КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2007, том 52, № 2, с. 215-222
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
УДК 548.732
ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ НА НЕИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
© 2007 г. В. И. Пунегов1' 2, С. И. Колосов2
1Коми научный центр УрО РАН, Сыктывкар, Россия 2Сыктывкарский государственный университет, Россия E-mail: punegov@syktsu.ru Поступила в редакцию 06.04.2006 г.
Разработана теория дифракции рентгеновских лучей на неидеальном латеральном кристалле трапецеидального сечения в борновском (кинематическом) приближении. Нарушения кристаллической структуры вызваны непрерывными (неслучайными) деформациями кристаллической решетки и хаотически распределенными дефектами. Непрерывные деформации решетки представляют собой комбинацию упругого изгиба атомных плоскостей и линейного изменения межплоскостного расстояния в глубь кристалла. В рамках трехкристальной рентгеновской дифрактометрии проведено численное моделирование углового распределения интенсивности когерентного и диффузного рассеяний в зависимости от величины непрерывных и случайных деформаций кристаллической решетки в латеральном и вертикальном направлениях.
PACS: 61.10.Dp, 68.65.La
ВВЕДЕНИЕ
Традиционно разработки в области теории дифракции рентгеновских лучей связаны с планар-ными структурами [1]. В последние годы значительное развитие получили методы литографии и селективного эпитаксиального роста. Поэтому появились уникальные возможности создания лате-рально ограниченных структур. Такие латеральные структуры являются важными элементами современной опто- и наноэлектроники. В большинстве случаев латеральные структуры создают в виде рельефа на поверхности кристалла. Такое расположение латеральных структур, в частности, квантовых нитей, в рентгенодифракци-онных исследованиях приводит к значительному увеличению интенсивности рассеяния. С другой стороны, латеральная периодичность является причиной формирования на дифракционной картине сателлитной структуры [2], которая усложняет получение информации о форме и внутреннем строении отдельного латерального объекта.
Рентгенодифракционные исследования эпи-таксиальных латеральных структур пока еще немногочисленны, поскольку весьма трудоемки для анализа дифракционных данных. В [3] предпринята попытка исследования методом двухкрис-тальной дифрактометрии латеральной структуры InGaAsP, выращенной в процессе селективного эпитаксиального роста. Подчеркивается, что для более полного исследования структурных характеристик селективно выращенных образцов требуется процедура численного моделирования дифракции с использованием соответствующих
экспериментальных измерений. В свою очередь, численное моделирование должно базироваться на последовательной теории рентгеновской дифракции от латеральных структур.
Цель настоящей работы состоит в развитии последовательной теории дифракции рентгеновских лучей для латеральной структуры с произвольным трапецеидальным сечением (рис. 1). Такой вид сечения выбран неслучайно, так как при определенных изменениях параметров формы может быть описана дифракция на кристалле с прямоугольным, треугольным сечением, а также с сечением в виде параллелограмма. Поскольку трехкристаль-ная схема дифракции является наиболее информативной, то рассмотрение будет проведено в рамках этой геометрии с учетом когерентного и диффуз-
Рис. 1. Поперечное сечение латерального кристалла с линейным изменением межплоскостного расстояния и упруго изогнутыми атомными плоскостями.
ного рассеяний. Отметим, что теоретический анализ дифракции рентгеновских лучей на совершенном кристалле с трапецеидальным сечением применительно к двухкристальной схеме дифракции проведен в [4]. Однако полученный в этой работе результат не позволяет исследовать дифракцию с учетом двух каналов дифракционного рассеяния -когерентного и диффузного, а также в композиционно неоднородных и несовершенных структурах. Такие задачи могут быть решены методом численного интегрирования уравнений дифракции [5]. К сожалению, такой подход нельзя назвать перспективным, поскольку он требует больших затрат времени вычислений, а также трудно поддается физическому анализу полученных результатов.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Так как размеры эпитаксиальных латеральных структур, как правило, от нескольких микрон до нескольких десятков нанометров, рассмотрение рентгеновской дифракции проведем в рамках кинематического приближения. Более трудоемкий подход к проблеме динамического рассеяния на латеральных структурах для двухкристальной геометрии предложен в [6]. Сам факт наличия латеральных границ кристалла является в определенном смысле простейшим типом нарушения идеальности структуры. Конечные размеры приводят к размытию 5-образных распределений интенсивности, характерных для бесконечного кристалла.
В кинематическом приближении для амплитуды волны когерентного рассеяния от кристаллического объекта толщиной I в обратном пространстве получено решение [7], которое с учетом пренебрежения эффектами преломления и поглощения рентгеновских лучей в среде, а также конечных латеральных размеров кристалла, может быть преобразовано и записано в виде
Еъ (Я) =
зовый фактор кристалла Ф(г) = ехр(/Ъ<и(г)}) зависит от функции неслучайных (непрерывных) атомных смещений (и(г)}, характеризующих конкретный вид деформаций решетки в результате, например, внешних воздействий (ультразвук, температурный градиент и т.д.) или структурных (композиционных) особенностей самого кристалла. Здесь h - вектор обратной решетки, = 2л/ёш, где - межплоскостное расстояние. Вектор q определяет отклонение вектора рассеяния къ - к0 от узла обратной решетки ^ где к0, ъ - волновые векторы падающего и дифракционного рентгеновского пучка. Отметим, что проекции вектора q в латеральном qx и вертикальном qz направлениях в схеме трехкристальной рентгеновской дифрактометрии связаны с угловым положением исследуемого кристалла ю и анализатора £ [7]. Поэтому значения этих проекций используют в качестве угловых переменных в обратном пространстве. В формуле (1) параметр П(г) введен как функция формы кристалла и задает пределы интегрирования по осям х и у, ось г направлена в глубь кристалла. Интенсивность когерентного рассеяния вычисляется по известному соотношению 11(ф = |Е^)|2 [1].
