ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2004, том 23, № 11, с. 66-72
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
УДК 541.64:539.199:537.3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕРАВНОВЕСНОГО ПЕРЕНОСА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В РАМКАХ МОДЕЛИ МНОГОКРАТНОГО ЗАХВАТА
© 2004 г. В. Р. Никитенко*, А. П. Тштнев**, В. С. Саенко**, Е. Д. Пожидаев**
*Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет) **Московский государственный институт электроники и математики Поступила в редакцию 12.04.2004
Проведен теоретический анализ неравновесного переноса (транспорта) носителей заряда в неупорядоченных материалах, более точный по сравнению с традиционно применяемым приближением сильно неравновесного транспорта, для расчета переходных токов в условиях времяпролетного эксперимента для случая, когда дисперсионный параметр достаточно велик (0.5-1.0). Показано, что форма сигнала в этом случае значительно отличается от той, которая считается характерной для случая экспоненциального распределения ловушек по энергии.
1. ВВЕДЕНИЕ
Широкое применение для теоретического анализа неравновесного переноса (транспорта) носителей заряда в неупорядоченных полимерах получила модель Роуза-Фаулера-Вайсберга (РФВ) [1], известная также как модель многократного захвата [2]. Система уравнений модели РФВ применительно к постановке времяпролетного эксперимента в режиме малого сигнала записывается следующим образом:
др(х, г, Е)/дг = g(Е)(х, г)/ТоИ0--у0ехр(-Е/кТ)р(х, г, Е),
N(х, г) = И0(х, г) +1йЕр(х, г, Е),
(1)
(2)
где |0 - подвижность квазисвободных электронов, Е0 - напряженность внешнего электрического поля, которая в наших условиях является однородной и постоянной. Начальные условия отвечают случаю времяпролетного эксперимента, т.е. импульсной приэлектродной генерации носителей заряда
N(х, 0) = Nо(х, 0) = ао5(х),
(4)
где а0 - поверхностная плотность генерированных электронов.
Переходный ток в диэлектрическом слое толщиной Ь может быть вычислен либо как производная по времени дипольного момента, либо как усредненная по объему образца плотность тока проводимости квазисвободных носителей заряда [2, 3]:
где g(E) и р(х, г, Е) - плотности энергетического распределения ловушек и захваченных носителей заряда (в дальнейшем, электронов), х - координата, г - время после импульсной генерации, N0(x, г) и ^х, г) - соответственно плотность электронов в квазисвободных состояниях и их полная плотность, М0 - полная плотность ловушек, \"0 - частотный фактор, Т0 - время жизни электронов в квазисвободном состоянии, Т - температура, к -постоянная Больцмана.
В рассматриваемом случае пространственно-неоднородного распределения носителей заряда систему уравнений (1) и (2) следует дополнить уравнением непрерывности, которое в пренебрежении диффузией имеет вид
дN(х, г)/дг + |0^0дN0(х, г)/дх = 0,
(3)
](г) = -(еа0/Ь)(д/дг)|йх(Ь - х)N(х, г) =
0 Ь
(5)
= (в0010р0/Ь)|dxNо(х, г).
Уравнения (1)-(5) образуют полную систему, решение которой позволяет выполнить теоретический анализ транспорта. Однако получить точное аналитическое решение этой системы на всем временном интервале не удается, а численное решение представляет собой значительную сложность, что сильно затрудняет анализ зависимости переходного тока от параметров задачи, а также решение математически более сложных задач с участием неравновесной радиационной электропроводности, например, задачу о токе поляриза-
0
Ь
0
ции геминальных пар [4, 5] . Поэтому актуальным является поиск более простых приближенных решений рассматриваемой задачи.
