ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 3, с. 134-148
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.7.05
ТЕРМИНАЛЬНОЕ РЕЛЕЙНО-ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ*
© 2014 г. Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, А. С. Олейник, В. Н. Рябченко
Королев МО, ОАО РКК "Энергия", Москва, МФТИ, МГТУим. Н.Э. Баумана Поступила в редакцию 19.03.13 г., после доработки 19.12.13 г.
Для линейной стационарной динамической системы с релейно-импульсными исполнительными органами, положение которых в смысле действия "включено—выключено" с той или иной полярностью задается значением моментов времени переключения, разработан алгоритм, позволяющий применять методы модального управления к решению задачи поиска терминального управления. С использованием предложенного алгоритма решена задача терминального управления сближением космических аппаратов с двигателями постоянной тяги, имеющими декартовую схему расположения.
Б01: 10.7868/80002338814030172
Введение. До настоящего времени модальное управление [1] применялось только для решения задач стабилизации линейных систем и синтезированное при этом управление являлось непрерывным. Существует целый класс объектов управления с релейно-импульсными исполнительными органами. В частности, к ним относятся двигатели постоянной тяги, нашедшие применение на космических аппаратах (КА), тормозные щитки самолетов, которые традиционно имеют два рабочих положения: убранное и выпущенное. Хотя перевод этих органов из одного положения в другое осуществляется с небольшой скоростью, иногда удобно пренебрегать конечностью времени работы механизмов. Аналогичное можно сказать и о тормозных щитках КА, которые могут задействоваться для решения задач управления движением в атмосфере планет.
Непосредственно применять модальное управление к задаче синтеза терминального управления для линейной стационарной системы с релейно-импульсными исполнительными органами не представляется возможным, однако его можно преобразовать к виду, позволяющему получать решение, базирующееся на методах модального управления. Описанию этой проблемы и посвящена данная работа.
1. Линейные стационарные объекты управления с релейно-импульсными исполнительными органами. Будем рассматривать движение объекта
X = Ax + Btf (1.1)
с релейно-импульсными исполнительными органами, положение которых в смысле действия "включено—выключено" с той или иной полярностью характеризует вектор — е К'. Здесь матрицы A и B являются постоянными, x е Rn — вектор состояния. Ставится задача: за заданное время tK перевести систему из некоторого начального положения x0(t0) е Rn в заданное конечное x(tK) = x3.
Для представления компоненты ..., —. вектора д функциями времени в предположении бинарности управляющих входов будем использовать выражения вида [2, 3]
( Ml \
Ао -д£(-1)" l(t - 4)
М
(
tf =
tfi(t,ti,t2,..., tMi)
^ (t,t[ ,t 2,..., tM)
M.
tf 0 -A. X (-1)" l(t - 0
M
(1.2)
J
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки. Заказ № 2014/104.
где -д(0 — одно из значений компоненты принимаемое за исходное, т.е. такое значение, которое соответствует положению 1-го релейного рулевого органа в начальный момент времени; А.. —
приращение скачкообразного изменения 1-й компоненты с учетом знака изменения; 1(г - ) — единичная ступенчатая функция, соответствующая Д-му по порядку изменению компоненты
М1 — число рассматриваемых скачкообразных изменений функции; N1 = 1,..., М1; / = 1, г.
Решение неоднородной линейной стационарной системы (1.1) в соответствии с [4] имеет вид
х(0 = в(г)х0(Г0) + |- т)В-д(тМт,
(1.3)
где G(í) — матрица Грина, дающая фундаментальное решение однородной системы. Выражение
|г - т)В"д(т
представляет собой матрицу-столбец частного решения неоднородной системы, которую обозначим через F(í) и в развернутом виде с учетом (1.2) при условии = 0 представим следующим образом:
Р(г, , гк) = |с(г - т)В-д(т)^т = Р*(г, х), гк) А,
(1.4)
где
¥*(г,х,,гк) =
( М1 Мг
- X(-1)%^;) ••• - X(-1)7ЗД
;=1 ;=1
- X(- 1);/«1(г4) ••• - X(- 1)7(V;)
V м ;=1
А =
А/
чА г у
хг = (г1 ..ЛМ,.)Т — набор моментов переключения, а функции7^(7,^) определяются выра-
жением
М г, г1;) = X \°а(г ~ т) Б ]к 1(т - г к )ёт = X -т)й т Б]к, / = 1,^, п, к = 1, •••, ;•
1=1 го 1=1 гк
Отсюда следует, что решение задачи управления объектом (1.1) сводится к определению компонент вектора xt, которые представляют собой непрерывные величины.
2. Терминальное модальное релейно-импульсное управление системой. Для терминального управления будем использовать в качестве аргумента текущее значение I и конечное значение гк. Построим (условную) дискретную систему следующего вида:
х р (т +1) = А рх р (т), у(т) = С рх р (т),
(2.1)
где т = 0,1,2, •••, N — дискретное время, определяемое на основе введения на отрезке времени управления г е [г0; гк ] равномерной сетки из N интервалов с шагом к = (гк - t0)/N, так что 1Т = 10 + тк
и tN = гк, а прогнозируемый расширенный вектор хр (т) включает компоненты xx(т) = x(т) и xt, а новые матрицы имеют вид
А _ 1(n+m)х(n+m), Ср _ ((пхп 0пхт).
