МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015
УДК 534
© 2015 г. А. К. БЕЛЯЕВ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ВИБРАЦИИ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
Предложено теоретическое описание, учитывающее неоднородность сложных систем и недостаточность статистической информации о геометрических и механических параметрах материалов в рамках одного и того же подхода. Подход основан на представлении системы в виде огромного количества подструктур с недостоверными механическими и геометрическими параметрами. Для случая высокой плотности собственных частот подструктур получены аналитические выражения для усредненной энергии подструктуры, а также для ее спектральной плотности. Аналогичные формулы выведены также для спектральных плотностей подведенной, рассеянной и переданной мощностей вибрационных потоков. Установлены уравнения, описывающие передачу высокочастотной вибрационной энергии от подструктуры к подструктуре. Показано, что поток вибрационной энергии в сложных системах и ее перераспределение между подструктурами подчиняется уравнению, являющимся механическим аналогом дискретной формы обобщенного закона Фурье в теплопроводности.
Ключевые слова: высокочастотная вибрация, микропластичность, случайные параметры, вибрационная энергия, обобщенный закон Фурье.
1. Введение. Анализ вибрационного состояния инженерных систем осложняется тем, что информация о механических свойствах материалов, входящих в качестве параметров в динамические уравнения, определяющие соотношения и граничные условия, известна лишь с некоторой степенью достоверности. Несмотря на принципиально различную природу этих эффектов можно предложить теоретическое описание, учитывающее неоднородность и недостаточность статистической информации о свойствах материалов в рамках одного и того же подхода. Этот единый подход использует динамику сред со случайными механическими параметрами.
Любая сложная инженерная система состоит из множества отдельных тел разного размера, разной конфигурации с различными механическими свойствами. Любые попытки педантичного описания всей сложности реальных конструкций обречены на неудачу по следующим причинам. Во-первых, наличие многих неконтролируемых факторов играет принципиальную роль. Они возникают из упругих, массовых и демпфирующих характеристик, вызванных неоднородностью свойств материала и недостоверностью взаимодействия отдельных подструктур. Успехи вычислительной механики приводят к тому, что вся конструкция представляет собой динамически слабосвязанную систему, то есть вибрация частично локализуется в отдельных подструктурах, причем формы колебаний и условия взаимодействия подструктур известны в лучшем случае только с некоторой степенью достоверности. Наконец, даже если было бы возможно разрешить краевую задачу, учитывая всю сложность структуры, интерпретация этого результата представляет значительную проблему. Объясняется это тем, что поле вибрации в каждой подструктуре представляют собой очень слож-
5 Механика твердого тела, № 2
129
ную функцию времени и пространственных координат. Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод, что попытки точного решения этой задачи заходят в тупик ввиду сложности вычислений, недостоверности полученного результата и невозможности его разумной интерпретации.
Ниже предлагается альтернативный подход к решению проблемы, основанный на представлении системы (или структуры) в виде огромного количества подструктур с недостоверными механическими и геометрическими параметрами.
2. Усредненные энергетические соотношения. Рассматривается механическая система, занимающая объем V и состоящая из большого количества подструктур Уп, где п = 1, 2, ..., N. Характерный размер каждой подструктуры значительно меньше размера общего объема V. Динамика характерной подструктуры Vn описывается следующим дифференциальным уравнением:
г е Уп, V • т + И - р 111 = 0 (2.1)
Здесь г — радиус-вектор точки, h — вектор внешних сил, т — тензор напряжений, р — плотность, точка сверху означает дифференцирование по времени и V — оператор Гамильтона. Умножим это уравнение на 1 и проинтегрируем по объему Vn. Используя правило дифференцирования V ■ т ■ и = V ■ (т ■ и) — т •• Vи , применяя теорему Остроградского—Гаусса и правило вычисления производной по времени от материального объема, имеем
• 1 йУ + ^ • ийУ- |т ■■ вйУ- Т = 0 (2.2)
Уп у„
где 8п — поверхность подструктуры V,;, т и г — тензоры напряжений и деформации, Т =
= - Г ри ■ и dV — кинетическая энергия подструктуры V,,. Вектор напряжений на по-
2
верхности $п с нормалью N обозначен f = N ■ т и совпадает с вектором внешней нагрузки на этой поверхности. Уравнение (2.2) является интегральной формой первого закона термодинамики и описывает баланс мощностей в любой момент времени. Баланс мощностей (2.2), усредненный за период Р любого периодического процесса таков
' + р ? \
Л = 0 (2.3)
1 11 • ийУ + ^ • ийУ- |т ■■ вйУ- Т
< Уп Яп Уп
Ясно, что для периодического процесса с периодом Р:
I + р
< Т) = Р | = р [ т(I + Р) - т(01 = о
t
где ( } означает вышеозначенное усреднение. Таким образом, усредненный баланс мощностей (2.3) принимает вид
И • ий f • ий т ■■ вйП = 0 (2.4)
Уп
3. Моделирование поглощения энергии в подструктурах. Для описания эффектов внутреннего трения, и как следствие, рассеяния энергии, применимы универсальные методы математической теории пластичности, развитые Е.В. Ломакиным [1, 2]. Для моделирования амплитудно-зависимого внутреннего трения, которое представляет собой эффект микропластических деформаций, ниже будет использована реологическая модель упругопластического материала Ишлинского [3].
