научная статья по теме ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ НАГРЕВЕ СОВЕРШЕННОГО ВЯЗКОГО ГАЗА Физика

Текст научной статьи на тему «ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ НАГРЕВЕ СОВЕРШЕННОГО ВЯЗКОГО ГАЗА»

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 5, с. 753-759

УДК 536.24

ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ НАГРЕВЕ СОВЕРШЕННОГО ВЯЗКОГО ГАЗА

© 2004 г. П. Т. Зубков*, Е. М. Свиридов**, А. А. Губайдуллин**

*Тюменский государственный университет **Тюменский филиал института теоретической и прикладной механики СО РАН

E-mail: pzubkov@utmn.ru Поступила в редакцию 04.12.2003 г.

В нашей работе на основе метода контрольного объема и модифицированного алгоритма SIMPLER в полной постановке численно решена нестационарная задача о нагреве совершенного газа в плоском ограниченном слое.

ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Интенсивный нагрев сжимаемой среды на границе приводит к расширению газа, локальному повышению давления и, как следствие, образованию волн давления или термоакустических волн. Эти волны распространяются со скоростью звука (с учетом процессов затухания). Наличие термоакустических волн может существенно интенсифицировать теплообмен, особенно в случае отсутствия конвекции. По характеру распространения этих волн можно судить о молекулярном весе, химическом составе и температуре сжимаемой среды.

В [1, 2] для решения одномерной задачи о распространении термоакустических волн в полуограниченной среде [1] и замкнутом объеме [2] использовалось преобразование Лапласа. Результаты расчетов в линейном приближении и с учетом нелинейности были сопоставлены с экспериментом. В [3] численно исследовалась задача о движении газа в трубе Я^ке (прямая труба с сеточными нагревательными элементами) для двух вариантов: открытая труба и труба, закрытая пористой металлической пластиной. В [3] результаты расчетов сравнивались с экспериментальными данными. В работах [4-6], где изучалась естественная конвекция идеального газа в квадратной ячейке, показана степень применимости приближения Бусинеска и других предположений для указанной задачи. В [4] эта задача рассматривалась с учетом термоакустических процессов, возникающих на начальном этапе нагрева. Показано, что в этот период влияние гравитации являлось пренебрежимо малым. В [5, 6] приведены результаты расчетов лишь для стационарного случая.

Рассмотрим процесс нагрева совершенного вязкого газа в плоском слое при отсутствии силы тяжести. Получим решение задачи в одномерной постановке. На правой границе слоя зададим температуру Т0, на левой - постоянный тепловой поток Предположим, что начальная температура газа равна температуре на правой границе слоя, а начальное давление постоянно и равно р0. В качестве уравнения состояния газа примем закон Клапейрона. Допустим, что коэффициент динамической вязкости и коэффициент теплопроводности зависят от температуры [2], остальные теплофизические характеристики (ср, О от температуры и давления не зависят.

Математическая модель. Запишем систему уравнений с учетом сделанных предположений:

Эр + Эрм

Э t Эх

Эрм + дрмм _

dt Эх

- Эр + dL( 4дм)

Эх + Эх v 3 Эху'

Эрсх

Э t

T + ЭpcvuT

Э х

-(к— Эх V Эх

Эм 4 (Эм

- p Эх + 3 ЧЭх

(1)

(2)

(3)

Цо

ц _ -=( 1.4894T- 0.489TT0)'

4T о

к _ (1.66 JT -0.66VT0)' (4)

JT о

p _ RpT.

I - 1

щ + 1

I + 1

i + 1

Рис. 1. Схема контрольного объема.

Краевые условия для системы уравнений (1)-(3) зададим следующим образом:

дт

»узловые зующим ИНТеНСИВНОСТЬ Нагрева, И ЧИСЛОМ Рей-

точки Т-,

нольдса Re.

грань Численная схема. Для численного решения

контрольного данной задачи использовался метод контрольного о ъема объема и модифицированный алгоритм SIMPLER

[7] для случая сжимаемых сред.