Наиболее общее из приближенных аналитических решений было получено в работах Архипова и Руденко [2, 3]. Данный подход основан на разделении ловушек на глубокие, с которых к данному моменту времени t носитель, захваченный ранее, еще не успел освободиться, и мелкие, для которых к данному моменту времени уже успела установиться квазиравновесная заселенность ловушек. Таким образом, в случае мелких ловушек в уравнении (1) можно полагать dp/dt ~ 0, а в случае глубоких - пренебречь вторым слагаемым в правой части, которое описывает освобождение носителей. В простейшем варианте теории, известном как приближение сильно неравновесного транспорта (CHT), пренебрегается вкладом мелких ловушек в полную плотность носителей заряда, что справедливо на начальном интервале времени. В этом приближении получено следующее замечательно простое аналитическое выражение [2, 3]:
j (t) / jo = [ d x( t)/dt] {1-exp { -L/l (t )}x x[ 1 + L /1 (t)]},
(6)
где j0 = ea0|0F0/L и l(t) = |0F0T(t). Единственной характеристикой энергетического распределения ловушек данного материала в приближении CHT является функция x(t), которая представляет собой переменное время жизни квазисвободных электронов до захвата на глубокие ловушки [2, 3].
Математическая простота приближения CHT обусловила его широкое применение для теоретического анализа дисперсионного транспорта в неупорядоченных материалах [1, 6, 7]. Однако, как будет показано ниже, с повышением температуры точность этого приближения заметно ухудшается даже в случае малых времен. Точность приближения можно повысить, учитывая вклад мелких ловушек в полную плотность носителей заряда, а также слабую неравновесность заселенности мелких ловушек. Полная плотность носителей заряда в данном приближении, которое будем называть приближением неравновесного транспорта (НТ), находится из решения уравнения
ЭN(x, t)/dt + |(t)FoЭN(x, t)/Эx -- Df(t)d2N(x, t)/Эx2 = -A,(t)[N(x, t) - N(x, 0)],
(7)
сию, создаваемую обычной диффузией [2, 3, 5] (последней в уравнении (7) пренебрегается). Уравнение (7) с начальным условием (4) имеет аналитическое решение, которое после подстановки в уравнение (5) позволяет вычислить переходный ток [5]. Однако эти решения здесь не приведены ввиду их громоздкости. Выражение для переходного тока существенно упрощается, если пренебречь в уравнении (7) полевой диффузией [2, 3]:
j(t)/jo = 0(t) - t)Jdt'0(t')exp{-Л(t, t')},
0
t < tL,
j(t)/jo = 0(t)[ 1 - exp{-Л(t, to(t))}] -
t
-Ä,(t) J dt'0(t')exp{-Л(t, t')}, t > tL,
to (t)
(8)
(9)
где
Л^, t) Jdx^(x), 0(t) = |(t)/|0, X(t) = 0(t)/x(t),
t
а времена t0(t) и tL определяются из уравнений
t tL
F
| dt'|(Г) = L, йгщГ) = L. (10)
Ш 0
Асимптотические зависимости переходного тока при малых и больших временах в СНТ-прибли-жении имеют следующий вид:
j(t)/j0 = dx(t)/dt, t < tF
2,-1,
j(t)/jo = -(1/2)(L/|oToFo) dX (t)/dt,
t > tF,
(11)
(12)
в котором слагаемое в правой части описывает застревание" электронов на ловушках, |(£) и О^) -зависящие от времени эффективная подвижность и коэффициент полевой диффузии. Полевая диффузия создает дисперсию, которая пропорциональна (ОР гс ^0) и при обычных для времяпро-летного эксперимента значениях напряженности поля и температуры намного превышает диспер-
где гР - время пролета, формально получаемое пересечением асимптотик (11) и (12). Используя уравнение (9), нетрудно показать, что асимптотическая зависимость (12) верна также и в более общем НТ-приближении. Это не должно вызывать удивления, так как при больших временах ток независимо от сделанных приближений определяется быстротой опустошения немногочисленных ловушек, оставшихся глубокими (вероятность перезахвата на более глубокую ловушку пренебрежимо мала), в чем и состоит физический смысл уравнения (12).