Шаровые части тензоров напряжений и деформаций предполагаются чисто упругими, то есть они не вызывают поглощения энергии. Выделим девиаторные части $
т = стЕ + 8, £ = — Е + е, где ст и 9 обозначают среднее нормальное напряжение и объемную деформацию ст = а 8 и е — соответствующие девиаторные части.
Реологическая модель материала Ишлинского состоит из бесконечного числа плеч. В каждом плече пружина жесткости Gdy соединена последовательно с идеальным демпфером сухого трения Gydy, где G обозначает модуль сдвига. Предполагается, что жесткость всех пружин G одинакова и совпадает с модулем сдвига материала, тогда как безразмерные пределы текучести у различны, распределены непрерывно и имеют плостность p(y). Тогда, как показано в [3]:
8 = 20
е -
|еуР (у) dy
где еу — пластическая деформация в плече у, причем
еу = 0, е - еу) ■■ (е - еу)/2 <,
.е у Ф 0, у е у / Оу = е - е у
(3.1)
где иу = д/еу •• еу/2 — интенсивность скорости деформации. Это позволит переписать последнее слагаемое в (2.4) в виде
Iт ■■
в dV =
к&2 + Ое ■■ е\ - 2О<ё
11/ 2Ое ■■ |еЪур(у)йу\
dV
■■ \еуР (у) ¿у\
dV =
(3.2)
так как производная по времени от средней потенциальной энергии упругой части материала равна нулю. С учетом (3.2) уравнение (2.4) принимает вид
\Ь ■ иdVi + Г20е
|е уР (у) dyd
Г • и dVi = 0
(3.3)
Физический смысл полученного равенства очевиден — оно выражает баланс средних мощностей. Первое слагаемое — мощность поступившей в объем энергии, второе — мощность поглощенной (рассеянной) энергии и последнее — мощность энергии, поступившей или ушедшей через границу подсистемы.
0
0
0
зо
0
5* 131
То, что уравнение (3.3) выполняется для любого периодического процесса, подразумевает, что оно справедливо и для гармоники любой частоты. Это означает, что можно воспользоваться принципом соответствия, т.е. ввести комплексный модуль сдвига и коэффициент демпфирования [3] и пользоваться уравнениями динамической теории упругости.
Применение метода гармонической линеаризации к нелинейному тензорному уравнению (3.1) реализовано в [3]. Результатом является следующее определяющее уравнение s = 2Gce, где Gc обозначает комплексный модуль сдвига
Ос = О
с 1
1 -
|(п2 - IПл/1 - (п)2у п) у ¿П
о
П = ^ (3.4)
яГ
а п может пониматься как безразмерный предел текучести.
4. Энергия подструктуры. Согласно теореме вириала [4] полная энергия E = 2(7) только для чисто упругих систем при малых деформациях. По этой причине разумно не иметь дело с полной энергией подструктуры, а оперировать с кинетической энергией.
Поскольку вибрация локализуется в каждой подструктуре, то вектор абсолютного перемещения подструктуры ^(г) представим в виде ряда по формам свободных упругих колебаний ^¿(г):
да
г е V«, и„ (г, ^ = ^ ипк(г) дпк( 0 (4.1)
к = 1
где qnk(t) обозначает к-ую обобщенную координату. Формы колебаний удовлетворяют условиям ортогональности
|Ри„к • и„А = 8кь |(к+ 4Ое„к •• е„,)¿V = О^н (4.2)
V« vn
где 0.пк — собственная частота, а 8к1 — символ Кронекера. Используя метод Галеркина, т.е. умножая уравнение динамики (2.1) на форму колебаний ^¿(г), интегрируя по объему Уп и учитывая условия ортогональности (4.2) получаем следующие уравнения для обобщенных координат:
да
4„к + °„кЯ„к + X Вк14„1 = ' а„к^ (4.3)
к = 1
где Бк1 = Г 2 (Э — Gc)enk •• enIDV, причем |Ду| О.„к ввиду того, что внутреннее трение
в каждой подструктуре мало, и это позволяет пренебречь недиагональными компонентами. Тогда, ограничиваясь разысканием только асимптотически главной части решения системы (4.3) получим
Я„к + (О„к + Акк)¿„к = • и„^ (4.4)
V«
Вводим спектральные представления для внешних нагрузок и обобщенных координат
И(г, ^ = р(г, и)е а^ю, д„к = |9пк(ю)еаtdю (4.5)
-да -да
откуда, путем подстановки (4.5) в (4.4), находим спектр обобщенной координаты
9пк(и) = —2-1- Р(г, ю) • UnkdV
- а + &пк(. 1 + ¿V) V
'п
где безразмерный коэффициент внутреннего трения (см. (3.4)) имеет следующий вид: 1
0
1 _
Ввиду неопределенности механических свойств подструктур и внешнего воздействия требуется статистическое усреднение. Усредненная кинетическая энергия подструктуры V'п имеет вид
да да
< тп) = 2 IОи •^ = 1X X < 9пк9*1) IРипк • ип1^ =
V к = 11 = 1 V
п п (4.6)
да да да , . . , . , .. , . ¿(а -
= 1 X г г г ги пк( г) • < Ь ( г, (В ) И * ( г 1, Ю1 ) ) • ип к( г 1 )ю ю 1е d ю dю 1 ^ )
2 Х1 -да -да11 [ - ю2 + п пк( 1 + ¿V ) ] [ - ю 1 + п пк( 1 - ¿V ) ] 1
Поскольку рассматриваются стационар
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.