ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 531.31
© 2014 г. А. М. Шматков
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕОБРАТИМОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ОБЛАДАЮЩЕЙ СВОЙСТВОМ ВОЗВРАЩАЕМОСТИ
Изучен процесс перехода из одного термодинамического состояния в другое механической системы, обладающей свойством возвращаемости. Установлено, что понятию состояния в феноменологической термодинамике соответствует понятие множества достижимости в механике. Показано, что наличие состояний, обратимых в рамках классической механики, не противоречит необратимости термодинамических состояний.
1. Введение. Парадокс возвращаемости [1], описанный Цермело в 1896 г., широко известен и часто приводится в литературе, посвященной проблеме обратимости в поведении механических систем (см., например, [2]), а также в учебных пособиях по классической механике [3]. Напомним кратко суть вопроса.
Возьмем сосуд, разделенный пополам перегородкой, причем одна половина наполнена газом, а другая пуста. Газ будем считать разреженным до такой степени, что отдельные частицы никогда не взаимодействуют между собой. Пусть стенки сосуда абсолютно гладкие, и все удары частиц о них абсолютно упругие. Мгновенно уберем перегородку. Произойдет расширение газа в пустоту. Доказано [1], что, спустя конечный интервал времени, все частицы должны вернуться в исходное состояние, т.е. снова собраться в первой половине сосуда. Получается, что процесс расширения в пустоту — обратимый, а согласно второму закону термодинамики расширение газа в пустоту необратимо.
Для анализа проблемы вспомним о том, что этот закон сформулирован применительно к термодинамическим состояниям. Следовательно, прежде всего следует описать в терминах классической механики термодинамические состояния. В рассматриваемой задаче существенны два из них — исходное и конечное. Сначала для простоты предположим, что первое однозначно задано координатами и скоростями всех частиц газа, т.е. его описание тождественно совпадает с таковым для состояния системы в механике. Оказывается, нельзя просто проинтегрировать соответствующие уравнения движения, чтобы получить описание конечного термодинамического состояния, поскольку важную роль играет процесс перехода. Он может быть реализован многими способами, причем для вычисления энтропии мысленный эксперимент с мгновенным исчезновением перегородки может оказаться неприменим. Действительно, рассмотрим процесс с точки зрения феноменологической термодинамики (см., скажем, [4]). Обозначим энтропию в исходном состоянии 1 через 5\, а в конечном 2 — через £2. Тогда по определению
где 8 0 — количество тепла, получаемое газом при переходе из состояния 1 в состояние 2, а Т — его температура. Процесс в замкнутой системе обратим, если 52 < 5\. В описанном выше эксперименте внешнего притока или оттока тепла нет. Следовательно, 80 = 0 и согласно равенству (1.1) получаем 52 = 5\, т.е. приходим к совершенно невер-
(1.1)
ному выводу об обратимости процесса. Как было указано [4], причина ошибки в том, что для применения равенства (1.1) переход из начального состояния в конечное должен осуществляться квазистатически, а расширение газа в пустоту таковым не является.
Теперь рассмотрим квазистатический процесс [4]. Пусть количество газа равно одному молю. Согласно закону Джоуля его температура T в процессе расширения не меняется [4]. Приведем газ в тепловой контакт с нагревателем, имеющим температуру Т. Тогда, постепенно перемещая перегородку и тем самым уменьшая давление на газ, его можно изотермически перевести в конечное состояние. При этом газ будет получать энергию от нагревателя и преобразовывать ее в соответствующую работу. Для изотермического процесса эта работа может быть найдена по формуле
50 = РйУ = —ё¥, 50 = -ё¥ (1.2)
V Т V
где P — давление газа, а R — универсальная газовая постоянная. Заметим, что при выводе соотношений (1.2) использовано уравнение состояния PV = —Т. На основании равенств (1.1) и (1.2) получаем
52 - = — Г — = — > 0 (1.3)
21 Л V V
1^2 1
где Vl — начальный, а VI — конечный объем газа. Из условия (1.3) следует, что расширение газа в пустоту необратимо.
Итак, для анализа конечного термодинамического состояния нужно рассмотреть описанный изотермический процесс с точки зрения классической механики.
2. Реализация процесса. Поскольку расширяющийся газ производит работу, при взаимодействии с перемещающейся перегородкой частицы теряют энергию, причем величина потери зависит, в частности, от скорости частицы до удара. На противоположной стенке разместим устройство, которое будет выполнять функцию нагревателя. Оно должно толкать ударяющиеся об него объекты и увеличивать их скорость. Так как процесс изотермический, среднее количество энергии, передаваемой устройством, должно быть таким, чтобы компенсировать ее потери при столкновениях с перегородкой.
