РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 7, с. 709-719
АНТЕННО-ФИДЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
УДК 621.396.67
ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ РЕШЕТОК АНТЕНН ВИВАЛЬДИ В ОДНОВОЛНОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
© 2015 г. С. Е. Банков
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 125009, Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7 Е-таП: sbankov@yandex.ru Поступила в редакцию 26.11.2014 г.
Рассмотрены периодические решетки антенн Вивальди. Проанализированы бесконечные по одной координате цилиндрические решетки. Обоснована модель в виде канала Флоке для решеток с осевой симметрией. Для канала Флоке цилиндрической решетки предложена модель в виде канала Флоке плоской решетки с переменным периодом. Прохождение основной волны канала Флоке описано в одноволновом приближении, в котором учитываются только прямая и встречная волны основного типа. В одноволновом приближении определена матрица рассеяния канала Флоке цилиндрической решетки. Выведены соотношения для коэффициента отражения в режиме квазипериодического возбуждения. Представлены результаты численных расчетов.
БО1: 10.7868/80033849415070025
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решетки антенн Вивальди представляют большой интерес для разработчиков сканирующих высоконаправленных антенн, в том числе сверхширокополосных антенн [1]. Элемент такой решетки — это плавно расширяющаяся щелевая линия передачи (ЛП), которая может направлять электромагнитные волны вплоть до весьма низких частот. Благодаря плавному изменению параметров антенна Вивальди обеспечивает хорошее согласование источника возбуждения со свободным пространством в широком частотном диапазоне и широком диапазоне углов сканирования. Отметим, что в качестве источника возбуждения чаще используется микрополоско-вая или двухпроводная полосковая ЛП.
В литературе известно большое число работ, посвященных проектированию и экспериментальному исследованию плоских решеток антенн Вивальди (см., например [2, 3]). Оценка показателей качества решеток в этих работах проводилась в основном при помощи универсальных программ электродинамического моделирования, таких как HFSS или Microwave Studio [4]. При всех достоинствах современных систем подобного типа они имеют существенные недостатки, обусловленные большими затратами компьютерных ресурсов, необходимых для решения граничной задачи в области с весьма сложной геометрией. Поэтому оптимальной стратегией проектирования является сочетание моделей разного уровня, в том числе приближенных моделей, которые позволяют оценить характеристики сложного
устройства с относительно небольшими затратами ресурсов, в первую очередь времени.
В работе [5] предложен упрощенный подход к анализу плоской решетки антенн Вивальди. В рамках этого подхода она рассматривается как решетка щелевых ЛП с плавно изменяющимися параметрами. Для ее основной волны вводится понятие характеристического сопротивления, при помощи которого решетка описывается в рамках одноволнового приближения, допускающего существование в структуре только прямых и встречных волн одного типа. В одноволновом приближении анализ решетки сводится к решению известной в технике СВЧ задачи о плавном трансформаторе импеданса [6]. При помощи простой эквивалентной схемы в работе [5] найдены элементы матрицы рассеяния решетки.
Метод, развитый в [5] основан на результатах работы [7], в которой представлен квазистатический анализ собственных волн бесконечной двумерно-периодической решетки щелевых линий.
Наряду с плоскими решетками большой интерес представляют цилиндрические решетки сверхширокополосных излучателей, к которым относятся антенны Вивальди [8]. Такие решетки имеют улучшенные показатели качества по сравнению с плоскими аналогами. В первую очередь это относится к сектору сканирования, который может достигать 360° у цилиндрических решеток. Данная работа посвящена созданию математической модели цилиндрической решетки антенн Вивальди в рамках одноволнового приближения. Она является продолжением работы [5], в кото-
709
4*
о о о X* ° Ху
и О о С) °ос 1 и с^ - 1 о о ) о
Дф
(1)
Рис. 1. Кольцевая решетка.
рои рассматривается плоская решетка в квазипериодическом режиме. Его преимущество перед другими режимами состоит в том, что анализ бесконечной плоской решетки сводится к анализу одного периода, на границах которого устанавливаются специальные условия периодичности [9]. Такая структура названа каналом или волноводом Флоке. При помощи канала Флоке задача анализа плоской бесконечной решетки антенн Вивальди сводится к анализу волновода с переменными вдоль его оси параметрами. Подобная структура описывается при помощи матрицы рассеяния. Наиболее интересным ее элементом является коэффициент отражения по внутреннему входу в виде выходной ЛП.
Теория, позволяющая осуществить переход от бесконечной решетки к каналу Флоке, хорошо известна [10]. Она разработана для плоских решеток. Для цилиндрических решеток теория имеет существенные особенности. В некоторых частных случаях они могут быть достаточно просто учтены: например, при синфазном возбуждении элементов решетки, синфазно — противофазном возбуждении. В данной работе обоснуем применение модели цилиндрической решетки в виде канала Флоке при произвольном фазовом сдвиге между ее каналами.
Канал Флоке для цилиндрической решетки имеет клиновидную форму в отличие от канала Флоке для плоской решетки. В данной работе будем рассматривать его как канал Флоке для плоской решетки с переменным периодом. Таким образом, в волноводе Флоке для цилиндрической решетки меняется не только ширина щели, но и расстояние между стенками волновода, равное периоду решетки.
В одноволновом приближении изменение размеров волновода Флоке будем учитывать путем изменения его характеристического сопротивления. Таким образом, для расчета матрицы рассеяния канала Флоке можем использовать эквивалентную схему, предложенную в работе [5].
2. УСЛОВИЯ ПЕРИОДИЧНОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Рассмотрим структуру, изображенную на рис. 1. Она представляет собой решетку, которая состоит из N элементарных излучателей, которые расположены в пространстве с симметрией поворота на угол
2 п
N'
Схематично излучатели показаны на рис. 1. Рассматриваемая структура может иметь периодичность по оси 0z. В этом случае она будет цилиндрической решеткой. Периодичность по оси 0z может отсутствовать. Такая решетка называется кольцевой. Свойства структуры по оси 0z на данном этапе для нас не имеют значения. Существенным фактором является симметрия поворота на угол Дф.
Элементарные излучатели представляют собой физические объекты, которые могут быть выполнены из металлов, диэлектриков, магнетиков и т.д. Внутренняя структура излучателей несущественна. Для нас важно, что электромагнитное поле в структуре может быть представлено как поле токов: сторонних, проводимости, поляризации, которые существуют в области, занятой излучателями.
Допустим, что каждый излучатель занимает объем Ут, т = 0,1, ..., N - 1. Все объемы имеют одинаковую форму, но повернуты на угол
ф т = тДф (2)
относительно объема У0.
Рассматриваем квазипериодический режим решетки, в котором токи в излучателях связаны следующим соотношением:
]т(ф) = Уо(ф - тДф)ехр(—крт),
кр = 2пр, р = 0,1,...,N - 1,
р N
(3)
где ]т — любая из трех компонент тока в цилиндрической системе координат г, ф, z. Параметр кр задает фазовый сдвиг между полями в соседних периодах. Видно, что в отличие от плоской решетки он принимает дискретные значения. Отметим, что распределение токов (3) имеет периодичность по т с периодом, равным N так как фаза в элементе с номером т + N отличается от фазы
У
элемента с номером т на 2я. Конечные пределы изменения индекса р также связаны с периодичностью распределения (3), но уже по р. Например, токи с р > N -1 не будут отличаться от токов, определенных соотношением (3), а будут повторять их с точностью до несущественного множителя exp(2гпд), д = 1,2,....
Токи (3) создают поле, которое описывается
векторным потенциалом А. Известна связь потенциала с током [11]:
А, = \]16(УУ)йГ,
V
Аг = ^(ф - ф') + _/ф sin(ф - ф')) ), Г)1Г, (4)
А =
|(ф cos(ф - ф') - ]г sin(ф - ф')) 0(У, ф)йГ,
где в(г, г', ф, ф', -) — функция Грина свободного пространства. Запишем ее следующим образом:
в = X exp(-ш(ф - ф))^„(г, Г,г,г)
(5)
Докажем при помощи соотношений (4), (5), что векторный потенциал, порожденный токами (3) удовлетворяет условию периодичности:
А(ф + дДф) = А(ф) exp(-/к рд),
(6)
где д — целое число.
Поскольку выражения (4) для разных компонент потенциала имеют разный вид, то будем проводить доказательство для компонент А7 и Аг, ф отдельно. Проведем доказательство для компоненты А7.
Подставим соотношения (3) и (5) в первое выражение (4):
(7)
N-1 ю
А = XX 1 ^0(Ф' - тАф) Х
т=0п=-ю V
у т
х exp(-гкpm)exp(-in(ф - ф'))FndV'.
Проведем замену переменных в формуле (7):
ф' = ф' - тАф. (8)
Преобразуем с учетом выражения (8) соотношение (7):
N-1 »
Аг = XX рг0(Ф')exp(-/Kpm) X
т=0 п=-го ф0
х exp(-/n(ф - ср' - mAq)))FndV\
(9)
Найдем сумму по т при помощи формулы геометрической прогрессии [12]:
N-1
X exp(-im(кр - пАф)) = —
т=0
1 - exp(iN(кр - пАф)) - exp /(к - пАф)
.(10)
Подставим в найденную сумму по т соотношения для Аф и кр (2), (3):
N-1
X exp(-im(кр - пАф)) = 1 - «Ф^*р - п)). (11)
1 21П, ч
т=0 1 - exp — (р - п)
N
Выражение в правой части (11) равно нулю при всех п за исключением
п = р + N1, I = ...-1,0,1,....
(12)
При указанных значениях п в формуле (11) возникает неопределенность, так как числитель и знаменатель одновременно обращаются в нуль. Эту неопределенность нетрудно устранить, рассматривая поведение выражения (11) в малой окрестности вокруг точек (12):
N-1
Xexp(-im(кр - пАф)) = Г'' " ' (13)
р ' 0, п Ф р + N1.
т=0
N п = р + N1,
Подставим найденную сумму по т в выражение для векторного потенциала (9):
Аг = N
X р,0(Ф'):
I=-» V,
х exp(-/(p + N/)(ф - ф
(14)
Используя формулу (14), найдем векторный потенциал при ф + дДф и покажем, что он удовлетворяет условию периодичности (6):
А-г = NX ]Л0(Ф')ехР(-/(р + N1 )(ф - ф■)):
х 'exp(-/^(р + N1)).
(15)
N
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.