УДК 620.179.14
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТРЕХПАРАМЕТРОВОГО КОНТРОЛЯ УПРОЧНЕННОГО СЛОЯ АСИММЕТРИЧНЫМ ЭП ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ НА КВАЗИПОСТОЯННОМ ТОКЕ.
Ч. I. МОДЕЛЬ НЬ
В.А. Митрофанов, С.Г. Грязев
Рассматривается модель упрочненного изделия в виде полупространства с кусочно линейным изменением по глубине удельного сопротивления в поверхностном слое. Аналитически решается задача о распределении электрического потенциала на поверхности полупространства при точечном вводе в него тока низкой частоты. Предлагается эффективный алгоритм решения обратной задачи о нахождении параметров слоя по измеряемым на поверхности напряжениям. Исследуется возможность контроля цементованных и азотированных слоев стальных изделий преобразователем с эквидистантными потенциальными электродами.
Интерес к электропотенциальному (ЭП) методу контроля металлических изделий и, в частности, упрочненных слоев (УС) стальных деталей вызван в первую очередь прогрессом в измерительной технике, который позволяет отказаться от аналоговых приборов в пользу компьютеризованных комплексов, обеспечивающих запись, фильтрацию и инверсию полезных сигналов в параметры контроля [1]. Другая причина — желание использовать богатый арсенал методов решения обратных задач, накопленный в прикладной геофизике [2, 3]. Привлекает также локальность взаимодействия датчика и объекта контроля (ОК), достигаемая с помощью иголочных электродов.
Однако ряд факторов предъявляет довольно жесткие требования к условиям контроля качества поверхностного упрочнения изделий.
Так, применение постоянного тока сопряжено с трудностью учета контактных явлений (переходных сопротивлений и термоэдс), возникающих в измерительной цепи [4]. Дополнительные преимущества, предоставляемые произвольно изменяемой частотой переменного (гармонического) тока, трудно использовать ввиду резкого усложнения математической задачи о расчете зондирующего поля при совместном влиянии магнитных и электрических свойств материала. В методическом отношении, вообще, лучше сначала разделить влияние этих свойств, получив, в частности, надежные данные об удельном сопротивлении УС и характере его изменения с глубиной.
Для этой цели подходит переменный ток низкой частоты, при которой можно пренебречь вихретоковой составляющей электрического поля. Такой ток мы называем квазипостоянным. Условием этого является малость толщины с1 контролируемого слоя по сравнению с глубиной проникновения 8 электромагнитного поля в материал, хотя бы в соотношении й : 5 < 1 : 20. Например, в сталях с относительной магнитной проницаемостью ц = 100 и удельным сопротивлением р = 0,3 мкОм м данное соотношение удовлетворяется для слоев толщиной с1 ~ 0,4 мм при частоте возбуждения / < 16 Гц, а для слоев с ^ « 1,5 мм только при/< 1 Гц. На столь низких частотах ввиду большой длительности измерений может проявиться нестабильность электроконтактов и генератора тока [5].
Высокая проводимость сталей, небольшая толщина контролируемых слоев и соответственно малость межэлектродных расстояний вкупе с тепловыми ограничениями приводят к малости измеряемых разностей потенциалов (поверхностных напряжений). Составляя величины порядка 1 мкВ, видим, что эти напряжения сильно зашумлены, поэтому их трудно измерять аналоговыми приборами. Применение метода Синхронного на-
копления, реализованного с использованием АЦП под управлением ПК, позволяет очистить полезный сигнал от шума за приемлемое время [5].
В отличие от условий геологической электроразведки при контроле УС очень трудно осуществить произвольное изменение межэлектродных расстояний и приходится применять сравнительно небольшое число потенциальных электродов. Следствием этого является небольшое количество информативных параметров и невозможность достаточно детального восстановления профиля удельного электросопротивления по данным поверхностных измерений. Поэтому при интерпретации первичных данных измерений мы вынуждены использовать упрощенные электрические модели упрочненного изделия, задаваемые небольшим числом параметров.
ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ НЬ
Ввиду диффузионного происхождения УС их свойства изменяются по глубине непрерывно и достаточно плавно, что подтверждает анализ профилей микротвердости. При этом сам слой можно разделить на две части: с медленно и с быстро меняющейся твердостью. Предполагая корреляцию твердости с электросопротивлением, рассмотрим модель НЬ, в которой упрочненное изделие представляется полупространством, а удельное сопротивление р меняется с расстоянием г от поверхности следующим образом:
р(г) = р, при 0 <2 <с1\,
Р00= рг+-^Цр0-р,) при +с12\
(12
р(г) = р0 при с1х+ с1г<2< +оо;
где и ¿2 — соответственно толщины однородной части слоя и области линейного перехода; р0 — удельные сопротивления на поверхности и в глубине образца (см. также рис. 1).
О Ро р5
I
Рис. 1. Изменение удельного сопротивления с глубиной в модели НЬ.
Потенциал V электрического поля, возбуждаемого в проводящем полупространстве О < 2 < +оо при подводе к нему в точке О постоянного тока I (рис. 2), определяется решением краевой задачи:
сИУ
— gradV/
Р
= 0; Л*
р дг
2=0
2кг
5 (г); VI™ = О,
(1)
где 8(г) — дельта-функция Дирака; г — радиальная координата, то есть расстояние до оси симметрии, проходящей через точку О.
