ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия А, 2007, том 49, № 7, с. 1279-1286
ТЕОРИЯ, МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 541.64:537.3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ РОУЗА-ФАУЛЕРА-ВАЙСБЕРГА. БИПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ1
© 2007 г. А. П. Тштнев*, Р. Ш. Ихсанов**, В. С. Саенко*, Е. Д. Пожидаев*
*Московский государственный институт электроники и математики 109028 Москва, Трехсвятительский пер., 3/12 **Федеральное государственное унитарное предприятие "Научно-исследовательский институт приборов" 140080Лыткарино Московской обл., промзона Тураево, стр. 8 Поступила в редакцию 09.08.2006 г.
Принята в печать 11.01.2007 г.
Приведены результаты численных расчетов кинетики радиационной электропроводности (кривых переходного тока) для модельного полимера согласно теории Роуза-Фаулера-Вайсберга при биполярном транспорте носителей заряда (времена облучения 104-106 с). В отличие от случая монополярного транспорта вид кривых переходного тока заметно изменяется в области времен, превышающих момент достижения максимума тока. Стационарное значение по-прежнему достигается, но его увеличение по сравнению со случаем монополярной проводимости непропорционально велико относительно малого параметра %, характеризующего относительный вклад в ток неосновных носителей заряда. Учет образования радиационных ловушек в процессе облучения несколько смягчает этот эффект, однако расхождение выводов теории для двух типов проводимости резко возрастает при оценке времен восстановления полимера после предварительного облучения.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время модель радиационной электропроводности полимеров Роуза-Фаулера-Вайсберга, основанная на квазизонной теории неупорядоченных твердых тел, широко используется при обработке и интерпретации экспериментальных данных, а также для прогнозирования обратимых изменений электрофизических свойств полимерных диэлектриков в полях ионизирующих излучений [1-3]. В последнее время физический смысл основных параметров модели претерпел существенные изменения [4-6], однако ее математический аппарат остался неизменным.
В нашей предыдущей работе [7] подробно рассмотрены такие вопросы радиационной электропроводности полимеров при длительном об-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 0503-32312).
E-mail: aptyutnev@yandex.ru (Тютнев Андрей Павлович).
лучении, как ее немонотонная кинетика, значительное отличие кривых переходного тока при исходном и повторном облучении, дозовые эффекты. Как известно, в модели Роуза-Фаулера-Вайсберга полностью пренебрегается подвижностью носителей заряда одного знака, так что она рассматривает случай монополярной проводимости.
К настоящему времени накоплено немало экспериментальных данных, указывающих на то, что подвижность неосновных носителей заряда в большинстве полимеров хотя и мала, но не настолько, чтобы ей можно было пренебречь, а в ПЭВД, например, подвижности электронов и дырок близки [8].
Естественно, что учет биполярности резко усложняет модель и ее аналитическое рассмотрение. Единственная известная авторам работа [9] относится к стационарному состоянию модели, в которой параметры электронов и дырок идентичны. Поэтому в данной работе для анализа би-
полярной модели Роуза-Фаулера-Вайсберга (в дальнейшем биполярной модели) используется, как правило, численное моделирование.
ТЕОРИЯ
Классический вариант модели
Система уравнений биполярной модели Роуза-Фаулера-Вайсберга в ее классическом представлении, не учитывающем образования радиационных ловушек в процессе облучения, имеет следующий вид:
+ ^ +
d-N = go- krNo J pdE - k 'rN'o J p dE - ^N0 N0
0 0
ddp = kcN0(M- p) - pv0exp- KKp < , (1)
|p = k'cN0(M- p') - p'v0exp(-E) - k^p'
N = N0 + J pdE = N0 + Jp'dE
0 0
По определению, радиационная электропроводность
Y r( t) = e [Ц0 N0 (t) + ^0 N0 (t)] (2)
Здесь N0(t) - концентрация основных носителей заряда (в дальнейшем электронов) в проводящем состоянии (в зоне переноса) с микроскопической подвижностью ц0; N(t) - полная концентрация электронов, включая и те, что захвачены на ловушки; g0 - скорость объемной генерации носителей заряда; kr - коэффициент объемной рекомбинации квазисвободных электронов с захваченными дырками; kc - константа скорости захвата квазисвободных электронов на электронные ловушки; M0 - суммарная концентрация электронных ловушек, экспоненциально распределенных по энергии (E > 0 и отсчитывается вниз от дна зоны переноса); p(E, t) - энергетическая плотность распределения захваченных электронов; v0 - эффективный частотный фактор термического
освобождения захваченных электронов из ловушек; E1 - параметр экспоненциального распределения ловушек по энергии. Дисперсионный параметр а = kT/Ej, где k - постоянная Больцма-на. Соответствующие параметры для дырок обозначены штрихами.
Из условия электронейтральности полимера следует, что N = N, и по этой причине N формально не фигурирует в системе (1).
