ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 1, с. 52-67
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ТЕОРИЯ КЛЮВОВ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
© 2007 г. Э. Б. Ершов
(Москва)
В конечномерном вещественном пространстве рассматриваются множества, имеющие точку с одновременно минимальными или максимальными на таком множестве координатами, называемую соответственно его мини- или макси-клювом. Формулируются и доказываются условия, достаточные для существования у множеств клювов. В системах неравенств, задающих такие множества, используются функции, невозрастающие или неубывающие по всем аргументам кроме, может быть, одного. Оптимизация неубывающих и невозрастающих критериев на имеющем соответствующий клюв множестве приводит к задаче его нахождения как характерного оптимального решения.
Вводится понятие обобщенного клюва множества, использующее задаваемую структуру квазипорядка, рассматривается достаточное условие его существования. Анализируется зависимость координат клювов от параметров, задающих семейства множеств, и связь клювов с решениями систем уравнений. Предложена общая схема конструирования множеств, замкнутых относительно введенных бинарных операций покоординатной минимизации и максимизации и используемых для задания множеств, имеющих клювы.
ВВЕДЕНИЕ
Экономическая модель, для которой множество допустимых решений имеет клюв, насколько нам известно, впервые была в явном виде рассмотрена в (Ершов, 1962). Но для частной оптимизационной межотраслевой модели, называемой моделью Самуэльсона, раньше было обнаружено ее основное свойство, формулируемое как "теорема о замещении" (Arrow, 1951; Georgescu-Roegan, 1951; Koopmans, 1951; Samuelson, 1951). Оно следует из существования макси-клюва у задачи линейного программирования, двойственной к исходной модели.
В (Ершов, 1963) теоремы о клювах были сформулированы в наиболее простом виде, базирующемся на свойствах межотраслевых моделей. Детально и в общем виде эти теоремы предполагалось изложить в главе коллективной монографии "Методы планирования межотраслевых пропорций" (1965). По решению руководителей авторского коллектива этот материал не был включен, поскольку был оценен ими как математизированный и сложный. Однако упоминание о соответствующих свойствах межотраслевых моделей в тексте третьей главы этой монографии сохранилось. В (Ершов, 1967) теоремы о клювах доказаны и использовались в вариантах, приспособленных к потребностям межотраслевого моделирования.
Поиск более общих достаточных условий существования клювов позволил определить класс имеющих клювы моделей, допустимые множества решений которых не только не должны быть выпуклыми, но и допускают рассмотрение альтернативных вариантов развития и функционирования подсистем, образующих моделируемую систему. Такие модели задаются с использованием операций объединения и пересечения отдельно описываемых множеств из предложенного класса. Есть основания предполагать, что возможности применения таких моделей шире, чем сфера межотраслевого моделирования. Межотраслевые модели, имеющие клювы, будут рассмотрены в отдельной работе.
Эта статья представляет собой сокращенную и переработанную версию разделов 1 и 2 препринта (Ершов, 2002).
1. КЛЮВЫ МНОЖЕСТВ КАК ИХ ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ И ПОДМНОЖЕСТВА
Будем рассматривать множества в конечномерном вещественном пространстве, предполагая, что они задаются с помощью систем неравенств, систем уравнений или множеств специального вида, не являющихся областями.
1.1. Основные определения. Пусть D. - множество в Rn; X = (x) - точка из Rn с координатами x , i = 1, ..., n. Воспользуемся тем, что в Rn определено естественное отношение порядка. Будем пред-
полагать, что O ограничено снизу (или сверху), т.е. существует точка A = (a) е Rn (или A = (ai)), такая, что для любой X е O выполняется неравенство A < X (или X< A), т.е. -< < at < xi (или xi < ai < < +<), i = 1, ..., n (далее условие i = 1, ..., n, если оно очевидно, будем опускать).
Множество точек A таких, что для всех X е O выполняется A < X, назовем минорантным множеством MO для O. Мажорантным множеством MO для O назовем множество точек A, удовлетворяющих неравенству X < A при всех X е O. В теории частично упорядоченных множеств (ч.у.м.) объекты MO- и MO называют нижним (Ov) и верхним (OA) конусом для O (Математическая энциклопедия, 1984, с. 833-836).
Если O n M Ф 0, то существует точка X = (Xi) = (O n MO) е O такая, что Xi = minx,-, называ-
x е O
емая мини-клювом множества O, наименьшей точкой inf(O) или нулем O как ч.у.м. Будем ее обозначать X (O). Аналогично, если O n MO Ф 0, то O n MO = X(O) - точка, называемая макси-клювом, наибольшей точкой sup(O) или единицей для O как ч.у.м., такая, что X (O) = (X i) е O и Xi = maxxi.
x е O
Термин "клюв" объединяет понятия наименьшей и наибольшей точек для ч.у.м., в частности, для решеток и полурешеток в ч.у.м. и в векторных пространствах, порядок в которых вводится не только с помощью положительного конуса, но и посредством положительного клина (Математическая энциклопедия, 1979, с. 880). Клюв предлагается определять не только как точку, но и как подмножество B(O) с O. Такое обобщение предлагается в п. 1.3.
