ЖЭТФ, 2012, том 141, вып. 5, стр. 994 99G
© 2012
ТЕОРЕМА ВИРИАЛА И ПРОБЛЕМА ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
В ТЕОРИИ ПОЛЯРОНА
Н. И. Каширинаа* В. Д. Лахноь*,*А. В. Тулубс***
" Институт физики полупроводников Национальной академии наук Украины.
03028, Киев. Украина
ь Институт математических проблем биологии Российской академии наук 142290, Пущ-ино, Московская обл., Россия
€ Санкт-Петербургский государственный университет 1990:Ц, Санкт-Петербург, Россия.
Поступила в редакцию 15 августа 2011 г.
Обсуждается теорема вириала для трансляционно-инвариантной теории полярона [3]. Показано, что в работе [3] в пределе сильной связи был сделан неоптимальный выбор вариационных параметров, который привел к нарушению вириальных соотношений. Введение дополнительного вариационного параметра в пробную функцию приводит к понижению энергии полярона и выполнению соотношений теоремы вириала для полярона сильной связи (теоремы Пекара 1:2:3:4).
Как известно, для классических и квантовых систем в ряде случаев возможно установить некоторые общие соотношения между средними величинами кинетической энергии, потенциальной энергии и энергии взаимодействия, которые носят название теоремы вириала. Теорема вириала выполняется как для точных, так и для приближенных волновых функций, при том, однако, условии, что они получены вариационным методом.
В частности, такие общие соотношения можно получить для полярона, исходя непосредственно из гамильтониана Фрёлиха:
h2 А
нр= ——+ (1)
'" к к
где т эффективная масса электрона; г координата электрона; «д. операторы рождения и уничтожения фононов с энергией Ни),
V k2iV ) ' ^ '
в заряд электрона, е^, ео высокочастотная и статическая диэлектрические проницаемости, V объем системы.
E-mail: n_ kashirina'fflmail.ru E-mail: lak'fflimpb.psn.ru E-mail: tulub'fflXK7099.Spb.<4lu
Вириальпые соотношения для поляронной задачи при произвольной величине электрон-фононного взаимодействия имеют вид [1]
Тр = —Рр, Рс/ = ЗГр, Ргп1. = 4 Fp, (3)
где
Рр = Тр + Рш/2, Рс/ = Тр + Ем,
тР = (*Р 1-^1*,).
Еш = <Фр| ^Г*«-*"«* + Н.с.)|ФР>, к
Фр волновая функция основного состояния полярона. В пределе сильной связи к вириальным соотношениям (3) добавляется еще одно соотношение:
Ерь = —2Рр, (4)
где
Ерп = (Фр|^Йи;а|,ал|Фр). к
В этом пределе величина Рр совпадает с полной энергией основного самосогласованного состояния полярона (энергией термоионизации) Ер = {Фр|Яр|Фр), а вириальпые соотношения, полученные в работе [1], соответствуют известной теореме Пекара 1:2:3:4 для полярона сильной связи [2].
ЖЭТФ, том 141, вып. 5. 2012
Теорема вириала и проблема основного состояния
В трансляционно-инвариантной теории [3] опора-торы поля подвергаются преобразованию сдвига:
и к «д. + Д,
причем функция Д. описывает классическую компоненту поля (поляронная яма). Для энергии основного состояния Ер в работе [3], исходя из гамильтониана (1), было получено выражение
(5)
(в формуле (5) положено h = и) = 1, как в работе [3]).
Входящие в (5) величины имеют следующий смысл:
Тр = А/.". Еш = 2 ^ \ ). Д. }■'.,,j, = ^ ./'/.
к к
и должны подчиняться вириальным соотношениям (3) и (4). Так, для величины E^i в работе [3] было получено с использованием пробной функции fj = = —Vit охр(—А-2/2ы2), где и вариационный параметр, выражение
Е,
inl
v—* 2 = 2 = --=
-< „ / -7Г
2
9 «.
(6)
где
m
3 П M V 2 Гы
а фрёлиховская константа электрон-фононной связи. Соответственно для Eph было получено выражение
Eph = ~k=92u- СП
Из формул (6) и (7) следует, что Eint/ Eph = ~ 2\/2.
(8)
Это выражение находится в противоречии с теоремой вириала (с соотношением (4)).
