ТЕОРИЯ ЛЭМБОВСКОГО СДВИГА В ИОНАХ МЮОННОГО ГЕЛИЯ
А. А. Крутое", А. П. МартыненкоаЬ* Г. А. Мартыненко", Р. Н. Фаустовс
а Самарский государственный унивсрситст 443011, Салтра, Россия
ь Самарский государственный аэрокосмический университет им. С. П. Королева
443086, Салтра, Россия
€Вычислительный центр им. А. А. Дородницына Российской академии наук 119333, Москва, Россия
Поступила в редакцию 21 августа 2014 г.
Вычислен лэмбовский сдвиг (2Pi/2-2Si/:>) в ионах мюонного гелия (/./ 'jl Ь-)', (/./ ÍHo)+ с учетом вкладов порядка ал, о 4, а ' и о6. Особое внимание уделено поправкам на поляризацию вакуума, структуру и отдачу ядра. Полученные численные значения сдвига 1259.8583 мэВ ((/./ "J1 f• •)' ) и 1379.1107 мэВ ((/./ ÍHo)+) могут рассматриваться как надежная оценка при сравнении с экспериментальными данными коллабора-ции CREMA.
001: 10.7868/8004445101501006Х 1. ВВЕДЕНИЕ
Попы МЮОННОГО ГОЛИЯ (//. |Но)+ II (//. |Но)+
представляют собой двухчастичные связанные состояния отрицательного мюона и ядра (альфа-частицы или гелиона). Время жизни этих атомов определяется временем жизни мюона т1Л = 2.19703(4) • Ю-6 с. Оно больше времени протекания атомных процессов, поэтому мюон успевает совершить ряд переходов по орбитам, которые сопровождаются 7-излучснисм. При переходе от электронных атомов к мюонным возрастает масса .пептона в ш/(/ш, = 206.7682843(52) раз [1, 2]). В результате радиус боровских орбит уменьшается, и это приводит к возрастанию роли эффектов электронной поляризации вакуума, структуры и поляризуемости ядра при расчете уровней энергии. Эффекты отдачи, которые определяются отношением масс мюона и ядра, также начинают играть существенную роль. Мюонные атомы представляют собой своеобразную лабораторию по изучению свойств ядер, прежде всего их зарядовых радиусов. В последние годы экспериментальной коллабо-
Е-таП: а.р.martynenkoifflsamsu.ru
рацией CREMA (Charge Radius Experiment with Muonic Atoms) достигнут существенный прогресс при изучении энергетической структуры мюонного водорода [3, 4]. Было выполнено измерение частоты перехода 2Р^2 25'f^1, что позволило получить более точное значение зарядового радиуса протона гр = 0.84087(39) фм. Измерение частоты перехода 2P[f? позволило найти сверхтонкое рас-
щепление 25-уровня, величину радиуса Земаха rz = 1.082(37) фм и значение магнитного радиуса протона гм = 0.87(6) фм. Также проведены аналогичные измерения для мюонного дейтерия. Недавно закончены измерения частот перехода (25 2Р) в ионе мюонного гелня-4, обнаружен первый переход (25 2Р) в ноне мюонного гелня-З1^. Результаты этих экспериментов находятся на стадии анализа. Важно подчеркнуть, что из экспериментов коллаборации CREMA следует очень важная задача улучшить на порядок численные значения зарядовых радиусов протона, дейтрона, гелиона и альфа-частицы, которые входят в качестве параметров в различные интервалы тонкой и сверхтонкой структур этих простейших атомов [5 14]. Легкие мюонные атомы важны также для проверки предсказаний Стан-
Мы благодарны Ф. Коттмаиу за информацию о последних экспериментальных данных CREMA.
дартнои модели и теории связанных состоянии, для поиска проявлений экзотических взаимодействий элементарных частиц. Так, например, мюонные водородоподобные системы (ионы мюонного гелия, лития, берилия) могут использоваться для поиска нарушений лоренцевской инвариантности и СРТ-инвариантности [15].