Пусть на O рассматриваются оптимизационные задачи minf (X) или maxf (X), имеющие, по
x е O x е O
предположению, непустые множества решений:
Argminf (X) = Kf (X) = KOf (X) или Argmaxf(X) = Kf (X) = Kof (X).
x е O x е O
Если O имеет мини-клюв X (O) или макси-клюв X (O), то эти задачи обладают полезными свойствами:
X(O) е Kf (X), X(O) е Kg(X); X(O) е Kg(X), X(O) е Kf (X)
для всех неубывающих на O функций f (X) и всех невозрастающих на O функций g(X).
Нет смысла искать необходимые и достаточные условия того, что O имеет клюв, поскольку добавление к ограниченному, но не имеющему клюва множеству O одной точки из MO или из
M O, превращает его в множество, имеющее клюв. Поэтому целесообразность введения понятия "клюв" может быть подтверждена тем, что существуют проверяемые и в то же время относительно общие и реалистичные в контексте экономико-математического моделирования достаточные условия существования клювов у множеств.
1.2. Простые достаточные условия существования клювов. Развиваемую теорию связывает с теорией решеток и полурешеток следующее утверждение.
Теорема 1 о клювах. Множество O с Rn имеет мини-клюв (макси-клюв), если оно:
1.1) непусто (условие неослабляемо);
1.2) ограничено снизу (сверху) (условие неослабляемо и вместе с условием I.1 дает необходимое условие существования клюва);
1.3) замкнуто, т.е. содержит предельные точки последовательностей {Xk},X е O, к = 1, ..., < (условие ослабляемо, так как достаточно потребовать, чтобы O содержало предельные точки невозрастающих (неубывающих) последовательностей);
1.4) замкнуто относительно бинарной операции покоординатной минимизации (максимизации), определенной для пары точекX1, X11 следующим образом:
лЛ, II • / VI гД1\ / I, П\ / • / I II\\ /14
X = min(X ; X ) = (x- ) = (min(x-; x- )) (1)
(илиXs- 11 = max(XI; X11) = (x]'11) = (max(x]; x]I)), гдеX1 = (x]), X11 = (x]I). Таким образом, требуется, чтобы для любых X1 е П, X11 е П результат операции (1) X1, 11 принадлежал П, если точки X1 и X11 принадлежат этому множеству.
Условия 1.1—1.3 можно заменить условием:
1.3') Kaxt Ф0 (или Кп xt Ф0), i =1'_' и. (2)
Условие 1.4 можно задать в ослабленном виде:
I.4) существует непустое, замкнутое относительно рассматриваемой операции (1) множество ю с П, такое, что ю n Knxi Ф П (или ю п Кп xi Ф П), i = 1, ..., и.
Для m(m > 2) точекXk = (xk) е R", к = 1, ..., m, определим операции:
min(X1; ...; Xm) = (x1'""m) = min(x1; ...; xm), max(X1; ...; Xm) = (x1'""m) = (max(x1; xm)). (3)
Условие 1.4 эквивалентно замкнутости П относительно одной из операций (3) при любых (m > 2). ■
Доказательство. Из условий 1.1—1.3 с ледует выполнение условия 1.3'.
Пусть X' е Knxi (или X' е КПx,). Применяя операции (3), получаем minX1; .; X") = Х(П) (или max(Xx; .; X") = X (П)). ■
Удовлетворяющее условиям теоремы 1 множество П является частным случаем нижних (верхних) полурешеток, т.е. частично упорядоченных множеств, для любых двух элементов которых существует нижняя (верхняя) грань и существует наименьший (наибольший) элемент.
Введение условия 1.4 оправдано тем, что еще в (Ершов, 1963) было найдено следующее достаточное условие его выполнения.
Теорема 2 о клювах (о классе односторонних решеток). Непустое множество П с R" замкнуто относительно операции покоординатной минимизации min(XI; X11) (или покоординатной максимизации max(XI; X11)), т.е. является нижней (верхней) полурешеткой, если оно может быть задано системой неравенств:
/„( x^); X(a))> > 0, а =1'...' N, (4)
где символ ">>" означает, что в неравенстве с номером а используется один из символов ">" или ">"; i(a) - номер выделенной для неравенства а переменной (допускается случай, когда i(a) не определен, выделенный аргумент отсутствует и принимается i(a) е 0); Xi(a) - набор переменных xk, к Ф i(a), и выполняются условия:
II.1) область определения юа функции /a(X) замкнута относительно операции min(XI; X11) (или операции max(XI; X11));
II.2) функция/a(xi(a); Xi(a)) невозрастающая (или неубывающая) по xk, к Ф i(a).
Условие II.1 в ослабленном виде превращается в условие:
II.1') относительно рассматриваемой покоординатной операции замкнуто множество H = = Пюа - область определения системы функций {/.(X)}.
а
Условие II.2 должно быть выполнено при каждом а хотя бы на одном из множеств П, H или юа, причем П с H с юа. ■
Доказательство теоремы приведено в (Ершов, 2002, с. 8-9).
Вторая теорема о клювах имеет "рекурсивный" характер, поскольку от множеств юа и H требуется замкнутость относительно той же операции, для которой формулируется теорема. Множества юа и H могут задаваться с помощью системы неравенств вида (4), но, возможно, использующих другие функции. В приложениях достаточно для каждого а подобрать замкнутое относительно рассматриваемой операции множество ю а, такое, что П с ю а с юа. Тогда непустое в
силу П Ф 0 множество П ю а будет замкнутым относительно этой операции, и тем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.