ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 3-4, с. 218-225
ЯДРА
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ АСТРОФИЗИЧЕСКОГО S-ФАКТОРА ДЛЯ РЕАКЦИИ СИНТЕЗА а + d — 6Li + 7 В ДВУХЧАСТИЧНОЙ МОДЕЛИ
2015 г. Э. М. Турсунов1)*, С. А. Туракулов1)**, П. Дескоувемонт2)***
Поступила в редакцию 08.11.2013 г.; после доработки 20.06.2014 г.
Теоретические оценки для астрофизического S-фактора и скорости реакции d(a, y)6Li получены на основе модели двух тел с а—d-потенциалом простой гауссовой формы, правильно описывающим фазовые сдвиги в S, P и Д-волнах, а также энергию связи и асимптотический нормировочный коэффициент связанного состояния в S-волне. Волновые функции связанного и континуум каналов рассчитаны на основе алгоритма Нумерова, обладающего высокой точностью. Показана хорошая сходимость результатов для вкладов E1- и E2-компонент перехода при увеличении границы эффективных интегралов вплоть до 40 Фм. Полученные результаты для астрофизического S-фактора и скорости реакции d(a, y)6Li в интервале температуры 106 K < T < 1010 K хорошо согласуются с результатами работы A. M. Mukhamedzhanov et al., Phys. Rev. C 83, 055805 (2011), вычисленными с использованием известного асимптотического вида волновой функции при малых энергиях и со сложным двухчастичным потенциалом при более высоких энергиях.
DOI: 10.7868/S0044002715010201
1. ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что ядра 6Li образовались главным образом в результате Большого взрыва посредством реакции синтеза
а + d — 6 Li + y (1)
при малых энергиях 50 < E < 400 кэВ [1]. Этот процесс довольно подробно изучен экспериментальными группами при энергиях начиная с резонансной энергии E(3+) = 0.711 МэВ [2, 3]. Однако при низких энергиях получение информации о сечении процесса из анализа экспериментальных данных встречает непреодолимые трудности [4, 5]. В недавней работе [5] процесс развала 6Li в поле тяжелого иона 208Pb изучен с целью извлечения данных о сечении обратного процесса — реакции синтеза при астрофизических энергиях в лабораторных условиях. К сожалению, доминирование ядерного развала над кулоновским процессом не дало возможности реализовать эту идею.
'-'Институт ядерной физики АН Республики Узбекистан, пос. Улугбек, Ташкент.
2)Институт теоретической ядерной физики и математической физики, Брюссельский свободный университет, Бельгия.
E-mail: tursune@inp.uz E-mail: turakulov@inp.uz E-mail: pdesc@ulb.ac.be
С теоретической точки зрения реакция синтеза ядра 6Li была изучена в макроскопических и микроскопических потенциальных моделях [2, 6—9], а также в "ab initio" расчетах [10]. В недавней работе [11] строго аргументировано, что двухчастичная модель процесса синтеза 2Н(а, 7)6Li должна основываться на а—d-потенциалах, описывающих фазовые сдвиги в парциальных волнах и воспроизводящих дополнительно в S-волне одновременно энергию связи Еь = 1.474 МэВ и асимптотический нормировочный коэффициент (АНК) связанного состояния а + d. В работе [12] показано, что АНК может быть извлечен из анализа экспериментальных данных по упругому а + d-рассеянию, и было установлено его значение с небольшой погрешностью: Cad = 2.30 ± 0.12 Фм-1/2. В итоге, в указанной выше работе [11] теоретические оценки астрофизического S-фактора и соответствующей скорости реакции синтеза 2Н(а, 7)6Li при низких энергиях Е < 300 кэВ были получены с использованием асимптотического вида волновой функции связанного состояния а + d-системы: CadW-Tji1/2(2kadr)/r. При более высоких энергиях внутренняя структура волновой функции играет существенную роль, и поэтому расчеты проводились с потенциалом довольно сложного вида, фазово-эквивалентным исходному потенциалу Вудса— Саксона из работы [5], воспроизводящим энергию связи и АНК системы а + d с Cad = 2.28 Фм-1/2.
