МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 533.7.011.8
© 2008 г. В. Ю. АЛЕКСАНДРОВ, А. И. ЕРОФЕЕВ, М. Н. КОГАН, О. Г. ФРИДЛЕНДЕР
ТЕМПЕРАТУРНОЕ СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
Рассмотрено силовое взаимодействие малых частиц в газе, вызванное отличием температуры их поверхности от температуры газа вдали от частиц. Размеры частиц таковы, что теплопередача происходит в свободномолекулярном, переходном или континуальном режимах. Использован численный метод прямого статистического моделирования Монте-Карло решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана и результаты асимптотических решений. Изучена сила взаимодействия двух нагретых или охлажденных сферических частиц. Определены зависимости температурной силы от размера частиц, т.е. от режима обтекания (от числа Кнудсена) и от расстояния между частицами. Построены аппроксимации этих зависимостей.
Ключевые слова: аэрозольные частицы, силовое взаимодействие, переходный режим, теплопередача, нагретые частицы.
При движении газа с аэрозольными частицами и каплями несгоревшего топлива в соплах двигателей или в ближнем следе самолетов возможна коагуляция этих частиц [1, 2]. Температура таких частиц может не совпадать с температурой окружающего потока вследствие конечного времени релаксации температуры частиц и из-за процессов конденсации/испарения на частицах, сопровождающихся выделением/поглощением тепла. Различие температур частиц и газа может приводить к силовому взаимодействию частиц, что, в свою очередь, может сказаться на величине поперечного сечения столкновения частиц и на скорости их коагуляции. Поскольку размеры частиц в выхлопе двигателей самолетов могут быть весьма малыми [3], процесс теплопередачи может происходить не только в континуальном, но также в переходном и свободномолекулярном режиме.
Существование температурной силы взаимодействия при свободномолекулярном режиме теплопередачи известно с начала XX века. Возможность существования температурной силы при теплопередаче в режиме сплошной среды была обнаружена только в 70-х гг. Обычно считается, что в совершенном газе в режиме сплошной среды помимо давления, может существовать только напряжение трения. При таком рассмотрении в отсутствие вынужденного движения газа сила взаимодействия между частицами равна нулю. Однако сначала Дж.К. Максвелл, а затем Д. Барнетт показали с помощью методов кинетической теории газов, что в газе существуют температурные напряжения даже в том случае, когда движение газа происходит в режиме сплошной среды. Развитая асимптотическая теория медленных неизотермических течений газа как сплошной среды [4] позволила установить, что существует силовое взаимодействие частиц. При однородной температуре поверхности частиц силы взаимодействия определяются действием именно температурных напряжений в газе. В [5] было показано, что закономерности взаимодействия нагретых или охлажденных частиц в континуальном режиме отличаются от закономерностей взаимодействия в свободномолекулярном режиме не только количественно, но и качественно: даже направления сил могут быть различны. Именно поэтому определение температурной силы взаимодей-
ствия в переходном режиме не только является интересной теоретической задачей, но и имеет прикладное значение.
1. Постановка задачи. Исследуется силовое взаимодействие двух сферических аэрозольных частиц, находящихся в однородном однокомпонентном покоящемся газе с давлением ри температурой Тте. При анализе температурной силы взаимодействия при произвольном значении числа Кнудсена (отношения средней длины свободного пробега молекул X к характерному размеру частиц Я, Кп = Х/Я) адекватной математической моделью, пригодной для всех режимов теплопереноса, является кинетическое уравнение Больцмана. При численном исследовании силового взаимодействия нагретых/охлажденных частиц сделаны следующие предположения, которые выполняются, в частности, для условий в следе самолета для значительной доли аэрозольных частиц: теплоперенос происходит в квазистационарном режиме; скоростями частиц по отношению к газу (при определении температурных сил взаимодействия) можно пренебречь.
Температуры поверхности частиц полагаются однородными, но, возможно, отличными друг от друга и от температуры газа вдали от частиц: Тк1 ф Тм (при асимптотическом рассмотрении). При численном исследовании температуры поверхностей частиц и их размеры принимались одинаковыми (Тк1 = Тк2 = Тк ф Тх, Я1 = Я2 = Я). Предполагалось, что размеры частиц сравнимы со средней длиной свободного пробега молекул в покоящемся газе.
Возможность изменения внутренней энергии молекул не учитывалась. Взаимодействие молекул с поверхностью частиц полагалось диффузным. Теплоперенос описывался стационарным уравнением Больцмана для функции распределения молекул по скоростям
| = /(* ^ (1.1)
Член в правой части уравнений означает интеграл столкновений [6]. Граничным условием для функции распределения вдали от частиц принималось равновесное условие с числовой плотностью молекул газа на бесконечности пм:
(н л3/2
*(х п„, = ^ехр(-н^2), нм = 2Т (1.2)
Для отражения от поверхности частицы с температурой поверхности Тк молекул массы т была принята диффузная модель
^ > 0) = ы^^Пк, | (¡уя X!) ^ (1.3)
¡1п < 0
Здесь ¡п — проекция скорости молекулы на нормаль к поверхности частицы.
