КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 004.421.6:514.8
ТЕНЗОРНЫЕ РАСЧЕТЫ В СИСТЕМАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ
АЛГЕБРЫ
© 2013 г. A.B. Королькова, Д.С. Кулябов, Л.А. Севастьянов
Российский университет дружбы народов 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6 E-mail: sevleonid@yandex.ru Поступила в редакцию 25.07.2012
В статье рассмотрены три вида тензорных расчётов. В соответствии с ними авторы попытались сформулировать критерии, которым должна удовлетворять система компьютерной алгебры для работы с тензорами. Сделан краткий обзор текущего состояния тензорных вычислений в разных системах компьютерной алгебры. Тензорные расчёты проиллюстрированы соответствующими примерами, реализованными в конкретных системах; Cadabra и Maxima.
1. ВВЕДЕНИЕ
Тензорные вычисления используются во многих областях физики. Следует заметить, что во всей своей мощи формализм тензорного анализа проявляется не во всех областях, достаточно часто используют его упрощённые варианты.
Каждая тензорная операция сама по себе достаточно проста. Однако даже при стандартных вычислениях приходится выполнять множество элементарных операций. Эти операции требуют большой внимательности и скрупулёзности. Именно поэтому в данной области актуальны разные упрощения нотации, оптимизация операций (например, тензорные диаграммы Пенро-уза).
Одной из задач систем компьютерной алгебры является освобождение исследователя от рутинных операций, что актуально и в случае тензорного исчисления.
2. ОСНОВНЫЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ И ТИПЫ ЗАПИСИ ТЕНЗОРОВ
Чтобы определить основные виды операции с тензорами, рассмотрим основные области их применения.
2.1. Безындексные вычисления для теоретических построений
Безындексные вычисления обычно применяются в теоретических построениях и часто противопоставляются компонентным вычислениям.
Посмотрим, как можно реализовать основные тензорные операции в безындексном случае.
• Сложение тензоров. При сложении двух тензоров валентности [ Р ] получаем тензор валентности [Р]:
A + B = C.
(1)
Сложение тензоров задаёт структуру абеле-вой группы.
Тензорное умножение. При тензорном умножении тензора А с валентноетью [ Р ] на тензор О с валентностью [ г3 ] получаем тензор Е с валентностью
A ® D = E.
(2)
Тензорное умножение задаёт структуру некоммутативной полугруппы.
Операция свёртывания. Обозначим операцию свёртывания тензоров по последним индексам через С Тогда под действием этой
Р+1
q+1
операции тензор F с валентностью реходит в тензор G с валентноетью [ p ]:
CF = G.
пе-
(3)
• Операция перестановки индексов. Данная операция необходима для задания симметрии тензоров (например, коммутатора или антикоммутатора тензора), для расширения операции свёртывания на свёртку по произвольным индексам. Однако в рамках безындексного подхода обозначить эту операцию нельзя. Впрочем, простейшие симметрии мы можем явно указать в описании объекта (при этом для однозначности придётся наложить ограничения на валентность).
2.2. Векторные вычисления
Векторное исчисление - простейший вариант тензорного исчисления (вектор - тензор валентности один). Вектор ап размерности N представляется как совокупность набора компонент п = зависящего от базиса, и линейного закона преобразования компонент при изменении базиса. Часто используемые операции - построение разнообразных дифференциальных операторов и замена базиса. Наиболее распространённые операторы: градиент, дивергенция, ротор (специфична для трёхмерного пространства [1, 2]).
Для компонентных расчётов необходимо определить базис, метрику и связность (а соответственно, и ковариантную производную). В векторном исчислении широкое распространение получил голономный базис, который строится как совокупность частных производных от координат в касательном расслоении и дуального базиса как 1-формы в кокасательном расслоении:
Si =
д
dxi
Si = dxi.
(4)
Связность и метрика строятся таким образом, чтобы ковариантная производная от метрики равнялась нулю:
Vfc gij = 0.
(5)
В этом случае связность и метрика согласованы [3].
Следует заметить, что в векторных вычислениях также часто используется специальный неголономный базис, позволяющий не различать
контравариантные и ковариантные вектора, сохранять размерность при замене координат1 (подробнее см. в работе [1]):
S = А,
i dsi'
Si = dsi
dsi = hj dxj. (6)
dsi
hj
(в случае ортогональных координат - коэффициенты Ламе).
2.3. Дираковские 4--спиноры
Специальным случаем тензорных объектов являются спиноры (называемые также спин-тензорами). В частности спиноры являются представлениями группы Лоренца с полуцелым старшим весом. Обычные тензоры являются представлениями с целочисленным старшим весом.
По историческим причинам наиболее часто в исследованиях используются дираковские 4-спиноры, которые применяют для записи уравнений Дирака, описывающих фермионы со спином 2. Дираковские 4-спиноры суть неприводимые спиноры для случая n = 4 и s = ±2, где n — размерность векторного пространства, s = n — 2u — его сигнатура, u — число отрицательных значений диагонального метрического тензора gab.