В работе [3] для энергии основного состояния при одном варьируемом параметре было получено значение
Е0 = -0.105.94
(9)
которое соответствует более высокой энергии поля-рона, чем энергия, полученная в работе Мияко [4], равная:
Е0 = -0.10851128.94. (10)
Представляет интерес найти минимум полной энергии в рамках трансляционно-инвариантной теории в классе функций, удовлетворяющих вириальным соотношениям. В рамках этой задачи выяснилось, что выбор пробной функции в работе [3] но является оптимальным. Наименьшое значение функционалу (5) доставляет в рамках задания двух вариационных параметров функция типа = Аг/^Г. Вариационный параметр Дг оказался рав-
Г^ -ш-г - » «П П-Г «Т7
ТС. выпол-
ным Дг = \/2. При выборе Д = Д, = у'. ияются вириальиые соотношения (3) и (4), справедливые для полярона сильной связи (теорема Пекара 1 : 2 : 3 : 4 [2]), а для энергии основного состояния, вычисленного согласно (5), получается следующее значение:
Е0 = —0.1257520.9
(П)
что гораздо ниже наилучшего значения (10).
Значение £о, определяемое формулой (10), в настоящее время является твердо установленным и определяется из соотношения
lini —^ = inf
а1 ф и Ф ||=1
<Zr|VvP(r)| -
-L j iiri iir-2 | Ф ( Г i ) |2 | Г i - Г2|_1|Ф(
(12)
где функционал в правой части выражения является функционалом Пекара, полученным в пределе сильной связи. Строгое доказательство утверждения (12) было дано в работах [5,6]. Результат Мияко воспроизводился в большом числе работ (см. [7,8]) и не вызывает никакого сомнения.
На наш взгляд, (результаты работы [3] были еще раз перепроверены) единственное возможное объяснение возникшего противоречия лежит в том, что в трансляционно-инвариантной теории в приближении сильной связи и в теории сильной связи, основанной на волновых функциях, минимизирующих функционал (12), используются волновые функции, принадлежащие разным классам функций. В транс-ляционно-инвариантной теории волновая функция полярона при равном нулю полном импульсе имеет вид
Ф^ = охр -< J2 Ф ({а*}) |0),
(13)
1^0 12 = const,
где функционал Ф в явном виде приведен в работе [3]. Переход к локализованному описанию в по-ляронной задаче (состояния в теории со спонтанно
995
13*
H. И. Каширина, В. Д. Лахно, А. В. Тулуб
ЖЭТФ, том 141, вып. 5. 2012
нарушенной трансляционной симметрией) был также рассмотрен в работе [3] и привел к выражению (9) для энергии. Приближенная волновая функция основного состояния, определяемая функционалом (12), принадлежит к классу локализованных, нормируемых функций. В то же время, строгое обоснование вывода о делокализованности истинной волновой функции полярона в основном состоянии было дано в работе [9].
В заключение отметим, что принятие значения (11) для энергии основного состояния полярона приводит к необходимости переоценки критерия стабильности биполяронного состояния Еьр < —2ЕР по параметру ;/с = е^/ео- выше которого биполя-ронные состояния отсутствуют. Для параметра ;/с, найденного в работе [10] в рамках того же кван-тово-полевого подхода, что и поляронная энергия, определяемая выражением (11), получим значение ;/с = 0.179 вместо ;/с = 0.2496, рассчитанного с использованием поляронной энергии (10). В связи с тем, что в работе [10] при решении биполяронной задачи была проведена процедура оптимизации по дополнительному вариационному параметру, теорема вириала для биполярона [11] выполняется в [10] автоматически.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 11-07-12054, 10-07-00112).
ЛИТЕРАТУРА
1. L. F. Lommons and J. T. Devreese, Sol. St.. Comm. 12. 1067 (1973).
2. С. И. Пекар, Исследование по электронной теории кристаллов. Гостехиздат, Москва (1951).
3. А. В. Тулуб, ЖЭТФ 41, 1828 (1961).
4. S. J. Miyake, J. Pliys. Soc. Jpn. 41, 747 (1976).
5. J. Adamowski, B. Gerlacli, and H. Leslike, Pliys. Lett. A 79, 249 (1980).
6. B. Gerlacli and H. Löwen, Rev. Mod. Pliys. 63, 63 (1991).
7. E. Lieb, Stud. Appl. Math. 57, 93 (1977).
8. В. Д. Лахпо, Н. К. Балабаев, ТМФ 45, 139 (1980).
9. В. Gerlacli and H. Löwen, Pliys. Rev. В 37, 8042 (1988).
10. В. Д. Лахпо, ЖЭТФ 137, 926 (2010).
11. Н. И. Каширипа, В. Д. Лахпо, УФН 180, 449 (2010).
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.