МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.375
© 2008 г. П.А. БЕЛОВ, С.А. ЛУРЬЕ ТЕОРИЯ 4Б-СРЕД С СОХРАНЯЮЩИМИСЯ ДИСЛОКАЦИЯМИ
В опубликованных ранее исследованиях авторов было установлено, что приложение классических методов механики деформируемых сред к исследованию свойств четырехмерного пространственно-временного континуума позволило сформулировать непротиворечивые модели механики неголоном-ных сред, находящиеся в согласии с первым и вторым законами термодинамики. В данной работе показано, что классические методы механики сплошных сред являются перспективными и для моделирования физических процессов. Показано, что так же, как и в трехмерной теории сохраняющихся дислокаций, для обобщенной 4Б-среды имеет место три типа дислокаций. Они соответствуют разложению тензора свободной дисторсии на шаровой тензор, тензор девиатор и псевдотензор поворотов. Даны трактовки частных моделей, показывающие, что предлагаемая модель описывает спектр известных физических взаимодействий: электромагнитных, сильных, слабых и гравитационных. Установлено, что разрешающие уравнения включают в качестве подсистем уравнения Максвелла для электродинамики и уравнения Юкавы для сильных взаимодействий.
1. Введение. Настоящая работа посвящена приложению методов механики сплошной среды к моделированию свойств пространственно-временного континуума как дефектной сплошной 4Б-среды. Рассматривается модель среды с полем сохраняющихся дислокаций, которая может трактоваться как вариант модели среды с микроструктурой Миндлина [1]. В недавней работе [2] дан пример приложения методов механики сплошных сред в 4D, где для моделирования необратимых процессов была рассмотрена обобщенная 4Б-модель классической среды, изотропной в 3D и трансверсально-изотропной в отношении временной координаты. В статьях [3-5] уравнения общей теории относительности привлекаются для построения геометрической теории упругости, оказавшейся эффективной для решения задач оптимизации нагруженных конструкций. Тем самым показывается перспективность учета прямых аналогий между физическими процессами и процессами деформирования сплошных сред. Вариант механистической теории физических полей анализировался в статье [6]. В данной работе будет построена 4D-модель обратимой, изотропной, физически-линейной среды с полем сохраняющихся дислокаций. Устанавливается система определяющих соотношений, формулируется согласованная постановка краевой задачи и дается анализ физической стороны модели. Рассматриваются частные модели.
Для построения математической модели и формулировки соответствующей краевой задачи используется "кинематический" вариационный принцип, развитый в работах [7-10]. Алгоритм построения модели сплошной среды сводится к следующим шагам:
1°. Формулируются свойственные среде кинематические связи - кинематическая модель.
2°. По кинематическим связям строится возможная работа внутренних сил, причем спектр внутренних сил определятся множителями Лагранжа, на которых вводятся кинематические связи.
3°. С помощью интегрирования по частям находится линейная вариационная форма для возможной работы внутренних сил. Определяется список аргументов.
4°. Записываются условия интегрируемости линейной вариационной формы, т.е. условия существования потенциальной энергии.
5°. В предположении физической линейности из условий интегрируемости линейной вариационной формы устанавливается общий вид определяющих соотношений модели. Строится потенциальная энергия, лагранжиан, вычисляется его вариация.
В результате определяется вариационное уравнение, включающее уравнения равновесия и весь спектр граничных условий. В указанном алгоритме особое место занимают кинематические модели изучаемых сред. Модель среды полностью задается разнообразием вводимых кинематических связей. Поэтому особое место при изложении теории сред с микроструктурой уделяется анализу кинематических соотношений.
2. Геометрическая модель. Приведем сначала соотношения, определяющие замкнутую геометрическую трехмерную модель сред с сохраняющимися дислокациями. Эти соотношения являются основой для построения полной вариационной формулировки модели среды с сохраняющимися дислокациями и ряда прикладных континуальных моделей сред, учитывающих масштабные эффекты [8, 9, 11].
Считаем, что имеют место расширенные соотношения Коши для компонентов тензора дисторсии [8, 9, 11]:
Э R¡ Э Rk i Э R¡ i Э R: i Э R,
dR = = Y.. + Q8¡jB - %Э^, e = R Yy = 2ЭХ + -2lR 5j
м i dR¡ 9
®k = -2 dx: 9¡jk
(2.1)
Здесь по повторяющимся индексам осуществляется свертка; R¡ - вектор перемещений; йц - тензор дисторсии; уц- - компоненты тензора девиатора деформаций; 0 - объемная деформация; щ - вектор поворотов или упругих вращений; Эцк - компоненты тензора Леви-Чивиты.
Соотношения (2.1) определяют кинематические связи между двенадцатью зависимыми степенями свободы уц, 0, щ и R¡, которым наделен произвольно выбранный бесконечно малый параллелепипед. Условия интегрируемости соотношений (2.1) можно представить в виде
(y¡п + 05 ¡.„13- щЭтк) тЭпт] = 0 (2.2)
Положим, что для рассматриваемого здесь случая не выполняются условию интегрируемости перемещений, иначе говоря, соотношения (2.2) являются неоднородными:
(Y¡ п + 05 ¡п/3 - ЩкЭ.пк)тЭптц = Ец (2.3)
Непрерывный тензор "несовместимостей" 2 ¡ц перемещений является тензором плотности дислокаций [12] и подчиняется дифференциальному закону сохранения: дЕ ¡ц /дхц = 0.
