№ 6
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 536.7:544.3:519.85
© 2008 г. КАГАНОВИЧ Б.М., ФИЛИППОВ С.П.*
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ КОМБИНИРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Рассмотрены вопросы оценки эффективности комбинированных технологий, распределения затрат и установления цен на производимые ими продукты. Приведены математический и технико-экономический анализы поставленной задачи. Выявлены условия многозначности ее решения и обсуждены способы оценки эффективности комбинирования при наличии этих условий.
Введение. Комплексная переработка сырья и комбинированное (одновременное) производство из него нескольких видов продукции являются важнейшими факторами повышения эффективности экономики, в т.ч. энергетики. В России комбинированные (многопродуктовые) технологии получили распространение в тепловой энергетике (комбинированное производство электроэнергии на базе теплового потребления -теплофикация), переработке топлив (нефти, газа, угля) и гидроэнергетике (одновременное удовлетворение потребностей в водных ресурсах электроэнергетики, сельского хозяйства и судоходства).
При анализе эффективности комбинированных производств возникает ряд сложных теоретических и методических вопросов, центральное место среди которых занимает разнесение общего эффекта от комбинирования между отдельными полученными продуктами. От подхода к распределению экономии денежных, энергетических и природных ресурсов зависит понимание и решение многих важных экономических и технико-экономических задач. Укажем некоторые из них.
1. Определение оптимальных цен (тарифов) на продукты комбинированных технологий. Проблема оказывается нетривиальной, так как численные значения таких цен, как будет показано ниже, часто получаются неоднозначными. Это относится и к определению ущербов от загрязнения природы антропогенными выбросами, в т.ч. от объектов энергетики. Обычно энергетические предприятия выбрасывают в окружающую среду одновременно несколько вредных компонентов и являются "комбинированными" производствами.
2. Анализ структуры энергопотребления. Как известно, структура потребления ресурсов в системе, в которой имеются комбинированные производства, зависит от используемого способа разнесения их затрат между продуктами таких производств. В то же время суммарная экономия ресурса благодаря комбинированию при заданной структуре технологий инвариантна относительно метода разнесения расхода ресурсов.
3. При выборе показателей эффективности для оценки конкурентоспособности комбинированных технологий может потребоваться раскрытие механизмов формирования соответствующих характеристик комбинированных производств (КПД, удельных расходов топлива на единицу конечных продуктов, себестоимости про-
* Каганович Б.М. - ИСЭМ СО РАН; Филиппов С.П. - ИНЭИ РАН.
изводимых энергоносителей и др.). Известно, что КПД не дает полного представления об энергетической эффективности комбинированных технологий. Так, КПД современных ТЭЦ обычно ниже КПД крупных котельных, но, несмотря на это, ТЭЦ обеспечивают снижение суммарного расхода топлива на тепло- и электроснабжение.
4. Решение оптимизационных задач, связанных с поиском наилучших вариантов схем и параметров комбинированных установок.
5. Оптимизация структуры энергетических систем, содержащих комбинированные производства.
В настоящее время общие затраты ресурсов комбинированными технологиями распределяются между производимыми продуктами с помощью следующих методов:
- весового [1], когда затраты принимаются пропорциональными выходу отдельных продуктов на единицу сырья, измеряемому в долях по массе, энергии или эксергии [2, 3], в зависимости от того, какая из величин принята за измеритель веса;
- сохранения имеющих место при раздельном производстве пропорций в затратах
[4, 5];
- отнесения экономии от комбинирования на один или несколько продуктов из всего производимого набора [6].
Позже появились подходы, развивающие или комбинирующие указанные методы [9-20]. Выбор метода обычно обосновывается неформализуемыми соображениями.
В данной статье кратко излагаются выдвинутые в [7] идеи анализа эффективности комбинирования с некоторой корректировкой формализованного описания обсуждаемой проблемы и с учетом произошедших в стране изменений экономической ситуации. Задача ставится как системная: рассматривается совокупность раздельных и комбинированных технологий с их технико-экономическими показателями. Анализ выполнен для систем, имеющих различные свойства, определяемые видом экономических характеристик технологий (затрат на их внедрение и функционирование). Соответствующие характеристики системы являются аддитивными.
Математический анализ задачи
Рассмотрим задачу сравнения комбинированных и раздельных способов производства и определения затрат на отдельные продукты в простейших экономической и математической постановках. Предположим, что требуется получить из одного и того же сырья т продуктов. Нужный объем выработки г-го продукта равняется Ъг. Для их производства могут использоваться комбинированный (/ = т + 1) или раздельные (/ = = 1, ..., т) способы. Зависимость затрат в/-ю технологию от количества перерабатываемого с ее помощью сырья х/ имеет вид
3/ = с}х*, а)
где С/ - коэффициент.
Функция З = Дх) может быть выпуклой (а > 1), линейной (а = 1) или вогнутой (0 < а < < 1). Рост а и последовательный переход с увеличением объема производства от вогнутого к линейному и затем к выпуклому характеру функции (1) для многих энергетических технологий был показан в [7].