Распределение интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве задается следующим выражением
I
4(Я) = |ёх|ёу\ак(г)| 2( 1 - /(г)2)ОДт(г, я). (2)
Здесь
1
т(г, я) = -2 I ёрО(г, р)
(2п)2 {
х
(3)
х ехр(I(яр + Ь[<и(г + р)} - <и(г)}]))
(1)
является корреляционным объемом [7], зависящим от корреляционной функции
21п|ёг|ёх|ёуаъ(г)/(г)й(г)Ф(г)ехр(1яг), О(г р) = < ехр ( 1Ь[5 и( г + р ) - 5 и( г )] )} -/(г)2
где аъ(г) = Сл%Ъ(г)/(А,уЪ), /(г) - статический фактор Дебая-Валлера, уъ = sin(0), 0 = 0В + ф - угол, определяющий направление дифракционного пучка относительно входной поверхности кристалла, ф - угол скоса отражающих плоскостей к поверхности образца, 0В - угол Брэгга, С - поляризационный фактор, Хъ(г) = -r0X2('кVc)~1FЪ(r) - фурье-компонента рентгеновской поляризуемости, Vc -объем элементарной ячейки, г0 = е2/(тс2) - классический радиус электрона, е, т - заряд и масса электрона соответственно. В выражении для рентгеновской поляризуемости присутствует Fъ(r) - структурный фактор кристалла, химический состав которого неоднороден по объему. Фа-
. (4)
1- / (г)2
Выражения (1-4) описывают когерентное и диффузное рассеяние от латеральных структур произвольной формы, которая задается функцией П(г).
В трехкристальной схеме измерений интенсивность когерентной дифракционной волны может быть получена интегрированием по переменной qy:
+ ^ + ^
К(qx, qz) = I ^уК(Я) = I ёу\К(q„ у, qz)| , (5)
где ЕЪ у, qz) - фурье-преобразование Есь по переменной qy.
0
0
ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
217
Аналогичная процедура применима и к выражению для интенсивности диффузного рассеяния
4(Чх, Чг) = | q) =
I
(г)|2(1 - /(г)2)Щг)т(г, Чх, Чг).
(6)
В результате корреляционный объем трансформируется в корреляционную площадь [7]:
т(г, Чх, Чг) = | ¿дут(г, q). (7)
КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ
Рассмотрим дифракцию на кристалле трапецеидального сечения толщиной /. Химический (композиционный) состав и хаотически распределенные дефекты внутри кристалла однородны в пределах всего его объема. В этом случае рассеивающая способность ау(г) = ау и статический фактор Дебая-Валлера /(г) = / не зависят от пространственных координат.
Для трехкристальной дифракционной схемы угловое распределение интенсивности когерентного рассеяния имеет вид 1СЬ (чх, чг) = |Есь (чх, чг)|2, где с учетом нормировки в (5) амплитуда дифракционной волны
с !аъ ¡Г 1Ч.г С 1чх
Ес„(Чх, Чг) = |йге Ч | йхв Ч Ф(х, г). (8)
^ г)
72П
г)
Под интегралом в (8) присутствует двумерный фазовый фактор Ф(х, г) = ехр(/Ъ(и(х, г)>), определяемый видом деформации кристаллической решетки в латеральном вдоль х и вертикальном вдоль г направлениях. Пределы интегрирования для трапеции с верхним основанием Ь, нижним основанием а + Ь + с и высотой / (рис. 1) для произвольной координаты г запишутся как Пх(г) = -(аг// + Ь/2) и 02(г) = сг// + Ь/2.
Примем модель латерального кристалла в виде, в котором поле атомных смещений ^и(х, г)> = = ^(иЬ(х)> + (и(г)>) формируется за счет изгиба
отражающих плоскостей ^иЬ(х)> = -пх2/Ь2Х и линейного изменения межплоскостного расстояния
в глубь кристалла (г)> = -пг2//1. По аналогии с оптикой [8] мы ввели характерные параметры Ь1 = ^Яаш/2 и /1 =
^/^ум! , которые представляют размеры первых зон Френеля в латеральном и вертикальном направлениях. Здесь Я - радиус кривизны атомных плоскостей и £г = Ла?/аш - мак-
симальная деформация кристаллической решетки по толщине кристалла. Введенная модель нарушений кристаллической решетки соответствует постоянному градиенту деформации вдоль осей х и г. Согласно приведенной в [9] трактовке, в кристалле с постоянным по глубине градиентом деформации решетки формируются фазовые слои, аналогичные полосчатым зонам Френеля в оптике [8]. В нашем рассмотрении этот формализм распространяется на случай упруго изогнутых атомных плоскос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.