Видно, что приведение системы в конечное термодинамическое состояние может быть выполнено большим количеством способов. Во-первых, толкающее устройство может функционировать по различным алгоритмам, поскольку от него требуется только поддержание температуры Т, т.е. средней энергии частицы. Во-вторых, изотермический процесс может быть реализован не так, как описано выше, а по-другому. В-третьих, совершенно необязательно использовать именно изотермический процесс: энтропия представляет собой функцию состояния системы и не зависит от способа его получения.
Следовательно, с точки зрения классической механики, под конечным состоянием в феноменологической термодинамике следует понимать совокупность всех возможных значений координат и скоростей, которые могут быть реализованы в результате применения всех описанных механических процессов. Множество точек фазового пространства, которые могут быть достигнуты динамической системой в результате воздействия на нее всех возможных реализаций некоторых внешних сил, называется множеством достижимости (см., например, [5]).
Даже если исходно система занимала конечное множество точек в объеме Vl, то в итоге любая заданная частица в любой заданный момент времени может оказаться в любой точке объема ¥2. Другими словами, даже если в начальном термодинамическом состоянии объем системы в пространстве координат был равен нулю, в конечном состоянии он будет равен ¥2. Однако нет никаких оснований полагать, что исходное со-
380
А.М. Шматков
стояние могло быть сформировано только каким-либо совершенно уникальным способом, принципиально отличным от тех, с помощью которых можно получить конечное состояние. Тогда в начале множество достижимости в пространстве координат занимало объем У1, а в конце — У2. Поскольку в результате опыта температура не должна измениться ни при каком переходном процессе, можно сказать, что и объем множества достижимости в пространстве скоростей не изменится. Следовательно, фазовый объем множества достижимости системы увеличится в У2/У1 раз, что соответствует увеличению термодинамической энтропии на Я Ы(У2 / У) согласно условию (1.3).
Отметим, что множества достижимости обладают специфической динамикой. В рассматриваемой механической системе эволюция начального термодинамического состояния, т.е. начального множества достижимости, необратима даже в случае мгновенного исчезновения перегородки, без участия дополнительных приспособлений. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Пусть возможные начальные значения координаты х и скорости и частиц не превышают по модулю а и Ь соответственно, а длина сосуда равна 21, причем I > а. Тогда исходное множество достижимости системы на фазовой плоскости — прямоугольник, показанный на обеих частях фигуры пунктиром. Посмотрим, как будет выглядеть множество достижимости, спустя некоторое время, для чего применим простой способ. Сначала предположим, что стенки у сосуда отсутствуют. Тогда искомое множество будет иметь вид параллелограмма, показанного в левой части фигуры штриховкой. Его площадь равна площади прямоугольника, показанного пунктиром. Затем выполним соответствующие преобразования центральной симметрии над частями, выходящими за пределы сосуда. Искомое множество будет состоять из трех фрагментов, показанных штриховкой в правой части фигуры. Далее количество фрагментов будет неограниченно возрастать при сохранении величины суммарной площади, а ширина каждого из них, как и угол наклона к оси абсцисс — уменьшаться. Поведение описанного множества достижимости необратимо, несмотря на то, что любое из образующих его механических состояний, взятое отдельно, обратимо.
3. Выводы.
1°. Термин "состояние" в классической механике имеет совершенно иной смысл, чем в феноменологической термодинамике. То, что в последней понимают под состоянием, в механике называют множеством достижимости. Поэтому следует говорить отдельно о термодинамическом состоянии и его элементах — механических состояниях.
2°. Естественным аналогом термодинамической энтропии в классической механике можно считать некоторую линейную функцию логарифма фазового объема, занимаемого соответствующим множеством достижимости.
3°. Механическое состояние замкнутой системы может быть обратимым, а термодинамическое — нет. Утверждение о необратимости в рамках термодинамики относится исключительно к термодинамическим состояниям. Для его справедливости достаточно, чтобы в природе практически не встречались процессы, удовлетворяющие из-
вестным условиям [4] и существенно уменьшающие фазовый объем множества достижимости, соответствующего определенному термодинамическому состоянию.
Заметим, что указанные выводы могут быть распространены на случай взаимодействующих частиц, для которого парадокс Цермело также имеет место [1].
4. "Демон Максвелла". В рассмотренном выше опыте механическое устройство может работать в режиме, значительно отличающемся от квазистатического и получать энергию от перемещающейся перегородки. Тогда экспериментальная установка в целом может функционировать как замкнутая система. Для заметного уменьшения фазового объема механическое устройство должно уметь определять скорость объекта до соударения и, в зависимости от результата, толкать его тем или иным
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.