АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 5, с. 653-665
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕЖИМА ФАЗОВОГО ЗАПРЕТА ДЛЯ ВОЛНЫ СУММАРНОЙ ЧАСТОТЫ НЕЛИНЕЙНОГО АКУСТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ
© 2007 г. А. М. Гаврилов
Таганрогский государственный радиотехнический университет 347928 Ростовская обл., Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44 E-mail: gavr_am@mail.ru Поступила в редакцию 6.02.06 г.
Рассмотрена теоретическая модель для поля волны суммарной частоты нелинейного акустического излучателя с трехчастотной волной накачки, учитывающая диссипацию и дифракцию гауссового пучка. В рамках второго приближения волна суммарной частоты представлена как суперпозиция двух синхронно и коллинеарно распространяющихся компонент с равными частотами. Показано, что помимо амплитудно-фазовых соотношений в спектре накачки на пространственные и амплитудно-фазовые характеристики волны суммарной частоты оказывают влияние дифракционные изменения амплитуд и фаз первичных волн. Наиболее явно эта зависимость проявляется в режиме фазового запрета, когда подбором амплитудного и фазового спектров накачки в среде практически прекращается ("запрещается") генерация волны суммарной частоты. Результаты численного анализа согласуются с данными экспериментальных исследований. Область практического использования исследуемого режима включает диагностику неоднородностей сред, обнаружение объектов вблизи границ раздела, уменьшение нелинейного затухания, акустические измерения и др.
PACS: 43.25.Lj, 43.25.Jh, 43.25.Zx, 43.30.Lz
ВВЕДЕНИЕ
Под режимом фазового запрета понимаются такие условия для амплитудных, фазовых и частотных соотношений в спектре излучаемой регулярной волны конечной амплитуды, при которых в процессе нелинейного взаимодействия оказываются перекрытыми один или несколько возможных каналов оттока энергии из накачки во вторичные волны [1]. Подобное влияние амплитудно-фазовых соотношений на волновые процессы в квадратично-нелинейных средах без дисперсии наблюдается для различных типов исходных волн [1, 2]. Одним из таких случаев является узкополосная трехчастотная волна накачки нелинейного акусти-
ческого излучателя (НАИ) с симметричным частотным спектром щн = (щ - П), ю0, щв = (щ + П), генерирующая в спектре второго порядка бигар-моническую волну разностной частоты (ВРЧ) с частотами П и 2П, вторые гармоники накачки (2юн, 2ю0, 2юв) и волны с суммарными частотами (щн + + ю0, щ + щв, щн + юв), рис. 1. Поскольку здесь всегда выполняется условие юн + щ = 2ю0, то эти гармоники фактически являются компонентами одной волны, называемой в дальнейшем волной суммарной частоты (ВСЧ), образовавшимися при взаимодействии различных пар волн накачки. Заметим, что из двух компонент помимо ВСЧ состоит и 1-я гармоника ВРЧ (П): щ - щн = щв - щ = П).
Волны разностной частоты
Pc
P,
СВ
\
рсн "
P
2С
-¡Ь
Волны накачки
P
PH
С
PB
С
Волны суммарной частоты и вторые гармоники накачки
PC0
PCH P2H Т
P P
Юн ®0 ®B
-ib
С
С
20
CB
P
/
HB
С
P
2B
С
0 п 2п
Рис. 1. Спектр трехчастотной накачки и нелинейно генерируемых вторичных волн (второе приближение).
2юн Юн + ю0 2ю0 юв + Ю0 2юв Ю Юн + Юв
В рамках второго приближения остальные вторичные волны являются однокомпонентными, поскольку появляются в результате взаимодействия одной пары волн накачки.