Нелинейная задача (1.1)—(1.3) была численно исследована методом прямого статистического моделирования Монте-Карло [7, 8]. Использовалась модель молекул — упругих сфер с переменным диаметром, зависящим от относительной скорости молекул, соответствующей потенциалу ф ^ Г*, ^ = 10. При этом длина свободного пробега молекул в равновесном газе определена выражением
Х = 16!: _п_( 1.1 УI-1 ~ 5пр^ 2ЯТД 3sA s
Расчетные исследования проводились с помощью программы, учитывающей двумерное осесимметричное расположение частиц. Симметричное расположение одина-
ковых частиц позволяло проводить вычисления в части трехмерного пространства с заданием на плоскостях симметрии условий зеркального отражения молекул. Использовались расчетные сетки размером 35 х 45, 40 х 50, 45 х 55, 50 х 60. Размер ячеек по различным направлениям был одинаков. Отношение шага сетки к средней длине свободного пробега молекул равно 0.3. Шаг по времени соответствовал перелету молекул со средней тепловой скоростью на половину пространственной ячейки. Число шагов по времени в различных расчетах изменялось от 5 ■ 104 до 3 ■ 105.
В [9] при больших расстояниях Ь между покоящимися сферическими частицами различных размеров с однородными температурами их поверхности было получено асимптотическое выражение для величины температурной силы в свободномолеку-лярном режиме. Эти силы взаимодействия обусловлены изменением скорости молекул, отлетающих от нагретой или охлажденной частицы и приносящих увеличенный или уменьшенный импульс на вторую частицу. При этом, поскольку взаимодействие молекул с поверхностью предполагалось полностью диффузным, на частицу I действует частица ] с температурной силой
Fi}(Kn = Fj = 4-(pjnR2)R
г Л
T w — 1 t,
y
(1.4)
При малых перепадах температуры эта сила линейно зависит от перепада температуры частицы и газа вдали от нее. Если одна из частиц холоднее (горячее) окружающего газа, то на другую частицу действует сила притяжения (отталкивания).
При определении сил взаимодействия частиц, расположенных на конечном расстоянии, в свободномолекулярном режиме помимо данных работы [5] для решения интегральных уравнений использован известный метод пробной молекулы [10, 11]. Число пробных молекул в различных расчетах изменялось от 5 ■ 105 до 5 ■ 106 так, чтобы статистическая погрешность расчетов сил взаимодействия ^ не превышала 3%.
Постановка задачи о температурном взаимодействии крупных частиц, т.е. задачи о взаимодействии в континуальном приближении (при малых значениях числа Кнудсе-на), была получена при асимптотическом решении уравнения (1.1). При этом рассматривались медленные движения газа в нелинейной постановке [12]. В линейном приближении по перепаду температуры между частицами и газом и при малом числе Кнудсена температурная сила взаимодействия равна нулю с погрешностью, равной рмЖп2, Б - характерная площадь поверхности частиц.
В квадратичном по перепаду температуры между частицами и газом приближении и при большом расстоянии Ь между сферическими частицами, величина силы температурного воздействия на частицу I со стороны частицы ] равна [12]
Fu(Kn ^ 0) = Fj = k(|п)р„(пR)RR[T^ - l)(T- - 1)KnR; (1.5)
Величина коэффициента к зависит от потенциала взаимодействия молекул газа и изменяется в пределах к = 1.0-1.5. Направление сил взаимодействия в континуальном режиме отличается от направления сил взаимодействия в свободномолекулярном режиме (1.4): частицы отталкиваются друг от друга, если температуры обеих частиц одновременно выше или ниже температуры окружающего воздуха.
В континуальном режиме, в квадратичном приближении по перепаду температуры, при определении силового взаимодействия частиц, находящихся на конечном расстоянии, использованы метод разделения переменных решения линейного уравнения Лапласа в бисферических координатах и решение двухточечной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной погрешностью. По полученным градиентам температуры на поверхностях частиц определялась величина силы [12].
Фиг. 1. Сила взаимодействия сферических частиц в континуальном приближении при различных расстояниях между ними; F* = F/Fc, Fc - (1.5), R1 = R2
Фиг. 2. Температурная сила между горячими (1, 3) и холодными (2, 4) сферическими частицами одного размера: 1, 2 - численное статистическое моделирование; 3, 4 -континуальные результаты, приближение (1.5); 5, 6 - аппроксимации (2.1) и (2.3); р** = р/(р^5т), Бт - площадь миделя частицы
Подчеркнем, что выражения (1.4) и (1.5) верны в асимптотическом (по большой величине Ь) квадратичном приближении.
2. Результаты. В континуальном режиме сила взаимодействия при расстоянии между частицами, большем удвоенного диаметра, отличается от асимптотического выражения (1.5) не более чем на 30% в случаях, когда обе част
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.