Для принятых условий можно сформулировать задачу математического программирования (МП):
найти
шш
{ т +1 Л
3 = X СА
/ = 1
(2)
при условиях
апхх + ... + т +ixm +1 = bx
a22x2+ . + a2, m +1 xm +1 = b2
b
Xj > 0-
Сделаем важное для дальнейшего анализа предположение, что aim + 1/bi = const для всех i,
(4)
(5)
и, следовательно, потребность в продуктах может быть полностью удовлетворена с помощью комбинированной технологии без производства излишков. Условие (5) не представляется чрезмерной идеализацией задачи, искажающей ее практическую значимость. Его возможность видна хотя бы из того, что для действующего предприятия пропорциональность Ь и ат + х соблюдается автоматически (соотношения между общими объемами производства отдельных продуктов те же, что и между их выходами из единицы сырья). Следовательно, ограничение (5) основывается на органическом свойстве комбинированных технологий. Ниже показано, что именно это условие позволяет объяснить случаи многозначности цен на продукты при их комбинированном производстве.
Оптимальность решения системы (2)-(4) определяется известными условиями Ку-на-Таккера [8]:
dL(x, X) = ЭЗ(х)
Эф(х).
д x;
dL
Э x^
д x;
- X - > 0
d xj
j m
i = 1
ЭЗ(x) - Эф(x)
д x; j
i=1
д x;
xj = 0
xj > 0, j = 1,..., m +1 = (bi - Ф,(x))< 0
-^ = -i(bi - ф;(x)) = 0 Xi > 0, i = 1, ..., m,
(6)
где
m+1 m
a
1 = X СЛ + X Х>(Ьг - апХ1 - ат + 1 Хт + 1)
} = 1 I = 1
- функция Лагранжа задачи МП (2)-(4); - множитель Лагранжа, имеющий в данном случае смысл стоимостной оценки (цены) г-го продукта;
Ф;(х) = аггхг + ат +1 хт + 1-
Рассмотрим системы с различными свойствами технологий.
1. Рассмотрим ситуацию, когда функции Зj■ выпуклые (а > 1). Предположим, что комбинированное производство эффективнее раздельных и с его помощью полно-
ammxm + am, m + 1 xm + 1
m
стью обеспечиваются потребности во всех продуктах заданного ассортимента, т.е. х^ = 0 для всех ] = 1, ..., т. Тогда из (6) можно получить
а;;х; < О,
а с
а -1
х
т + 1Л т +
1 - 1Х.а;т +1 = °
(7)
(8)
Но выражения (7) и (8) несовместимы, так как значения ст + 1, а.т + 1 и аи не могут быть отрицательными или нулевыми по своему смыслу, а а и хт + 1 - по принятым условиям. Следовательно, предположение, что х^ = 0 для всех ] = 1, ..., т, ошибочно, и в системе с рассматриваемыми свойствами даже при большой сравнительной эффективности комбинированной технологии некоторую долю продукции экономически целесообразно получать раздельным способом.
Оптимальные значения х и X определяются решением системы
а сх 1 - =
а -1
аСт + 1Хт+ 1
- IX,
; = 1 1 х т
Ь; - аиХ - ат +1 Хт + 1 = 0 1 = 1.
Из (9) следует, что
л а - 1 ,
Х1 = асх Iа ц
эз
д X;
Iа.■.■,
т.
(9) (10) (11)
(12)
т.е. оценки оказываются равными приросту затрат на единицу продукта, выраба-
- 0 0 тываемого раздельным способом, в точке х; = х; , где х; - оптимальное значение
X;. Для каждого из продуктов применительно к комбинированному и раздельному способам производства согласно (9)—(11) выполняется известный в энергетике принцип равенства относительных приростов, который для нашего случая записывается в виде
ас
а -1
+ 1 хт + 1
а-1 а с;х;
= х;, ; = 1, .... т.
(13)
';т + 1
Графическая интерпретация принципа (13) для случая т = 2, ап = а22, с1 = с2 и а = 2 приведена на рис. 1. Здесь по оси ординат отложены значения величин
з
с1х11а
11
с2 х2|а22,
з
с3 х21 (а13 + а23),
где индексы "р" и "к" относятся, соответственно, к раздельной и комбинированной технологиям. Экстремальным значениям функций З и Ь соответствуют точки хг = х2 = = А и х3 = В, для которых соблюдаются равенства
tg У 1 = 18 У 2 = X0, 2 А + В = Й1 + ¿2.
т
т
3 3.
0 А
В х
Рис. 1. Графическая интерпретация решения задачи минимизации выпуклой функции
2. Теперь проанализируем линейную задачу (а = 1). Представим ситуацию, когда все х Ф 0, тогда из условий Куна-Таккера получим
с; - Х{аи = 0 для I = 1, ..., т; (14)
Ст +1- X ^'т +1 = 0' I = 1
Отсюда найдем
Ь = с
(15)
(16)
1- X от а.
I = 1а"
■ 1 = о,
(17)
т.е. условие ху Ф 0 дляу = 1, ..., т может выполняться только при строго определенных соотношениях между коэффициентами с и а, вытекающих из (17). При этом х-ру = 1, ..., т в зависимости от значения хт + : могут изменяться от нуля (при хт + : = Ь/ат + до Ъ1 /аи (при хт + ! = 0), что видно из (11). Это свидетельствует о равноэкономичности комбинированного и раздельного способов производства, которые могут участвовать в суммарном выпуске продукции в любых пропорциях. Область оптимальных значений (решение системы уравн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.