Отмеченная особенность приводит к качественным различиям между одно- и двухкомпо-нентными вторичными волнами в их зависимости от амплитудно-фазовых соотношений в спектре накачки. Например, поскольку гармоника с частотой юя + ю0 возникает в результате взаимодействия двух первичных волн (юя и ю0), то фазовые соотношения между волнами накачки влияют лишь на ее начальную фазу. Иная ситуация у ВСЧ и 1-й ВРЧ, каждая из которых является суперпозицией двух синхронно и коллинеарно распространяющихся равночастотных компонент, образовавшихся при взаимодействии различных пар гармоник первичного спектра. Поле каждой из этих волн определяется соотношением амплитуд и фаз входящих в их состав компонент, которые в свою очередь зависят от амплитуд и фаз образующих их волн накачки.
Очевидно, что при определенных амплитудно-фазовых соотношениях в спектре накачки может наступить условие, когда амплитуды компонент одной и той же комбинационной частоты окажутся равными, а их фазы противоположными. Эту ситуацию можно рассматривать как своеобразное акустическое "короткое замыкание" противофазных нелинейных источников, ответственных за генерацию компонент с частотами 2ю0 и (или) О. В результате отток энергии из накачки в ВСЧ и (или) 1-й ВРЧ прекращается, приводя к "запрету" их образования.
Как любой компенсационный процесс, рассматриваемый режим представляет собой состояние неустойчивого равновесия, возникающее в результате баланса амплитуд и фаз двух волновых процессов. Интерес к режиму фазового запрета ВСЧ и 1-й ВРЧ обусловлен широкими возможностями его практического использования благодаря высокой чувствительности амплитуд этих волн к любым нарушениям амплитудных и (или) фазовых соотношений в спектре накачки. Среди возможных путей его использования являются диагностика неоднородностей среды (газовые пузырьки, гидродинамические возмущения, температурные и структурные неоднородности) [2-4], обнаружение объектов вблизи и на границе раздела (морское дно, граница вода-воздух, дефекты поверхности) [4], контроль неровностей границ (микрорельеф дна, поверхностное волнение, шероховатость), уменьшение нелинейного затухания [5], акустические измерения [6] и др.
Продвижение в практику методов, использующих режим фазового запрета, сдерживается, с одной стороны, ограниченным количеством сведений по данному вопросу, а с другой, - отсутствием теоретических моделей, соответствующих усло-
виям проведения эксперимента и предполагаемого практического использования. Так, в частности, экспериментально наблюдаемые особенности поля ВСЧ в режиме фазового запрета [3-5] не находят своего объяснения в рамках взаимодействия плоских волн и известных моделей НАИ [7, 8]. Причина расхождений лежит в отсутствии учета частотно-зависимых процессов дифракции и диссипации, приводящих к нарушению амплитудных и фазовых соотношений в многочастотной накачке. На это обстоятельство указывает тот факт, что учет диссипации и дифракционных изменений амплитуд и фаз первичных волн в рамках решения уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (ХЗК) позволил проследить их влияние и получить согласие с результатами эксперимента для режима фазового запрета 1-й ВРЧ [9]. Аналогичный анализ ВСЧ в рамках пучковой модели НАИ не проводился.
Целью данной работы является разработка теоретической модели процесса генерации двух-компонентной ВСЧ в квадратично-нелинейной среде без дисперсии трехчастотной накачкой с произвольными амплитудно-фазовыми соотношениями в спектре при наличии дифракции и диссипации волн. Это позволит проследить зависимость ВСЧ от амплитудно-фазовых соотношений в рамках пучковой модели НАИ, провести численный анализ особенностей формирования поля ВСЧ в режиме фазового запрета, сопоставить их с результатами эксперимента [12] и сравнить с поведением 1-й ВРЧ в аналогичных условиях [9].
1. АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДИФРАГИРУЮЩЕЙ ВОЛНЫ НАКАЧКИ
Для построения теоретической модели воспользуемся уравнением ХЗК [10, 11]
д_
дт
dp dx
ро c0
dp p дт
д2 p
2ро4дт2
= ^ •
(i)
которое учитывает диссипативное затухание, дифракцию первичных и генерируемых ими вторичных волн. Здесьp - звуковое давление; c0, £, р0, b -скорость звука, нелинейный акустический параметр, плотность и диссипативный коэффициент
среды; т = (t - x/c0); А± = (д2/дy1 + д2/ду2). Анализ поля ВСЧ проведем для звуковых пучков накачки с гауссовым поперечным распределением амплитуды, что позволяет получить общие решения для первичных и вторичных волн в аналитическом виде через достаточно простые функции. Граничное условие для осесимметричных пучков волн накачки с равномерным фазовым распределениями вдоль поверхности плоского излучателя в цилиндрической системе координат имеет вид:
pn(т, r, x = 0) = Ponexp(-r2/a2)cos(ю„т + ф„о), (2)
где a - радиус излучателя; юп - частоты первичных волн, п = (1, 2, 3); г и x - поперечная и продольная (осевая) координаты; P0n и ф0п - начальные (х = 0) значения амплитуд и фаз волн; ю1 = Юн = = (ю0 - П), ю2 = ю0 и ю3 = юв = (ю0 + П) - нижняя боковая, центральная и верхняя боковая частоты спектра первичной волны. Далее п = (1, 2, 3) соответствуют индексы "H", "0" и "в", связанные с введенным обозначением частот Юн, 0, в.
Рассматривая волны накачки при Яе < 1 (Яе -акустическое число Рейнольдса), что исключает появление разрывов в волновом профиле, будем решать уравнение (1) методом последовательных приближений. Уравнение первого приближения
Э_
дт
д p
(1)
з2 (!)1
дx
2роС3 дт2
-2 а,р(1) = 0 (3)
с граничным условием (2) описывает дифракцию квазиплоской трехчастотной волны накачки, распространяющейся в диссипативной среде. Решение уравнения (3) запишем в виде
р(1)(т, г, x) =
1 (4)
= 1 [Р(г, x)е'Ю1Т + P2(r, х)е""2" + Рз(г, x)е'ЮзТ + к.с.],
где пространственные распределения комплексных амплитуд волн накачки описываются известным выражением [10, 11]
Ъ / ч Pon ( г 1
pn( - x) = 1 70777 ехР
a21 - ixlhn ^ (5)
22 _ a ^ _a Юо Л 1 1 _ , Л 1'
^ = "2^ = "^11- фJ = ^11- ФГ
2
= а щв = , (1 + 1
1дв = 177 = Ч1 + ФГ
(6)
ао =
Ь ю0 2 Ро со
ан =
Ью
н
2 Ро с0
= а0
1-1121 ф^ '
а в =
Ь ю в 2роС
з = ао(1 + ф
С учетом (6) выражения для комплексных амплитуд первичных волн (5) принимают вид:
рн(Г, г) =
Р
01
1 - izФ/(Ф - 1 )
X
X ехр
Ро( г, г) =
1 - izФ/(Ф - 1)
Р 02
1 - iz
Рв (Г, г) =
ехр
- а0 2
1 - iz
Роз
1-Ф I г1до
- а0г1
до
(7)
1 - izФ/(Ф + 1)
X
X ехр
н
1- izФ/(Ф +1) где z = х/1д0; гн = г/а.
- ао1 1
Ф121
до
2. ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛНЫ СУММАРНОЙ ЧАСТОТЫ ДИФРАГИРУЮЩЕЙ ТРЕХЧАСТОТНОЙ НАКАЧКОЙ В СРЕДЕ С ДИССИПАЦИЕЙ
Для нахождения поля вторичных волн воспользуемся уравнением второго приближения:
1 - ix/ 1д
= Рп(г, X)ехр [/[фп(г, х) + фоп]], где 1дп = кпа2/2 = Юпа2/2с0 - длины областей дифракции волн накачки; кп = Юп/с0; i = „/-1; Роп = = Р0пехр(/'ф0п);
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.