Решение неоднородных уравнений (2.3) представляется в виде суммы решения й Ц
,0 0 А0г 0„ ,2 однородного уравнения: й¡ц = у¡ц + 0 5 ¡ц/3 - щ Эцк и частного решения й¡ц неоднородных уравнений (2.3) йц = й0 + йЕ . Очевидно, что наряду с йЕ можно рассмотреть как независимые "обобщенные перемещения" следующие величины: уЕ, щ ,
0" (й'у = у ■ + 9"5у/3 - ю- Эпк). Эти "обобщенные перемещения" связаны со своей "обобщенной деформацией" - тензором "несовместностей" Еу (аналог соотношений
Коши): (у'п + 0"51п/3 - ю-ЭЫк ),тЭпту = Еу. Пользуясь терминологией среды Коссе-ра [12], ю0 = -1/2ЭЛ,-/дхуЭук называют стесненным вращением, а ю" свободным вращением или спином. Аналогично будем называть у0 и 00 стесненными деформациями,
а у ■ и 0е свободными деформациями.
Таким образом, естественным образом вводятся следующие составляющие свободной дисторсии: у-дислокации, у ■; 0-дислокации, 0Е и, соответственно, ю-дислокации -
величины ю" . Кинематические модели сред (2.1), (2.3) использовались для построения корректных моделей, учитывающих когезионные взаимодействия и связанные с ними масштабные эффекты [8-10].
Теперь запишем аналогичные соотношения, являющиеся обобщением рассмотренной геометрической модели на случай 4Б-пространства с четвертой временной координатой. Расширенные соотношения Коши для тензора стесненной дисторсии имеют вид:
о = Щ _ о 10о5 1 о Э о _ 5
дх■ 1+ 40 0у 2юр<1ЭЧР<1' 1 2дх: + 2 дX: 4Эх-
у у ' к (2.4)
ю о = _1 дЯ Э 0о _ дЯ
рд 2дхт птрд дхк
где 5у - тензор Кронекера, Эупт - псевдотензор Леви-Чивиты в 4Б.
Соотношения (2.4) определяют кинематические связи между двадцатью независимыми степенями свободы уу, 0, юрд и Я'.
В точном соответствии с трехмерным случаем вводится определение тензора плотности дислокаций и соответствующих тензоров плотностей для трех указанных типов дислокаций:
д ¿'п д Е Е о Е „
дх Эпт]к _ дх~ 'п + 0 5'п/4- юрдЭрд'п/2)Эпт]к _ Еук ^ °
хт хт
Е _ + Е0 + Ею Ет _ ^ Э Ее _ _1/4д0Е Э
Е'к Е'к + Е'к + Е'к. Е'к д х Э птук Е'к 1/4 д х Этук>
дюрд
Е']к _ -1/2"дх Эрд'пЭт]кп (2.5)
хт
о " дЯ' Е а'У = а'У + а'У = дх" + а'У _ У+ 1/405У -1/2юптЭ»т;;>
¿Е = уЕ + 1/4 0% -1/2ю^дЭ'ур,
УЕ = 1/24 +1/2^Е-1/4^к5у. 0Е = ¿"к. юрЕд = -1/2Ст Эптрд
Псевдотензоры третьего ранга syk , sjk и sjk обладают свойством антисимметричности при перестановке последних двух индексов. Они являются источниками соответственно трех типов дислокаций; у-дислокаций, 9-дислокаций и ю-дислокаций.
Компоненты разложения полной дисторсии на тензор девиатор, шаровой тензор и антисимметричный псевдотензор поворотов представляются в виде суммы:
dR: dR: dR, S о S Y j = rndj + 112 dj : -l/4dkk8 j = 1/2 -1/4^ S j + y j = y J + y j
9 = djS j = Э Rk/д Xk + dkk = e0 + eS (2.6)
dRi S _ 0 S
Юпт = -1/2dijùnmij = 1/2 dX~.Э nmij — 1/2 dijùnmij = Юпт + Юпт
Дефектное поле перемещений di представляет собой суперпозицию двух полей (2.5),
(2.6) - непрерывного поля перемещений R: и поля разрывов перемещений R" (дислокаций):
Mx Mx Mx
di = J dijdyj = J^ + 4)^ = R + J jyj = R + RS
Mj Mo j MJ
Mx Mx Mx Mx
RS = J (y S + 1- 9Ч- + ЮМЭ pj dyj = Jy ^J + 1- J + J vSmfyj ùnmij =
MJ MJ MJ MJ
= Ry + R9 + R"
Таким образом, определяется три типа дислокаций [8, 9, 11] в 4D: R y, R e, R™.
3. Вариационная формулировка модели. В работах [8-10] сформулирован "кинематический" вариационный принцип построения моделей сред. Определяются кинематические связи в среде, постулируется возможная работа внутренних сил как возможная работа реактивных силовых факторов на свойственных среде кинематических связях. Возможная работа внутренних сил представляется в виде линейной формы вариаций своих аргументов. Эта форма может быть проинтегрирована для консервативных сред. В результате определяется потенциальная энергия, которая в случае линейных сред является квадратичной формой своих аргументов.
Таким образом, в случае четырехмерного пространственно-временного континуума кинематическими связями являются обобщенные на 4D несимметричные соотношения Коши (2.4) и неоднородные уравнения (2.5). Возможную работу внутренних сил следует представить в виде:
= JJJJ
g«5( d¡ -5i;)+m¡"5
\
S Jd-k Э
S ¡,k dx Э nm,k
dV (3.1)
Здесь 5 и - возможная работа, в общем случае - линейная форма вариаций своих аргументов, не обязательно интегрируемая (для сред с диссипацией); < и тццк - тензоры множителей Лагранжа, которые имеют физический смысл реактивных силовых факторов, обеспечивающих выполнение соответствующих кинематических связей.
Представим 5и в (3.1) как линейную форму вариацией своих аргументов. Используя интегрирование по частям в слагаемых, содержащих производные, получим:
5 и
5, о д О'у дт'ук
+ Э75 Я' + т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.