Фундаментальные теоретические исследования тонкой и сверхтонкой структур легких мюонных атомов были выполнены много лет назад в [6] на основе уравнения Дирака и в [8] в рамках трехмерного квазипотенциального подхода в квантовой электродинамике (см. другие ссылки в [5, 6]). В этих работах были получены как основные вклады в спектр энергии, так и ряд наиболее важных поправок, связанных прежде всего с электронной поляризацией вакуума с точностью 0.01 мэВ. Поскольку при теоретическом изучении спектров энергии водо-родоподобных атомов были получены общие аналитические выражения для поправок различного порядка, их также можно использовать для оценки вкладов в тонкую и сверхтонкую структуры спектра мюонных атомов [5]. В то же время существует ряд поправок, обусловленных прежде всего поляризацией вакуума, которые необходимо вычислять для каждого мюонного атома отдельно. Позднее в работах [7,9 14,16,17] были вычислены вклады более высокого порядка по постоянной тонкой структуры о. и отношению масс частиц п> |/п)-> в спектрах энергии мюонного водорода и нонах мюонного гелия. В работе [18] был проведен расчет лэмбовского сдвига в ионе мюонного гелня-4 в рамках трехмерного квазипотенциального метода. Рост экспериментальной активности в последние годы при изучении мюонных атомов [3, 4] вызывает необходимость проверки ранее проведенных расчетов, вычисления новых поправок н сравнения результатов вычислений разными методами для того, чтобы получить надежные предсказания для энергетических интервалов (25 2Р) в легких мюонных атомах. Цель настоящей работы состоит в расчете поправок порядка а5 и а:6 в лэмбовском сдвиге (251/2 2Р1/2) в ДВУХ ионах мюонного гелия (//. |Не)+ и (//. |Не)+, которые определяются релятивистскими эффектами, эффектами поляризации вакуума, структуры ядра и отдачи, и получении полных значений лэмбовского сдвига в этих атомах с точностью 0.001 мэВ. Их можно будет использовать для сравнения с экспериментальными данными СТ1ЕМА. Особое внимание уделено эффектам структуры ядра, поскольку именно с ними может быть связано решение загадки радиуса протона. Современные численные значения фундамен-
тальных физических констант взяты из работы [1]: масса электрона ш, = 0.510998928(11) • Ю-3 ГэВ, масса мюона т1Л = 0.1056583715(35) ГэВ, постоянная тонкой структуры а:-1 = 137.035999074(44), масса протона тр = 0.938272046(21) ГэВ, масса гелиона т/, = 2.808391482(62) ГэВ, масса а-частицы та = = 3.727379240(82) ГэВ, зарядовый радиус а-частицы га = 1.676(8) фм, зарядовый радиус гелиона гл = 1.966(10) фм [7].
2. ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА В ОДНОФОТОННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
Наш подход к исследованию лэмбовского сдвига (2Р 25) в ионах мюонного гелия (//. |Не)+ и (//. |Не)+ основан на квазипотенциалыгом методе в квантовой электродинамике [14,19,20]. Двухчастичное связанное состояние описывается при этом уравнением Шредингера, а основной вклад в оператор взаимодействия частиц определяется гамильтонианом Брейта [21, 22] (<">/ = 1 (<">/ = 0) для ядер полуцелого (целого) спина)
^ р2 га
2/1. г
8т| 8т|
тг 2 а
2 \ т га
и»
2т | т>г 1 1 \
гт
2 а
г3 Цт'г 2т | Ш-,
2 + г(г_рру (Ьчт1) = Н0 + &\'
(1)
где Н0 = р2/2//. — га/г, т 1, т2 массы мюона и ядра (гелиона или альфа-частицы), // =
= III | 11)->/(Ш I + //»•_>).
Волновые функции состояний 25 и 2Р соответственно равны
И"3/2
Ф'200(г) = —-7= ехр
И"3/2
Ф21т(г) = —7="«Ф
И "г И "г
1
И "г
\Vi-Y, „,((). о).
(2)
IV = //Хч.
Отношение радиуса первой боровской орбиты к комптоновской длине волны электрона равно т(:/IV = 0.34. Поэтому при вычнеленнн вклада электронной поляризации вакуума (ПВ, УР) нельзя использовать разложение по а. Основной вклад электронной ПВ в лэмбовский сдвиг имеет порядок а(га)2 (см. рис. 1а).
