ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 444, № 6, с. 666-670
= ГЕОГРАФИЯ
УДК 556.16"45":551.524.3
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ РЯДОВ МНОГОЛЕТНЕГО СТОКА ОТ КЛИМАТИЧЕСКОЙ НОРМЫ ПРИЗЕМНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА © 2012 г. В. В. Коваленко
Представлено академиком В.М. Котляковым 12.03.2012 г. Поступило 20.02.2012 г.
Из уравнения годового водного баланса речного бассейна X = Q + Е ± А и (здесь О — речной сток, X — осадки, Е — испарение, А и — изменение запасов воды в почвогрунтах) следует, что статистическим описанием реакции бассейна на внешнее воздействие (ресурс X) является трехмерная плотность вероятности р(О, Е, ДЦ). В силу ряда причин (практическая необходимость знания только статистически обеспеченных расходов и отсутствие сети наблюдений за испарением и запасами воды в почвогрунтах) используются только одномерные проекции р(О), что официально зафиксировано в нормативных документах [6]. Это приводит к проблемам, связанным с неустойчивостью моментов одномерных вероятностных распределений из-за наличия мультипликативных шумов в стохастической модели формирования многолетнего стока (уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова — ФПК), которыми моделируется влияние не учитываемых (явным образом) фазовых переменных Еи ДЦ. Визуально это проявляется в появлении полимодальности распределений р(О) или наличии у них тяжелых ("толстых") хвостов [1, 5].
Для борьбы с этой неустойчивостью была разработана методология [1], основанная на разгрузке мультипликативной составляющей шумов за счет увеличения размерности фазового пространства, в котором моделируется процесс формирования стока. Под разгрузкой мультипликативных шумов понимается введение в модель источников этих шумов и придание источникам статуса полноценных фазовых переменных наряду с расходом (даже если они сами по себе и не интересуют проектировщиков, обеспечивающих гидрологическую надежность проектируемых гидротехнических сооружений). Поскольку неустойчивость моментов (например, связанную со вторым мо-
Российский государственный гидрометеорологический университет, Санкт-Петербург
ментом, а значит, дисперсией, отвечающей за экстремальные значения стока) порождают именно шумы, которые теперь исчезли, то исчезает и проблема неустойчивости. Остается открытым только вопрос о числе этих источников, которые надо учесть. На него отвечает фрактальная диагностика. Выполнение фрактального диагностирования (использовалась корреляционная размерность, которая по теореме Такенса [7] восстанавливается по измерениям лишь одной фазовой переменной) 756 рядов годового стока позволило установить (см. [2]) ранее неизвестную закономерность параболической зависимости фрактальной размерности % от климатической нормы приземной температуры воздуха Т (как показателя комплекса природных условий):
% = 0.0002Т3 - 0.0071 Т2 + 0.0523Т + 1.548;
коэффициент достоверности аппроксимации Я2 = 0.79 для диапазона температур от —5 до 27°С. Оказалось, что в диапазоне примерно 2—7°С (более точно 1.6—7°С) для трети речных бассейнов в процессе формирования стока статистически значимо участвуют все три фазовые переменные (на рис. 1 представлено географическое положение этой полосы). Это связано с тем, что на севере активно участвующий в процессах водообмена значительный слой почвогрунтов из-за наличия вечной мерзлоты практически отсутствует, а на юге из-за сильного испарения и большой глубины залегания грунтовых вод он, скорее, играет роль поглотителя влаги, чем участника процесса водообмена.
Это не означает, что при других температурах не могут встречаться фрактальные размерности больше двух, но в данном диапазоне их значительно больше (в среднем 31%). Также это не означает, что почвогрунты вне пределов этой температурной полосы не участвуют в формировании стока. Просто их влияние в рамках существующей точности методики фрактального диагностирования не обнаруживается.
Рис. 1. Наиболее вероятные регионы (заштрихованы), в которых фрактальная размерность рядов стока может превышать 2.
Выявление подобной закономерности поднимает, по крайней мере, два вопроса:
о модели формирования стока, которая приводит к трехмерному распределению Е, Ди);
о феноменологическом проявлении особенностей явления, сущность которого отражает выявленная закономерность.
Цель работы заключается в ответе на эти два вопроса. Для ее достижения надо: получить модель формирования стока, которая бы отражала эволюцию распределенияр(б, Е, Ди), визуализировать подобное решение и убедиться, что в полосе 1.6—7°С оно составляет не менее 30% от общего числа эмпирических распределений и что эта цифра больше, чем в других интервалах температур (меньше 1.6°С и больше 7°С).
Для теоретического обоснования обсуждаемой закономерности (выявления ее сущности) необходимо получить модель формирования многолетнего речного стока, которая, во-первых, в качестве решения давала бы эволюцию распределения p(Q, E, AU), а во-вторых, при игнорировании существенной самостоятельной роли испарения и влагозапасов в почвогрунтах в процессе формирования стока редуцировалась бы в модель для одномерного распределения p(Q), которая для стационарных случайных процессов (в настоящее время нормативная гидрология представляет речной сток именно таким образом) переходила бы в уравнение Пирсона. Это уравнение дает семейство решений, среди которых и рекомендуемые СП 33-101-2003 кривые Пирсона III типа, и их модификация с фиксированной левой границей
О
Аи
Рис. 2. Аттрактор системы (1)—(3).