Для удобства рассмотрим одномерную задачу, которая описывается системой дифференциальных уравнений

= 0, L

— 0, _k-

д х

— qw, T\x — L — T 0,

T\t — о — T0, P\t — о — Po,

P It — 0 — p0-

Введем безразмерные параметры

(5)

X — --, U —

и

T — — —

t

P

— -, p—p-,0 — T-,

P0 P0 T0

t * u *

L ' — JRT0.

(6)

Подставляя (6) в (1)-(5), получим систему уравнений с краевыми условиями в безразмерном виде:

dP + dPU — 0

дт + дХ °

др и др uu — _ др ди

дт + дХ д X + Re 3 д X дХ

др 0 др U 0 — y д Г£д0 дт + д X PrRe дХ X

_ (Y _I ) р ди + 4 /д^2

(y 1)р дX + 3 Re ЧдХ) ,

q — 1.48970 -0.489, £ — 1.6670 -0.66, P — р 0,

— А, 0|x — 1 — 1,

(7)

(8)

(9) (10)

U|x — 0,1 — 0, _д0

дХ

X — 0

0|т — 0 — 1, P|т — 0 — 1, р |т — 0 — 1.

В (7)-(11) входят критерии

Pr — IC, y

_ cp л — qwL

— , А — kT0;

Re —

k 0 c_

Lu* LJRT0

Эр + Эри — 0,

дt д x

(13)

д д д p д ди „

-т-ри + --— рии — _-г-+ |----- + S, (14)

дt дх дх дх дх

д л д _ д„ дФ; . дрф + д-риф — д-Г ЭХ- + S, г — 1 m, (15)

где Г;, | и S - известные функции координат и времени, а

P = Kp.

(16)

Здесь (13) - уравнение неразрывности, (14) -уравнение движения, (15) - уравнение для температуры, концентрации и других параметров, (16) -уравнение состояния, в котором К = К(х, I, Ф;) -известная функция.

Начальные и граничные условия зададим в виде

It — 0

и0, P It — (

р0,

ф,

¿It — 0 — i — 1 rn;

Ф;

i x—0

и|х — 0 — и1, UIx — L — ип, р |х — 0 — р1, P lx — L — рп,

— Ф;1, Ф;|х — L — Ф;п, i — 1, m.

(17)

(18)

Для получения дискретного аналога уравнения неразрывности (13) и уравнения движения (14) (11) воспользуемся шахматной сеткой (рис. 1). Интегрируя уравнение (14) по контрольному объему (I - 1) - (I) и воспользовавшись каким-либо разностным методом (например, схемой со степенным законом [7]), получаем систему нелинейных уравнений

(12) ам — b;U; _1 + C;U; + 1 + (Pj _1_ Pj) + d;,

i — 3, n _ 1.

(19)

Таким образом, решение задачи определяется Коэффициенты а, Ь, с, и в (19) являются функ-четырьмя критериями подобия: числом Прандтля циями скорости и, плотности р и вязкости ц. По-Рг, показателем адиабаты у, числом А, характери- лагая, что эти коэффициенты известны (вычис-

u

I

х

0

х

и

0

0

лены на предыдущей итерации), соотношения (19) представим следующим образом:

biui -1 + ciui +1 + d; 1 ( ) ui _ -+ - (pi-1- pi) _

ai a i

_ iii + e( pi -1- pi)' i _ 3, n - 1;

мi _

biMi -1 + с{м{ + 1 + di

(20)

(21)

A + Kpi + & + 1- Kpfii + 1 _

T

_ Pi+1 ei+1( pi +1- pi) - p iei(pi- pi-1)' i _ 2, n - 1.

(24)

Эк^ Экм _ — Э■

Эt Эх ^ _ Эх'

(25)

где g = реД. Таким образом, выражение для обобщенного потока будет иметь вид

J _ Км - g ^ Эх

(26)

Аппроксимируя обобщенный поток (26) схемой со степенным законом [7], получим дискретное уравнение для вычисления давления

а!Р! = Ъ1р1 _1 + С1Р; +1 + р°мД/т, I = 2, и -1. (27)

Как известно, уравнение давления для несжимаемых сред записывается следующим образом [8]:

Ap _ к V • р V.