При этом исходный потенциал дает значение АНК на 0.42 Фм-1/2 больше. Фазово-эквивалентный потенциал строился с помощью сложных инте-гродифференциальных преобразований. Поскольку астрофизический S-фактор пропорционален квадрату АНК, то его значение уменьшилось примерно на 40% по сравнению с исходным значением, полученным с потенциалом Вудса— Саксона. Здесь возникает вопрос: возможно ли воспроизведение результатов работы [11] на основе простого локального а—d-потенциала, правильно описывающего фазовые сдвиги в парциальных волнах и свойства связанного состояния, т.е. энергию связи и АНК?
Вместе с тем в работе [13] для оценки астрофизического S-фактора реакции синтеза были применены центральные ядерные потенциалы гауссовой формы с кулоновским взаимодействием, содержащие паули-запрещенные состояния в парциальных S- и P-волнах, и получено значение S = 1.67 эВ мбн в области энергии 5—10 кэВ. Заметим, что оценка АНК для гауссового потенциала Cad = 2.53 Фм-1/2 превышает соответствующую оценку из [11] на 0.25 Фм-1/2. Гауссовы потенциалы при этом воспроизводят фазовые сдвиги упругого а + d-рассеяния в S, P, D-волнах вплоть до энергии E = 9 МэВ и энергию связи ядра 6Li. Важно заметить, что для вычисления волновых функций связанного состояния а + d-системы было использовано разложение из 10 гауссоид, которое описывает асимптотику не лучшим образом даже на расстояниях 10—15 Фм. Поэтому авторы [ 13], так же как и авторы работы [11], для расчета характеристик реакции синтеза на больших расстояниях применяли известный асимптотический вид волновой функции вместо решения уравнения Шредингера.
Целью настоящей работы является детальный теоретический анализ астрофизического S-фактора и соответствующей скорости реакции в модели двух тел на основе а—d-потенциалов простой гауссовой формы, правильно описывающих фазовые сдвиги в парциальных волнах 3S1, 3P0, 3Рь 3P2, 3D1, 3D2, 3D3, а также энергию связи и АНК связанного состояния в S-волне. В настоящей работе мы будем основываться на а—d-потенциалах из работы [14], но для расчета волновой функции используем алгоритм Нумерова, погрешность которого имеет порядок O(h6) [15]. Такая высокая точность позволяет получить волновые функции, которые прекрасно согласуются с известной асимптотикой в каждой парциальной волне. Далее мы покажем, что потенциал в S-волне можно модифицировать так, чтобы он правильно воспроизводил АНК, при этом энергия связи ядра
воспроизводилась бы, как и раньше, а описание фазовых сдвигов лучше согласовывалось с более новыми данными [16], чем со старыми [17, 18]. В разд. 2 мы даем используемую модель, а в разд. 3 приведем численные результаты, и, наконец, выводы будут даны в Заключении.
2. МОДЕЛЬ
2.1. Волновые функции
Волновые функции начального состояния а + + ^-рассеяния в парциальных волнах 3Ро, 3Р1, 3Р2, 33^2, 3Б3 и конечного связанного 3Б^ состояния находятся путем решения радиального
уравнения Шредингера для двух тел
2ц \dr2
l(l + 1)
+ V Jls(r)
ф(г)= (2)
= Еф(г),
здесь VJls(r) — двухчастичный потенциал а + d-системы в парциальной волне с орбитальным моментом l, спином s и полным моментом J. Для решения уравнения мы используем высокоэффективный алгоритм Нумерова. Как мы увидим ниже, получаемые волновые функции обладают высокой точностью, что необходимо при их применении к расчетам характеристик реакции астрофизического захвата 2И(а, y)6Li.