Производя преобразование Ханкеля нулевого порядка [6] по переменной г с параметром А., приведем задачу (1) к виду:
W-g(z)W-X2W = 0; (2)
-W\z=0 = Ips-, WM+oo=0. (3)
Здесь W(z) — ханкель-образ потенциала V(r, z), переменный коэффициент определяется формулой g(z) = fVp, точки над функциями означают дифференцирование по переменной г.
В областях с однородными свойствами, где g(z) = 0, решение уравнения (2) представляется суммой растущей и убывающей экспонент:
Ws{z) = Л ,exp(Az) + A2exp(-A.z);
W0(z) = В ,exp(Xz) + ß2ex p(-Xz), (4)
где индексы s и 0 указывают соответственно на однородную часть слоя и область, лежащую в глубине полупространства, то есть сердцевину образца.
В области линейного перехода, где g(z) = —-—, а = dl+d2 — , Не-
z-a Pi-Po
сложная замена переменных z = а - W(z) = приводит уравнение (2) к виду У - ~У — А}Y = 0, где точки означают дифференцирование по Решение этого уравнения выражается через модифицированные функции Бесселя первого и второго рода
Г© = + С&С^). (5)
Чтобы вернуться к функции W, используем формулу
W,(z) = Y(a - z), (6)
где I — индекс области линейного перехода.
Для отыскания неопределенных коэффициентов в выражениях (4), (5) помимо условий (3) при z = 0 и z = +оо следует использовать условия непрерывности потенциала V и нормальной компоненты плотности тока
1 3V . , , 0
Л =---на внутренних границах z = аь z = dr + d2. С учетом непрерыв-
р dz
ности функции p(z) вся совокупность условий применительно к ханкель-образу W(z) будет иметь вид:
ИДО) = -Ip- W0(+°c) = 0; WJidy) = ТО,); ЩШ = W,(dO-, w,(dx + d2) = W0(d, + d2y, + d2) = W0(d, + d2).
Подставив сюда выражения (4)—(6), нетрудно получить замкнутую систему линейных уравнений для искомых коэффициентов Лк, ßK, Ск, где к= 1,2.
Поскольку нас интересует только доступный измерению поверхностный потенциал У£г) = У(г, 0), достаточно найти величину Ж/О) = Л, + А2 как функцию параметра X. Она определяется выражениями:
X с + Ьехр(-2Я^,)
С = (/,2 - /<п)(*01 -Ки) + (/о, +/„)(*02 + Кпу, ъ = (/,2 - 102Ш0, + *„) + (/01 - Л .)(^02 + « (V)
= ^«т = Кп(кгт);
2, = а - 4 = _4гр£_; 22 = а _ + ¿2) =
Р,-Ро Рл-Ро
где п = 0,1, т = 1,2, а 1п, Кп — модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков. Искомый потенциал У5(г) дается обратным преобразованием Ханкеля
= — (8)
о
Полученное решение можно записать в обобщенном виде
^(г) = 1у/(г, р', с12), (9)
где = — масштабный множитель; / — характерная длина; р' = 2л /
= —. Безразмерная функция Я (приведенный потенциал) определяется Ро
следующими из (7), (8) выражениями, в которых, используя масштаб I, обычным образом можно перейти к безразмерным переменным /, с1{, (1'{, АЛ Положив I = 1 мм, мы сохраним за ними прежние обозначения г, с1ь ¿г, X. При этом, очевидно, сохранятся и численные значения данных величин.
Заметим, что в масштабном множителе У0 вместо р0 мог быть взят параметр р4, при этом выражение для приведенного потенциала отличалось бы на множитель р'. Наш выбор связан с возможностью независимого определения р0 по результатам измерений на образце с механически удаленным слоем.
Приведенный потенциал Н можно использовать для расчета напряжений на потенциальных парах иголочного ЭП преобразователя с произвольным числом токовых электродов. В простейшем асимметричном преобразователе (АП), который подготовлен нами для эксперимента, ввод тока осуществляется в зоне контроля через один электрод, а отвод тока производится через удаленный от нее контакт. Для применимости полученных формул зона контроля должна быть вне влияния остальных границ образца.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ НЬ
При известной р0 задача контроля слоя в модели НЬ — трехпарамет-ровая и потому требует измерения трех напряжений. В варианте с минимальным количеством потенциальных электродов (четыре) эти напряжения мы будем определять на опыте как
и1 = К,- - К/+1, / = 1, 2, 3,
где V, — потенциал на г-м электроде, а нумерация электродов производится в порядке возрастания их расстояний г, до точки ввода тока (рис. 2). У нашего преобразователя эти электроды эквидистантны, причем г, = = 0,5 мм, г2 = 1,5 мм, г3 = 2,5 мм, г4 = 3,5 мм.
Рис. 2. Схематическое изображение зоны контроля для асимметричного ЭП преобразователя:
1—4 — потенциальные электроды.
Таким образом, для отыскания параметров р', йх, с12 в силу (9) имеем систему нелинейных уравнений
Я(г„ р', й2) - Н(гм, р\ ¿„ ё2) = £/,/К0, / = 1, 2, 3, (10)
где расстояния г; (конструктивные параметры датчика) обезразмерены с помощью масштаба / = 1 мм с сохранением для них прежних обозначений.
Система (10) должна решаться в ограниченной области изменения параметров р', й2 (далее область Р) методами последовательных приближений, например, представленными в пакете МаШсас! 2001. Однако непосредственное применение формул (7)—(9) чрезвычайно затягивает
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.