Письма в ЖЭТФ, том 89, вып. 11, с.670-675
© 2009 г. 10 июня
Термодинамические измерения в дробном квантовом эффекте Холла и модель композитных фермионов
М. Г. Прокудина+*, В. С. Храпай+
+ Учреждение Академии Наук институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Московская обл., Россия * Московский физико-технический институт (государственный университет), 141700 Долгопрудный, Московская обл., Россия
Поступила в редакцию 29 апреля 2009 г.
Проведено количественное сравнение данных магнитоемкостных измерений на высококачественных образцах в дробном квантовом эффекте Холла с моделью композитных фермионов. Для этих целей выведена связь между химпотенциалом электронов и спектром квазичастиц. Влияние температуры Т вычислено в двухуровневом приближении. Расчет количественно описывает падение измеренного скачка химпотенциала при факторах заполнения р = 1/3, 2/5 с ростом Т. В сжимаемой области 1/3 < V < 2/5 наклон температурной зависимости й^е/<1р{Т) также хорошо согласуется с расчетом. Расхождение теории композитных фермионов с экспериментом упирается в неверно предсказанные величины щелей и их зависимость от знаменателя дроби.
РА СБ: 73.21.-Ь, 73.43.—£
Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) состоит в квантовании холловской проводимости двумерной системы при определенных рациональных факторах заполнения уровней Ландау V = НсПц/еВ [1], где п„ и В - электронная плотность и магнитное поле; к, с, е - постоянная Планка, скорость света, заряд электрона. Общепринятые теории объясняют ДКЭХ как многочастичное явление, обусловленное кулонов-ским взаимодействием между двумерными электронами. Один из подходов состоит в построении вариационной волновой функции основного состояния [2], в другом - задача сводится к одночастичной путем введения новых квазичастиц - композитных фермионов [3], подверженных квантованию Ландау в эффективном магнитном поле, отличном от внешнего.
Прямой проверкой адекватности теорий [2, 3] является сравнение предсказываемых ими величин энергетических щелей с экспериментом. Однако основанные на теории [2] численные расчеты [4] не дают удовлетворительного согласия с экспериментально измеренными значениями щели подвижности [57] и скачка химического потенциала (далее - химпотенциала) [8-11], что обычно приписывают недостаточному качеству образцов. Тем не менее, теориями качественно объясняется ряд экспериментальных наблюдений при дробных V, в частности, спиновые переходы [12] и иерархия состояний ДКЭХ [3]. Одно-частичная модель композитных фермионов обладает тем преимуществом, что может быть использована и при отходе от точных дробных факторов заполнения, где, например, верно предсказывает геометри-
ческие резонансы, вызванные поверхностными акустическими волнами в окрестности V = 1/2 [13].
Метод емкостной спектроскопии позволяет проводить прямые термодинамические измерения химпотенциала двумерной системы [14]. При исследовании ДКЭХ обнаружена сильная температурная зависимость скачков химпотенциала Аце при дробных V [8-11]. При этом с ростом температуры приращение химпотенциала между значениями при V = 1/4 и V = 1/2 не меняется, в качественном согласии с тепловым размытием функции распределения [11]. Целью настоящей работы является количественное сравнение эксперимента с моделью композитных фермионов [15]. Для описания температурных зависимостей химпотенциал электронов выражен через спектр квазичастиц. Влияние температуры описано в двухуровневом приближении [16], модифицированном для случая ДКЭХ с использованием эмпирической зависимости [1е{у) [11]. Подробно анализируется роль беспорядка, присутствующего в реальных образцах. Рассчитанное падение с ростом температуры скачка Аце(Т) и производной йЦе/йи^Г) в сжимаемой области между дробными V в разы сильнее, чем в целочисленном квантовом эффекте Холла (ЦКЭХ), и хорошо согласуется с экспериментом. Результаты показывают, что модель [15] могла бы количественно соответствовать эксперименту при условии правильно предсказанных величин для энергетических щелей. Последнее, в частности, подразумевает отказ от эквидистантности уровней Ландау композитного фермиона.
1. Методика измерения и образцы. Экспериментальные данные, использованные в этой работе, были получены нами ранее совместно с другими соавторами [11]. Для емкостных измерений использовался образец из гетероструктуры СаАз/АЮаАв с низкотемпературной подвижностью и 4 • 10® см2/В-с при электронной плотности п8 = 9 • 101Осм-2 с напыленным на поверхность металлическим затвором. Подробности эксперимента опубликованы ранее в [11].
Емкость между затвором и двумерным газом связана с термодинамической плотностью состояний В = йпц/й^е электронной системы [14]: С-1 = = С0~1 + 1/(е21>), где Со - геометрическая емкость на единицу площади между двумерным газом и затвором. Типичная зависимость магнитоемкости С{и) приведена на рис.1а. В узкой области около дробных факторов заполнения V = 1/3,2/5 система переходит в одно из несжимаемых состояний ДКЭХ, и наблюдается провал в емкости, соответствующий провалу в термодинамической плотности состояний. Провалы в емкости разделены максимумами, в которых С > Со, то есть В < 0. В окрестности V = 1/2 емкость во всем интервале исследованных полей с экспериментальной точностью совпадает с величиной Со, вычисленной из С(В = 0) и В невзаимодействующих электронов в нулевом магнитном поле Во = гп/жН2 (где тп = 0.067те и те - масса свободного электрона).