Радиальная волновая функция рассеяния ue(r) нормируется с помощью асимптотического соотношения
ue(r) ^ cos Si(E)Fi(kr) +sin5i(E)Gi(kr), (3)
где k — волновое число относительного движения; Fi и Gi — кулоновские функции и Si(E) есть фазовый сдвиг в парциальной волне.
2.2. Сечение процесса захвата и астрофизический Б-фактор
Дифференциальное сечение процесса синтеза 2И(а, 7)6и в модели двух тел выражается как [19]
a(E ) = £ ajf x(E), Jf a
J x(E ) =
(4)
8тте hvq2
Zi
E
Ji.S.li
èi
A
a
+ Z2
-¿1 A
C2(Sjf) x
(fc7)2A+1 (A + 1)(2A + 1) [(2A + 1)!!]2 A
2
r
2
a
x
X
х
(2^ + 1)(2г/ + 1)(27/ + 1)
(251 + 1)(252 + 1)
х (2^ + 1)
^ 1г
I/ J
5 / Л
I/ X 1г 0 0 0,
„X
иг (г )г х и/ (г )в,г
где иг и и/ — волновые функции начального (рассеяние) и конечного (связанное) состояний; к1 — квантовое число фотона; 1гг, I/— орбитальный и полный моменты начального и конечного состояний соответственно; X — мультипольность электрического (Е) перехода; 51, 52 — спины кластеров; А = А1 + А2, А1, А2, ¿1, — экспериментальные массы и заряды кластеров во входном канале. Как было показано в работе [11], при использовании двухчастичных потенциалов, корректно описывающих фазовые сдвиги рассеяния в парциальных волнах, величина спектроскопического фактора С2 (SJf) = 1.
Астрофизический 5-фактор процесса выражается через сечение как [20]
5(Е) = Еа(Е) ехр(2пп), (5)
где п — кулоновский параметр.
Скорость реакции Жа(ау) оценивается с помощью известного выражения [19, 20]
(8/п)1/2 ^
= МА-
X
^1/2 (кв Т )3/2
СЮ
J а(Е)Е ехр(-Е/квТ^Е,
где кв — постоянная Больцмана; Т — температура; = 6.0221 х 1023 моль-1 — число Авогадро. Когда квТ выражается в единицах МэВ, удобно ввести переменную Т9 для температуры в единицах 109 К с помощью квТ = Т9/11.605 МэВ, которая варьируется в интервале 0.001 < Т9 < 10.
После подстановки указанных величин интеграл запишем в следующем виде:
Жа(ау) = 3.7313 х 1010А-1/2Т9-3/2 х
оо
х J а(Е)Е ехр(-11.605Е/Т9)аЕ.
0
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Для решения уравнения Шредингера во входном и выходном каналах были использованы двухчастичные центральные а—¿-потенциалы гауссовой формы с соответствующим кулоновским
5/, град
160
120
80
40
[16]
[17]
[18]
(6)
(7)
2 4 6 8 10 12
Е, МэВ
Рис. 1. Фазовые сдвиги упругого а + ^-рассеяния в 5-волне, воспроизведенные с потенциалами У в и Ум, в сравнении с экспериментальными данными из работ [16-18].
взаимодействием из работы [13] с К2/2т^ = = 20.7343 МэВ Фм2. Экспериментальные значения масс выбраны такими же, как в указанной работе [13]: А1 = 2.013 553 212 724 а.е.м. и А2 = = 4.001 506 179 127 а.е.м.
Потенциалы в парциальных волнах 351, 3Р0,
3Р1, 3Р2 содержат дополнительные микроскопически обоснованные паули-запрещенные состояния, а в 3Б1, 3Б2, 3Б3-каналах таких состояний не существует. Как было отмечено выше, численное
решение уравнения Шредингера получено с ис-
пользованием алгоритма Нумерова на основе метода Ньютона—Рапсона. Шаг решетки фи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.