова: изотропное твердое тело с цилиндрическим каналом, обладающим термически тонким покрытием; подвижная граница; температурное поле; нестационарный теплообмен; сингулярное интегральное преобразование.
TEMPERATURE FIELD OF A BODY WITH A CYLINDRICAL CHANNEL, THERMALLY THIN COATING OF MOBILE BOUNDARY WHICH IS IMPLEMENTED NONSTATIONARY HEAT EXCHANGE WITH THE ENVIRONMENT
A. V. Attetkov, I. K. Volkov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow E-mail: fn2@bmstu.ru
Defined sufficient conditions, the realization of which allows to replace the original task of finding the temperature field unlimited rigid body with a cylindrical channel, thermally thin coating of mobile boundary which is implemented nonstationary mode of heat exchange with the environment, equivalent task of the mathematical theory of heat conduction with a fixed boundary. The case of motion of a boundary by the given law with a speed, which is a small positive parameter. Developed approximate analytical method of solution of the generalized boundary value problem of nonstationary heat conduction. Using the
earlier idea of splitting the kernel singular integral transforms, generalized integral transformation Weber and received according to the General theory of integral transformations, analytical closed form solution found appropriate equivalent tasks.
Key words: isotropic rigid body with a cylindrical Cana-scrap with thermally thin coating, movable boundary, temperature field, non-stationary heat exchange, singular integration is the integral transformation.
Введение
При решении прикладных задач математической теории теплопроводности у исследователя возникает необходимость проведения параметрического анализа изучаемого температурного поля и тестирования разрабатываемых или используемых вычислительных алгоритмов, что вряд ли возможно без применения аналитических методов решения соответствующих краевых или смешанных задач для уравнений в частных производных. Трудности практического использования аналитических методов для решения различных классов задач математической теории теплопроводности известны, а библиография по этому вопросу — весьма и частично приведена в [1].
Для подтверждения сказанного достаточно обратиться к задачам о нахождении температурных полей в твердых телах: 1) при реализации нестационарных режимов теплообмена с внешней средой, приводящих к временной зависимости коэффициента теплоотдачи [1—3]; 2) при известной или неизвестной зависимости положения границ твердого тела от текущего времени [4, 5]; 3) при наличии покрытия на границе твердого тела [1, 6]. В частности, известны три частных случая решения аналитическими методами актуальной прикладной задачи о нахождении температурного поля неограниченного изотропного твердого тела с внутренним круговым цилиндрическим каналом, на его границе, движущейся по известному закону, реализуется нестационарный режим теплообмена с внешней средой, приводящий к временному изменению коэффициента теплоотдачи: 1) коэффициент теплоотдачи — const и граница не изменяет своего положения [7]; 2) коэффициент теплоотдачи — функция времени, удовлетворяющая определенным условиям, граница не изменяет своего положения [2]; 3) коэффициент теплоотдачи — функция времени, удовлетворяющая определенным условиям, граница перемещается по линейному закону и скорость этого перемещения — малый параметр [3].
Цель проведенных исследований — определение достаточных условий, реализация которых позволит аналитическими методами найти решение приведенной выше актуальной задачи математической теории теплопроводности при наличии термически тонкого покрытия границы внутреннего кругового цилиндрического канала.
Исходные допущения, математическая модель и ее преобразования
Обратимся к математической модели процесса формирования температурного поля 9(р, Бо); р > v(Fo) > Я, Бо > 0 неограниченного изотропного твердого тела с внутренним круговым цилиндрическим каналом, граница которой р = v(Fo) движется по известному закону V = v(Fo) и имеет идеальный тепловой контакт [1] с покрытием толщиной Я — 1 > 0, на внешней стороне которого реализуется нестационарный режим теплообмена с внешней средой (высокотемпературный газ), приводящий к временному изменению коэффициента теплоотдачи В1 = В1(Бо). А так как предполагается зависимость температуры внешней среды лишь от текущего времени, т.е. ^ = ^(Бо), то исходная математическая модель может быть представлена в следующем виде:
д6 ( р' Бо ) = 1 -У6 ( р' Бо ), р^(Бо )> Я, Бо > 0; (1)
ЗБо рф ф
59(р1Ро) = к^р^е ( р, Бо ), у(Ро) _ к _ : }<р<у(Ро), р0 > 0. ЗБо рдр Зр
е(р, Бо)|Ро = 0 = 0;
^ Ро )| р = у(Ро) - о = ^ Ро )1 р = у(Ро) + 0.
= л де ( р, Бо ) .
де ( р, Бо ) Зр
р = у(Ко) - 0
Зр
р = у(Ко) + 0
р
зе ( р, Бо )
Зр
= л Б1 (Бо)
р = у(Бо) - (К - 1) + 0
' д е ( р, Бо )
Зр
- %(Ро)
р = у(Бо) - ((К - 1) - 0)
Зе(р, Бо)|Бо>0 е Ьр[у(Бо), + ю],
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
где условие (7) означает, что при каждом фиксированном значении Бо > 0 функция е(р, Бо) интегрируема с квадратом и весом р по пространственному переменному р е е [у(Бо), +ю). При этом предполагается, что у(Бо) — неубывающая и дифференцируемая (хотя бы в обобщенном смысле [3]) функция, удовлетворяющая условию
Бо )| бо = (
К.