Зависимость це(пе) получается интегрированием емкости: = е2/Со /(Со — С) • С^гйпа. На рис.1Ь приведена зависимость (1^), полученная из кривых рис.1а, с постоянной интегрирования, выбранной из условия /¿е( 1/3) = 0. Химпотенциал сильно осциллирует: резко растет с фактором заполнения в окрестности дробных V и падает в сжимаемых областях. Скачок химпотенциала (амплитуда осцилляции /¿е) получается интегрированием минимума С < Со'-
2 Г Г< _ Г<
- ' — сцуд
0.05
Д Це =
СП
/
С
-йп, =
Сп
В пределе Т —^ 0 скачок химпотенциала напрямую связан с изломом энергии £о основного состояния двумерной электронной системы при дробном V: Дце = ё,£0/йп8\1,+0 - ё,£0/йп8\1,-0.
2. Модель композитных фермионов. В модели композитных фермионов межэлектронное взаимодействие в приближении среднего поля представлено как добавочный векторный потенциал. В результате, система взаимодействующих электронов на нижнем уровне Ландау может быть сведена к системе невзаимодействующих композитных фермионов, движущихся в эффективном магнитном поле
О &
О
-0.05 -
-0.10
> и
-0.5
-1.0
Рис.1. Экспериментальные зависимости относительного отклонения емкости от геометрической (а) и химпотенциала (Ь) от фактора заполнения в поле 16 Тл в низкотемпературном пределе (сплошные линии). Предполагаемое поведение химпотенциала в идеальном образце (Ь) и осуществленная с его помощью подгонка (см. текст) экспериментальной кривой емкости (а) показаны шриховыми линиями. Пунктиром построена зависимость Це^) в модели композитных фермионов [15], отнормированная по скачку для V = 1/3
В* = В — фксПц/е, где ф - количество квантов добавочного магнитного потока в расчете на один электрон. Для разных последовательностей дробей факторы заполнения электронов и композитных фермионов {и* = ЬсПц/еВ*) связаны как V = V*¡{фу* ± 1), то есть ДКЭХ электронов сводится к целочисленному эффекту Холла композитных фермионов. Рассматриваемым здесь дробям 1/3, 2/5 отвечает случай ф = 2 и знака '+', так что эффективное поле В* = В/д (где обозначено д = 2у* + 1) зануляется при V = 1/2 (при целых V* д есть знаменатель дроби).
Энергия основного (к = 0) и возбужденных состояний всей системы выражается через уровни энер-
111111
111111
672
М. Г. Прокудина, В. С. Храпай
гии композитных фермионов Еп и числа их заполнения Ек (ь>*,В*) = Дифференци-
п
руя свободную энергию Р = —7"1п У]/( г при
постоянных площади А и температуре, можно найти химпотенциал двумерной электронной системы /ле = дР/дИе\А,т■ Изменение числа электронов Ие приводит не только к изменению V*, но и меняет поле В*, а также, возможно [15], и эффективную массу то*. Формально рассматривая I/*, В* и то* как независимые переменные, имеем:
Ме =
<)Р сШ*
йто*
ди* Ш. дБ* <Ж, дт* <Ж,
Поскольку В*, то* входят в только через уровни энергии Еп = (п + 1/2)НеВ*/т*с и вырождение уровня еВ* ¡Ь,с, легко показать, что последние два члена в этом выражении пропорциональны средней полной энергии системы £ = Х^к Х^к ■ При взятии произ-
водных в первом слагаемом следует учесть, что йь>*¡йНе = д/(АеВ/Ьс). Кроме того, при постоянном В* можно написать 5V* = 5Иср/(АеВ*/Ьс), где Иср - число композитных фермионов (Иср = Щ). Окончательно, вводя химпотенциал композитных фермионов как производную от свободной энергии по числу квазичастиц при условии неизменности их спектра цср = дР/дШср\л,т,в*,т* > получим
Ме =
2 сШ* 1 ¿то*\? в* то* / ' ( '
Это соотношение выражает химпотенциал электронной системы при произвольной температуре через спектр невзаимодействующих композитных фермионов. Первый член в (1) дает скачки химпотенци-ала в ДКЭХ Аце = дА/лср, а второй ответствен за монотонную зависимость и В < 0 в сжимаемых областях. В оригинальной работе [15] предпо-* 1/2
лагается то ос п8 , так что скачок химпотенциала через дробную щель практически не зависит от д: Аце и 0.3е2/Ы, где к,1 = (Нс/еВ)1/2 - диэлектрическая проницаемость и магнитная длина.
На рис.1Ь приведена зависимость получен-
ная экспериментально в низкотемпературном пределе в поле 16 Тл (сплошная линия). Здесь неоднородность электронной плотности мала по сравнению с расстоянием по п„ между соседними дробями, так что двумерная система близка к идеальной. С ростом ч амплитуда осцилляций химпотенциала падает, а наклон йце/й1> в сжимаемых областях с экспериментальной точностью не зависит от V. Пилообразная эмпирическая зависимость це(у) в идеаль-
ном образце получена линейной экстраполяцией экспериментальных данных к дробным V (штрих) [11]. Модель композитных фермионов также предсказывает пилообразную зависимость которая, однако, функционально далека от эксперимента (пунктир на рис.1Ь). Кроме того,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.