АЕУР(2Р) = I I ):з(Ь. х
12 тг
Рис. 1. Эффекты однопетлевой и двухпетлевой поляризаций вакуума в однофотонном взаимодействии
Учитывая модификацию кулоновского потенциала за счет эффекта поляризации вакуума в координатном представлении [21]
ОС
(3)
Р( С) =
у^Т^ + р
можно представить вклад однопетлевой электронной ПВ в сдвиг 25'- и 2Р-уровией энергии и в лэм-бовский сдвиг (2Р 25) в виде (здесь и далее верхнее значение соответствует (//. |Не)+, а нижнее (// |Не)+, А-1 = 2т, /1Г) '
А£-,-р(25) =
х / х(1х (1 — — ) ехр < — х ( 1
2 тс£ И"
12 (1 - 14)т
у/1-Н (-168^+272^-49*-
бтг (*? - I)2 (14*1 + 3) - 28)
3 (56*18^128*-16+75*-14+10*12^4) 1п
1-ует
-2041.9990 мэВ, -2077.2217 мэВ,
х ехр < — х ( 1
2 тс£ И"
(1 - А-3
5/2
ф^Н (-120^ + 184*4 - 23*?
бтг (*? - 1)' (10*2 + 3) - 32) +
3 (40^-88^+45^+10^-4) 1п
Л/.\ г(2Г' 25) =
*1
( -—400.1128 мэВ, | —411.4486 мэВ,
1641.8862 мэВ, 1665.7730 мэВ.
(5)
(6)
Уже из этого простого примера понятна аналитическая структура вкладов (4), (5) в спектре энергии, которая имеет достаточно громоздкий вид. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся представлением вкладов в интегральной форме. Вклад мюон-ной поляризации вакуума (МПВ, МУР) в лэмбов-ский сдвиг известен в аналитическом виде [5]. Он включен в полную величину сдвига в разд. 5. Эффекты двухпетлевой поляризации вакуума в одно-фотонном взаимодействии показаны на рис. 16, в, г. Чтобы получить вклад амплитуды, показанной на рис. 16, в оператор взаимодействия частиц, необходимо использовать следующую замену в фотонном пропагаторе [5, 21]:
1
¥
а
Зтг ,/
1
4 т'2 С2
(7)
Диаграмма с двумя последовательными петлями дает тогда в координатном представлении следующий вклад в оператор взаимодействия частиц [15]:
Vе
1 ур ур
1
^ оо оо
(»•) = <^2 У ("V") х
1 1
(С2 охр(—2тс£г) — Г)2 ехр(—2тс//»•)) . (8)
с 2 „-.2
4 - V
Усредняя (8) по кулоновским волновым функциям (2), получим вклад в лэмбовский сдвиг порядка а2(Еа)2:
, „ , „ I 3.7207 мэВ.
АЕур уР(2Р 23)= { (9)
3./99/ мэВ.
Поправка более высокого порядка а2 (га)4 определяется амплитудой с двумя последовательными электронной (УР) н мюонной (МУР) петлями. Соответствующий потенциал имеет вид
ЛГ,-
Р МУР
(Г) =
1(/м )<г'
45тг2т"2
х / ¿>(0
£2
7г5(г)--ехр(—2те£г)
■ (Ю)
Разделение уровней (2Р 25') увеличивается в этом случае на величину
АЕУР мур(2Р 25) =
0.0022 мэВ, 0.0023 мэВ.
(Н)
Оператор взаимодействия частиц, соответствующий двухпетлевым амплитудам рассеяния на рис. 1е,<? с поляризационным оператором второго порядка, имеет вид [14]
\ГГ
2 [оор УР
2 2а / а \ 2
3 г V тг
х ехр
где спектральная функция
(1-г-2) ' 2 тсг
(12)
/(<•) = <• (3-г2)(1 + г2
Ы-2
1 - V 1 + V
2 Ы-:
/1-е 11
3 , 1+1' , 1+г' , 1+г'
- - 1п-1п--1п-
2 1-е 2 1-е
1п V
16
(3 — с )(1 + с
Т
1п
1 + V
|с(3 - <'2)1п —^
1 - V
2 (•(:'> — с'} 1п г +- ^<-'(5 — Зг'2
(13)
1л2(;
дилогарифм Эйлера. Потенциал
А К, , ( ,,(;•) дает бо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.