Из (2.1) следует, что
х г (т + 1) = х г (т), (2.2)
при этом в соответствии с (1.3) можно также записать
х я(*к) = С(гк)х х«0) + Е(/к, X „ гк). (2.3)
Построим для системы (2.1) наблюдатель состояния полного ранга. В общем виде он определяется уравнением [1]
Xрр(т + 1) = (Ар - ЬрСр)Хрр(т) + Ьру(т). Оценка Xх(гк) запишется так
X (к) = С(г к)х х(г 0) + Р(г к, х „ г к).
(2.4)
(2.5)
Линеаризуем функцию Р(г, хг, гк) в окрестности Xг, используя разложение в ряд Тейлора. В ре-
зультате будем иметь
Щ X г, гк) = Щ X г, гк) + Щг'х г, ?к) X г,
дх г
где хг, гк) _ матрица Якоби, XXг = хг - X,. Вычислив далее вектор невязок XXх, получим
(2.6)
dx t
X x( т + 1) =
dF(t, x t, t K)
dx t
xx t (t).
(2.7)
Объединяя затем XXх и XXг в единый вектор и используя (2.4), с учетом (2.1) получим дискретную модель уравнения невязок
xр(т + 1) = (Aр - LpCp)xр(т),
(
A р = A р _
dF(T, x t, t к) ^
dx t
\ 0 1 mxm
(2.8) (2.9)
При выполнении условия полной наблюдаемости Калмана
(
rank
C A р
V C р A р
Dn+m-1
= n + m,
(2.10)
где т = М1 +-----+ Мг, выбором матрицы коэффициентов Ьр при известных матрицах Ар и Cp все-
гда можно обеспечить любое заданное размещение на С84аЬ (в нашем случае это область внутри
(2.11)
круга единичного радиуса) корней характеристического полинома (полюсов) [5, 6]
ёе1(П„ - (Арр - ЬрСр)) или эквивалентно собственных значений
eig(AР - LрСр) = Я, е С : det(X,Iм - (Aрр - LрСр)) = 0}
(2.12)
наблюдателя состояния. В этом случае нужно рассматривать вспомогательную дискретную М1-МО-систему вида [1]
v(t + 1) = Р tv(t) + С тп(т), п(т) = -LpV(x),
(2.13)
где V — вектор, имеющий размерность расширенного вектора хр; п _ вектор управления;
Бт = (Ар)т, Ст = (Ср)т. Поиск матрицы Ьр относится к классической задаче модального управления, а в нашем случае по сути — цель решения задачи терминального управления, поскольку идентификация моментов времени переключения релейно-импульсных исполнительных органов и является решением поставленной нами задачи. В случае выполнения условий полной на-
блюдаемости необходимые для решения задачи управления матрицы существуют, однако их надо научиться определять. Для решения задачи наблюдения возможно применять любой из методов модального управления. Поступим так же, как это сделано в [7], и воспользуемся методом, изложенным в [5, 6]. Введем многоуровневую декомпозицию MlMO-системы (2.13), представ-
T T
ляемую парой матриц (D , C ). Имеем
нулевой (исходный)уровень
A о = DT, Bo = (C p)T = CT, (2.14)
к-й уровень (к = 1,1, I = ceil [(n + m)/n] - 1)
A к = Bfc-1A k-1B fc-Ъ Bk = Bfc-1A k-1B k-i. (2.15)
Здесь BI — аннулятор (делитель нуля) матрицы Bk, т.е. B¿Bk = 0; — 2-полуобратная матрица
для BI [5, 6], т.е. матрица, удовлетворяющая условиям регулярности
= B = B ^ . (2.16)
Тогда в соответствии с [5] искомая матрица L = L0 е Rт вычисляется по рекурсивным формулам
Lj = B+AJ - ФJB+, (2.17)
Lk = B- A к -Ф kBB- = L k+1B £ + B+, к = 0, J - 1, (2.18)
и обеспечивает точное заданное размещение полюсов. Это действительно так, поскольку все элементы множества собственных значений eig (A - LC) совпадают с собственными значениями заданных устойчивых матриц Фk (т.е. собственных значений, лежащих внутри единичного круга).
Подытоживая сказанное, запишем алгоритм решения задачи терминального управления линейными стационарными MIMO-системами с релейно-импульсными исполнительными органами на основе методов модального управления. Он заключается в следующем.
1. Ищется решение (1.3) неоднородной линейной стационарной системы.
2. Задается число переключений релейно-импульсного исполнительного органа в каждом канале управления. Следует заметить, что оно не может быть меньше некоторого минимального значения, при котором существует решение задачи терминального управления, а также в соответствии с (2.8) число переключений должно удовлетворять условиям полной наблюдаемости (2.10).
3. Строятся модели: условная — (2.2) и идентификационная — (2.8).
4. Задаются начальные значения оценок X t. На их основе в соответствии с (2.7) определяются оценки вектора состояния xx и тем самым формируются начальные условия для разностного дискретного уравнения невязок (2.8).
5. С помощью метода модального управления [5], определяемого выражениями (2.14)—(2.18), решается задача поиска управления вспомогательной системы (2.13), в результате которой находится транспонированная матрица L p коэффициентов обратной связи наблюдателя.
6. С использованием значений LT на основании (2.4) находятся новые оценки вектора Xt и далее в соответствии с (2.5) — новые оценки прогнозируемого вектора состояния X х.
Поскольку рассматривается релейно-импульсное управление с одним уровнем переключения разной полярности, для каждой ближайшей пары переключений должно соблюдаться следующее мнемоническое правило. Если первое переключение функции (1.2) положительно, то второе обязательно должно быть отрицательным или наоборот. Отсюда следует необходимость кон
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.