Рассмотрим теперь экспоненциальное распределение ловушек по энергии с характерной глубиной Еъ получившее широкое распространение при анализе радиационной электропроводности полимеров [1, 2, 6, 7]:
и
g (E) = (M 0/Ex) exp (- El Ex). Согласно [8], имеем
НИКИТЕНКО и др. (13)
т(t) = To(Vot)аа 1 Y(a,Vot) \
(14)
где
Y(a, x) = I exp (- x) xa 1
dx
- неполная гамма-функция и а = кТ/Е1. В данной работе рассматривается случай а < 1. Уравнение (14) значительно упрощается в области времен х0г > 1, имеющих наибольшее практическое значение:
т( t ) = To (Vo t )а/Г( 1 + а).
(15)
j ljo = аГ( 1- а)-1Г( 1 + а)-2 (Vo t )а -1,
vo t < t
F>
j/jo = (1/2)( L/^o To Fo )2 аГ( 1 + a)(v o t)-а-1,
t > tF,
где время пролета
tF = vo1{[r( 1 + а) 3/2Г( 1- а)1/2/Т2 ]х
х( L/ МЛ Fo)}
1/а
(16)
(17)
(18)
2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Для временных зависимостей, которые определяют кинетику переходного тока в НТ-прибли-жении, наряду с т(г) получены следующие выражения:
0( t) = [(1- а) / а]х
1 - а -1
x{(vot) у(а, Vot) - [ 1 - exp(-Vot)]} ,
Df (t) = Vo(Mo To Fo )2 x x {[а/(2- а) - аГ(а-2, 1)] x x (1-а)3/Г( 1 + а)3 }(V o t )2а-1,
где
Г( 1+ а, x) = Г( 1 + а) - y( 1 + а, x). В предельном случае V0t > 1
(19)
(20)
0( t) = [(1- а) / Г( 1+ а)](Vot)
-1 + а
(21)
Уравнения (6) и (15) приводят в СНТ-прибли-жении к известной степенной зависимости спада тока от времени для времен, малых по сравнению со временем пролета:
Л(г)/]0 = аКг)-1 + а/Г( 1 + а), V-1 ^ г < гР. (22)
Подстановка приближенных зависимостей (15) и (21) в уравнения (8)-(10) дает в бездиффузионном НТ-приближении следующие зависимости переходного тока от времени:
ja( t) / jo = а( 1- а)(Vot )а -1/Г( 1 + а),
Vn1 ^ t < t
L>
jV( t)/jo = L( 1- а)^ o t )а-1/Г( 1 + а^ x
Здесь r(x) - гамма-функция. В дальнейшем при сопоставлении точности приближений СНТ и НТ использованы точные асимптотические зависимости переходного тока [2]:
x { 1- [t/to(t)]
-(1- а)
(23)
(24)
- (1- а)[ 1- to (t)/t ]}, t > tL,
(25)
^ - , а а ^ 1/а
to (t) = (^ - tа)
tL = V-1 [(L/MoTo Fo )аГ( 1 + а) / (1 - а)]1/а. (26)
Следует заметить, что рассмотрение случая V0t < 1 не является актуальным в случае неорганических
полупроводников, когда V-1 < T0 < 10-11 с. Ситуация меняется в случае V0T0 < 1.0, что характерно для полимеров [1, 6, 7]. В пределе малых времен (V0t ^ 1) выражение (14) в отличие от (15) приводит к физически разумному значению T(t) ~ т0.
Как видно из уравнений (22) и (23), оба подхода приводят к одинаковой (степенной) зависимости убывания тока со временем, хорошо известной из эксперимента [1, 6]. Однако коэффициент при этой зависимости в НТ-приближении содержит в отличие от СНТ-приближения дополнительный множитель (1 - а). Для того чтобы сделать вывод о сравнительной точности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.