(8)
В математической модели (1)—(8):
-; Бо Г1
аЛ е
-1
Т - Тр .
ТсО - Т0
Тс - Т0.
Тс0 - Т0
Б1 = ;
1
к = -1; Л = -; К = ,
а г1
где г — радиальное переменное; ? — время; Т — температура; 1 — теплопроводность; а — температуропроводность; а = а(?) — коэффициент теплоотдачи; г1 — радиус внутреннего цилиндрического канала; г2 — радиус контактной границы твердого тела с покрытием; Бо — число Фурье; Б1 — критерий Био; е — определяющий безразмерный параметр математической модели "сосредоточенная емкость"; Л — критерий, характеризующий относительную теплопроводность твердого тела; К — критерий, характеризующий теп-лоинерционные свойства твердого тела относительно покрытия; индексы: 1 — покрытие; с — внешняя среда; 0 — начальное значение.
Согласно исходным допущениям, покрытие границы внутреннего кругового цилиндрического канала является "термически тонким", что означает возможность реализации для него идеи "сосредоточенная емкость" [9]: среднеинтегральная температура покрытия
<е( Бо )> =
у2(Бо) - [у(Бо) - (К - 1 )]'
у(Бо) 1
е(р, Бо)рdр
у(Бо) - (К - 1)
равна температуре его границ, т.е.
^ )| р = У(ро) - 0 = <е( Ро )> = е(р, Бо )| р = У(ро) - (К - 1).
(9)
(10)
При этом, согласно (9), (10) и известной теореме о дифференцировании по параметру интеграла с пределами интегрирования, зависящими от параметра [10], имеет место равенство:
%
р
й - 6( Бо)) й Бо
(Бо)
2v(Бо) - (Я - 1)
V2(Бо) - КБо) - (Я - 1)]2
-6( Бо)) +
v(Fo)
Б дб^рйр.
v(Fo) - (Я - 1)
дБо
Умножив правую и левую части уравнения (2) на 2/^2(Бо) — ^(Бо) — (Я — 1)]2} с последующим интегрированием по переменному р в пределах от v(Fo) — (Я — 1) до v(Fo) и воспользовавшись условиями (4)—(6) в совокупности с равенствами (10), (11), приходим к новому уравнению, которое можно рассматривать как нестационарный вариант граничного условия третьего рода:
8-1(Бо){рд6^о-) - Ц(Бо)[6(р, Бо) -/(Бо)]} = в^6-^,
(12)
Бо > 0, р = v(Бо),
где
5(Бо) = {2v(Бо) - (Я - 1)}; е = (Я - 1)/2кЛ;
Бо) = В1 (Бо) + V (Бо) / кЛ;
(13)
/(Бо) = кЛ Щ Бо)
V (Бо) + кЛВ1( Бо)
При этом, согласно исходным допущениям, параметр в, определенный в (13), является малым.
Искомая математическая модель представляет собой смешанную задачу для уравнения в частных производных параболического типа (1) при нулевом начальном условии (2), нестационарном аналоге граничного условия третьего рода на подвижной границе (12), закон движения которой известен, и заданного класса функций (7), в котором находится решение. Воспользовавшись малостью параметра в (13) заменяем его системой математических моделей:
дЭ*(р, Бо) 1 д 39к(р, Бо) . п п
у - -р —--, р>v(Бо)> Я, Бо > 0;
дБо
рдр др
6(р, Бо)|Бо = 0 = о; д6к(р, Бо)
р
др
ц(Бо)[9(р, Бо) - ук(Бо)], р = v(Fo), Бо > 0;
(14)
6к(р, Бо)|>0 е Ьр[V(Бо), + ю], в которой
Ук( Бо)
/ (Бо) § ( Бо ) д6к - ! ( р , Бо ) ц(Бо) дБо
к = 0 к > 1
р = v(Fo)
(15)
При этом предполагается возможность представления функционала 6(р, Бо) в области его определения в следующем виде [11]:
е(р, Бо) = £ ек(р, Бо)Ек, р>у(Бо)> К, Бо > 0.
(16)
Для удобства дальнейших рассуждений целесообразно перейти к подвижной системе координат:
т = Бо, X _ р/у( Бо),
(17)
Ж„(Х,т) _ е(р, Бо), Ук(т) _ Ук(Ро);
ц(т) _ Бо), т(т) _ V 2( Бо).
(18)
В этом случае, согласно (14)—(18), для каждого фиксированного значения к е {0, 1, 2 ...} функционал Wn(X, т), определяющий изучаемое температурное поле е(р, Бо), (Бо > 0) л л (р > v(Fo) > В), должен стать решением смешанной задачи дл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.