Р(О = 0) = 0, предложенная С.Н. Крицким и М.Ф. Менкелем [3]. Фактически необходимо получить трехмерное уравнение ФПК.
В качестве динамического ядра подобной модели можно использовать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
№ йг
йЕ йг
X Q+Е+Аи
х_
Q + Е + Аи
Q;
Е;
(1)
(2)
— = —(Х - Q - Е - с8%п(Х - Q - Е)),
Хди
где О, Е и Ди — скользящие среднегодовые значения; Жд, ЖЕ — емкости стоковой и испарительной сред; 8§ш(Х - Q - Е) — знаковая функция; с — скорость накопления влаги в почвогрунтах; тАи — время релаксации почвогрунтов.
Аттрактор системы (1)—(3) представлен на рис. 2. Он имеет хаусдорфову размерность между 2 и 3 (т. е. дробную, фрактальную) и представляет собой объект, который "недоосвоил" третью координату. Появление именно подобных решений следует ожидать с вероятностью 31% в пределах 1.6—7°С на рис. 1.
Стохастическое обобщение системы (1)—(3) можно выполнить путем введения в правые части уравнений аддитивного белого шума с интенсивностью О у:
3
др¥) = -! О^ [ г) Р(х, г)] +
д г , ОХ:
1=1
+
О2
э
-1
2 дх:дх
\Бц( X, г) Р( X, г)],
(4)
где х = ^, Е, А и), коэффициенты диффузии
Бй = О е,
БЕ = О Г Е ,
Бди = О.
У ди'
а коэффициенты сноса Лд, АЕ и ЛАи определяются правыми частями уравнений (1)—(3).
Базовая модель инженерной гидрологии в виде уравнения Пирсона получается как частный случай уравнения ФПК для р(О). Последнее же есть частный случай уравнения (4), если формирование расхода описывается стохастическим уравнением в виде линейного формирующего фильтра:
dQ = [-(М[с] + ¿)0, + М[Щ + №]йг,
(5)
(здесь
(3) где с = — = М[с] + с'; N = Х = МДО + N' кт т
к — коэффициент стока, т — время релаксации
речного бассейна, М[с] и M[N ] — математические
ожидания, с' и N' — белые шумы с интенсивно-
стями Gc, GN и взаимной интенсивностью Ос^).
Величинами М[с], М[^, Ос , ОN^, Gc N косвенно учитывается влияние опущенных фазовых переменных Е и А и. Уравнение (1) получается, если в модели (5) убрать коэффициент стока (так как "потери" при явном учете всех фазовых переменных отсутствуют), а время релаксации связать с
емкостью бассейна т = ^^.
Q
Если считать, что существует стационарное
(дрОЕШ
распределение
дг
= 01 и сделать обыч-
ное для подобных случаев предположение о равенстве нулю потоков вероятности при бесконечных значениях фазовых переменных, то придем к дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка
О пдр
др
+ О др + О
дQ ^ дЕ + ЧАи дА и
= 2( Л,
У + ЛЕ + ЛАи )Р. (6)
Рис. 3. Трехмерная проекция решения системы (1)—(3), (7) (а); б — ее увеличенный фрагмент при взгляде сверху (стрелка на рис. а).
Решением уравнения (6) будет одномодальное трехмерное распределение. Однако если допущение о стационарности снять, то метод характеристик сводит задачу (при Оув = ОуЕ = ОуАи = 0) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1)—(3) с дополнительным четвертым уравнением
йр
, = - Р йг
(X - 20 - Е - Ли4
X - 0 - 2Е -Ли
(7)
Решением системы (1)—(3), (7) является распределение с «дыркой», которая "дышит", меняя
свой диаметр около среднего или, при наличии асимметрии, модального значения (рис. 3). Если убрать все возможные (аддитивные и мультипликативные) шумы, то в силу конкурентного типа взаимодействия 0 и Е начальное распределение будет вырождаться в псевдо 8-функцию, а практически — в относительно островершинное, но распластанное на хвостах распределение.
Если модели формирования стока многомерны, то эмпирический материал должен в той или иной степени и форме отражать отмеченные особенности этих решений. Это подтверждает табл. 1. Как известно, за распластанность и островершинность распределений отвечает коэффициент эксцесса е [4]. Во всех трех температурных
Таблица 1. Статистические характеристики рядов стока
т, °с п п!, % Ср. значение коэф. эксцесса п2, %
-5-1.6 125 38 0.01 63
1.6-7 125 47 0.25 75
7-27 242 43 0.23 52
Примечание. п - число рассмотренных рядов, П1 - число случаев с положительными значениями коэффициента эксцесса, П2 - число случаев, в которых визуально наблюдались одномодельные гистограммы (число столбцов 7). Таблица получена совместно с Е.В. Гайдуковой.
зонах есть ряды как с положительными значениями е , так и отрицательными. Однако из-за большой погрешности вычисления е (при сравнительно небольшой продолжительности существующих наблюдений за стоком) имеет смысл ориентироваться на средние (по рядам для каждой зоны) его значения, которые в интервале температур от —5 до 1.6°С оказались близки к нулю, а для интересующей нас полосы 1.6—7°С равны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.