Первое уравнение в системе (1) описывает изменение полной концентрации электронов в результате их генерации ионизирующим излучением (первое слагаемое справа) и последующей убыли вследствие бимолекулярной рекомбинации (второе слагаемое справа описывает скорость убыли квазисвободных электронов путем их рекомбинации с захваченными дырками, а третье - скорость убыли захваченных электронов при их рекомбинации с квазисвободными дырками). Считается, что после рекомбинации захваченного электрона с дыркой электронная ловушка оказывается свободной и способной к захвату квазисвободного электрона. Последнее слагаемое отвечает рекомбинации электронов и дырок
в квазисвободном состоянии, причем k2 = kr + kr. Для дырок соответствующее уравнение полностью аналогично приведенному выше.
Два последующих уравнения системы, известные также как уравнения многократного захвата, описывают стохастические процессы захвата квазисвободных электронов и дырок на ловушки своего класса, последующего их термического освобождения и рекомбинации захваченных носителей заряда с квазисвободными противоположного знака.
Последнее уравнение системы (1) показывает, что полные концентрации электронов и дырок равны и представлены двумя фракциями носителей заряда: подвижных и захваченных на ловушки.
Методика численного решения системы уравнений (1) описана нами ранее [7]. Для проведении расчетов выбраны следующие значения параметров основных носителей заряда, близкие к тако-
вым для ПС [10]: а = 0.3, |0 = 10-5 м2/В с, кг = 7 х х 10-14 м3/с, кс = 3.3 х 10-15 м3/с, т0 = 3 х 10-11 с (М0 = = 1025 м-3), v0 = 2 х 107 с-1. Кроме того, принято, что при мощности дозы Я0 = 100 Гр/с скорость объемной генерации носителей заряда g0 = 1 х х 1022 м-3 с-1 (что приблизительно соответствует радиационно-химическому выходу свободных зарядов 1.6 на 100 эВ поглощенной энергии в ПС в электрическом поле 4 х 107 В/м и комнатной температуре).
Рассмотрение полученных результатов для биполярной модели целесообразно начать со случая равенства всех параметров модели для электронов и дырок (так называемая симметричная модель). На рис. 1 представлены рассчитанные кривые переходного тока для нескольких значений дисперсионного параметра а. Для удобства сравнения приведены также кривые для монополярной проводимости (дырки не принимают участия в переносе электрического тока).
Как и следовало ожидать, при временах облучения, по крайней мере на порядок меньших времени достижения максимума, имеет место простое удвоение тока монополярной проводимости. Это объясняется тем, что в соответствующем временном интервале вклады носителей заряда аддитивны, и в силу симметричности модели ток удваивается. Значения кривых в максимуме (угт) также отличаются в ~2 раза. Примечательно, что времена достижения максимума т для обеих сравниваемых моделей практически совпадают у всех расчетных кривых. Однако самое интересное наблюдение касается хода кривых при I > 1т.
Если при монополярной проводимости спад кривых в логарифмических координатах ^ уг -
I ярко выражен, а выход на стационарное значение сильно затянут, то в биполярном случае подобный спад едва заметен, причем время достижения квазистационарного значения резко сокращается. Оба эффекта тем сильнее выражены, чем меньше дисперсионный параметр (ср. кривые 1 и 2 с кривыми 5 и 6).
Причины подобного поведения кривых переходного тока легко понять, если рассмотреть ста-
уг, Ом 1 м 10-9
10
10
10
10
11
12
6
10-
101
103
105 Время, с
Рис. 1. Изменение во времени радиационной электропроводности модельного полимера при непрерывном облучении. 1, 3, 5 - симметричная модель, 2, 4, 6 - классическая модель. Дисперсионный параметр равен 0.5 (1,2), 0.3 (3, 4) и 0.1 (5, 6).
ционарное состояние облучаемого полимера. Полная концентрация электронов определяется в первую очередь электронами, захваченными на ловушки, энергетическое распределение концентрации которых описывается выражением
Р (Е) =
М (Е)
в +
КЖ
ехрI-кТ
(3)
где в = 1.0 (монополярная проводимость) и к \
1 + 7-4 > 1.0 (симметричная модель). Видно, что
кс)
если при Е > кТ (очень глубокие ловушки) они в первом случае заполнены полностью р (Е) ~ ~ М(Е), то во втором степень их заполнения очень мала р (Е) ® в-1М(Е) < М(Е) и при кг/кс = 100 она составляет ~0.01. Это обстоятельство приводит к резкому сокращению времени установления квазиравновесия и увеличению стационарной радиационной электропроводности при биполярном симметричном транспорте носителей заряда в 21 - А(1 + кг /кс)А(1 - а) раза по сравнению со случаем монополярной проводимости [7, 9] (здесь А = (1 + а)-1).
1
Время, с
Рис. 2. Изменение во времени радиационной электропроводности модельного полимера при непрерывном облучении. Биполярная проводимость при X =1 (1), 10-1 (2), 10-2 (3), 10-3 (4), 10-4 (5), 10-6 (6) и 0 (7) - монополярная проводимость. Дисперсионный параметр 0.1 (д0 = 3.7 х х 1021 м-3 с-1).
Отметим также, что характерный для монополярного транспорта участок спада переходного тока после прохождения максимума по степенному закону у ^ Г*1 - а)/2 заменяется более мягким и существенно менее протяженным. Фактически подобный спад прослеживается
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.