Обычно для манипуляции с дираковскими спинорами используют Y-матрицы, получаемые из уравнения Клиффорд а-Дирака [4]:
Y(aYb) = gabI ,
(7)
где 7а — матрицы N х N 9аЬ — метрический тензор, I — единичная матрица N х N, N — размерность спинорного пространства:
(2га/2, чётное n, 2n/2-i/2, нечётное n.
7-матрицы являются элементами алгебры Клиффорда, порождающими линейное преобразование спинового пространства.
При преобразовании длина переходит в длину, угол в угол и т.д.
Поскольку 7-матрицы можно рассматривать как коэффициенты перехода от спинового пространства к векторному, то более строго следует ввести спиновые коэффициенты и записать уравнение (7) следующим образом:
1аар1Ъо + 1Ър!Тао = 29аЬ^°р
(9)
1аЬ..Л := 1\а!ь ■■■ Также вводится элемент 75:
75 := еаЫсС1а1Ыс1с,
(10)
(11)
Многоэлементные симметрии задаются алгеброй перестановок. Тождество Бьянки имеет
вид
2.
Йа(ЬсС) = ЙаЬсС + ЙасСЬ + ЙаСЬс = 0. (17) Дифференциальное (второе) тождество Бьянки
Для построения полной алгебры Клиффорда необходимы ещё и произведения 7-матриц, однако в силу (7) достаточно рассматривать только антисимметризованные произведения:
имеет вид3:
ЙаЬ(сС;е) = Vе ЙаЬсС + ^сЙаЬСе + ^СЙаЬес = (18)
Симметрии наиболее естественно задавать с помощью диаграмм Юнга [6]. Причём наличие предопределённых классов тензоров не отменяет необходимость в явном задании симметрии.
пиках имеет симметрии
а с
Ь с
или
а а
с с
где еаЪсС — альтернирующий тензор.
Манипуляции с 7-матрицами сводятся к набору соотношений, следующих из алгебраических симметрий, например
1а1а = 41, (12)
1а1Ь1с1а = 4дЬс1, (13)
1а 1Ь = 1аЬ + даЬ1, (Щ
1а 1Ыс = 1аЬс + даЫс + дЬс!а - дас!Ь. (15)
2.4. Тензорные вычисления в общей теории относительности
Общая теория относительности стала первой физической теорией, потребовавшей всю мощь дифференциальной геометрии и тензорных вычислений [5]. В вычислениях возникают громоздкие тензорные конструкции, которые можно упрощать, учитывая симметрии тензоров. Обычно выделяют одноэлементные (monoterm) и многоэлементные (ти1Шегт) симметрии. Одним из основных элементов теории является тензор Римана, обладающий как простейшими одноэлементными, так и сложными многоэлементными симметриями типа тождеств Бьянки.
Одноэлементные симметрии соответствуют простым перестановочным симметриям и задаются группой перестановок. Для тензора Римана, например, имеем:
2.5. Типы записи тензоров
Таким образом, опираясь на рассмотренные выше виды тензорных вычислений, можно выделить три типа записи тензоров: компонентная запись, запись с абстрактными индексами и безындексная запись. Каждый тип имеет свою специфику и область применения.
Компонентные индексы, фактически, превращают тензор в набор скалярных величин, применяемых при конкретных расчётах. Обычно оперировать с компонентными индексами есть смысл лишь после упрощения тензорного выражения и учёта всех его симметрий.
Безындексную запись часто используют, если исследователя интересует не конечный результат, а симметрии тензоров. Однако эта форма записи страдает недостатком выразительности: тензор рассматривается как целостный объект, соответственно и симметрии возможно рассматривать лишь те, которые относятся к тензору в целом. Для работы с объектами сложной структуры приходится изобретать новые обозначения либо добавлять словесные пояснения. Эту проблему и должны снять абстрактные индексы [7].
Абстрактные индексы следует рассматривать как усовершенствование безындексной записи тензора. Абстрактный индекс обозначает лишь принадлежность тензора к определённому пространству, а не следование тензорному правилу
ЙЬасС — RтЬcd, ЙсСаЬ — -^аЬаС.
2 Круглые скобки в (17) обозначают симметризацию.
3Точка с запятой в (18) означает ковариантную производную.
преобразования (в отличие от компонентных индексов). В этом случае возможно рассмотрение как симметрий, охватывающих весь тензор (все его индексы), так и симметрий отдельных групп индексов.
3. ТЕНЗОРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Современные системы компьютерной алгебры способны решать задачи достаточно широкого спектра и из разных областей знаний. Есть системы как узко специализированные, так и с претензией на универсальность (обзоры некоторых систем см., например, в работах [8, 9, 10]). Рассмотрим некоторые системы компьютерной алгебры, в которых в той или иной степени реализована возможность работы с тензорами.
3.1. Требованья к системе компьютерной алгебры
Три типа записи тензоров соответствуют трём видам тензорных аналитических вычислений, что приводит к определённым требованиям, предъявляемым системе компьютерной алгебры.
Безындексные вычисления манипулируют с тензорами как с целостными алгебраическими объектами. В данном случае возможно либо задание самого простейшего типа симметрии (объект является представлением какой-либо группы или алгебры), либо использование объектов с заранее заданной симметрией.
Абстрактные индексы требуют возможности задания сложных типов симметрии, например, через диаграммы Юнг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.