(28)

Далее, интегрируя уравнение неразрывности (13) по контрольному объему (! - 1) - (!), получим

new old

Pi -Pi A + p+ 1 м1 + 1- рм _ 0' i _ 2, n -1. (22)

В (22) T - шаг по времени. Подставляя (20) в (22), получим уравнение для вычисления давления

new old

i T 1 A + рi + 1 (Hi + 1 + ei + 1(pi - pi +1)) - (23) - Pi(мi + 1 + ei(pi-1- pi)) _ 0' где i = 2, n - 1.

Используя уравнение состояния (16), перепишем (23)в виде

new old

Kpi - Kp

Определенную трудность для вычисления представляют второе и третье слагаемые в левой части (24), где присутствует неизвестное давление на грани контрольного объема. По сути, эти слагаемые представляют собой конвективный поток. В работе [7] предлагается аппроксимировать не конвективный поток, так как это может привести к неустойчивости, а обобщенный конвективно-диффузионный поток. Чтобы найти выражение для обобщенного потока, запишем дифференциальное уравнение, которому соответствует дискретный аналог (24)

Необходимо отметить принципиальное отличие между уравнениями давления для сжимаемых и несжимаемых сред. Сравнивая уравнения (25) и (28), можно отметить, что в случае несжимаемой среды информация об изменении давления распространяется с бесконечной скоростью, в то время как в сжимаемой среде скорость распространения информации об изменении давления является конечной. Для сжимаемых сред уравнение давления является эволюционным, так как содержит нестационарный член. Это упрощает его решение по сравнению с уравнением давления для несжимаемых сред, которое представляет собой уравнение Пуассона, требующее для решения организации внутренних итераций.

Тестовые численные расчеты были проведены для условий, соответствующих задачам [2, 4].

Предварительно выбранная расчетная сетка состояла из 1000 узлов и удовлетворяла условию на временной шаг Дт = 10-1ДХ. Данное условие означало, что за время Дт газ пройдет расстояние не более чем Дх, где ДХ - размер контрольного объема.

Решение задачи проводилось при значениях безразмерных чисел Рг = 0.71; у = 1.4; А = 0.1, 1, 10; Яе = 104.

ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На рис. 2-4 представлены зависимости безразмерного теплового потока на правой границе, безразмерной скорости и температуры в характерных точках от безразмерного времени. Процесс нагрева газа происходит следующим образом: в начале нагрева возникает локальное возмущение давления, которое движется со скоростью звука вправо, затем отражаясь от правой стенки, движется влево и отражается от левой стенки. Процесс периодически повторяется с уменьшающимся периодом, связанным с увеличением температуры в объеме, а следовательно, и скорости звука, и с уменьшающейся амплитудой. Как видно из рис. 2-4, можно выделить постоянный период Дт08 - 1.8.

Возникающие волны ведут себя по-разному в зависимости от числа А, характеризующего интенсивность нагрева. Как видно из рис. 5 для А < 1 (Яе = 104) газ движется только в направлении сле-

е

4 х 10-2

3 х 10

2 х 10

1 х 10

(а)

е

5.40 х 10-1

4.05 х 10

г1

2.70 х 10

1-1

1.35 х 10

-1

(б)

20 40

60 80 100 т

Рис. 2. Зависимость безразмерного теплового потока на правой границе от безразмерного времени: (а) - А = 0.1, А = 1; (б) - А = 10.

и

1.4 х 10-4

1.12 х 10-4 8.4 х 10-5 5.6 х 10-5 2.8 х 10-5

(а)

и

А = 1

и

т

и 0.0016

0.0012 0.0008 0.0004 0

А = 0.1

* -0.0004

(б)

А = 10

0 10 20 30 40 50 0 20 40 60 80

т

Рис. 3. Зависимость безразмерной скорости в центре области от безразмерного времени: (а) - А = 0.1, А = 1; (б) - А = 10.

100 т

ва направо. При этом фронт волны ярко выражен, изменение давления и температуры (рис. 4) происходит скачкообразно. Для А ~ 10 (Яе = 104) на начал

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком