ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 5, с. 521-532
УДК 551.5:532.5
ТОЧНАЯ МОДЕЛЬ НЕГЕОСТРОФИЧЕСКОЙ БАРОКЛИННОЙ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
© 2015 г. М. В. Калашник*, **, ***
*Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 109017Москва, Пыжевский пер., 3 **Научно-производственное объединение"Тайфун" 249038Обнинск Калужской обл., ул. Победы, 4 ***Обнинский институт атомной энергетики — филиал НИЯУМИФИ 240040 Обнинск Калужской обл., Студгородок, 1 E-mail: kalashnik-obn@mail.ru Поступила в редакцию 27.06.2014 г., после доработки 15.10.2014 г.
Рассмотрен негеострофический вариант классической задачи о неустойчивости зонального потока с постоянным вертикальным сдвигом (задачи Иди). Линеаризованная система уравнений динамики для двумерных возмущений сведена к одному уравнению волнового типа второго порядка относительно модифицированного давления (линейная комбинация давления и функции тока). В рамках сформулированного уравнения изучены особенности динамики возмущений с нулевой потенциальной завихренностью. Получены асимптотические решения спектральной задачи теории гидродинамической устойчивости. С использованием метода многомасштабных временных разложений рассмотрена задача с начальными данными при больших значениях числа Ричардсона. Решение задачи представлено суммой быстрого (волнового) и медленного (квазигеострофического) компонентов. В неустойчивом режиме медленный компонент описывает формирование бароклин-ных волн (циклонов и антициклонов), обусловленное неоднородными начальными распределениями плавучести (потенциальной температуры) на границах.
Ключевые слова: бароклинная неустойчивость, сдвиговый поток, задача Иди, квазигеострофиче-ское приближение, потенциальная завихренность, циклоны, антициклоны.
Б01: 10.7868/80002351515050065
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача о неустойчивости геострофического потока с постоянным вертикальным сдвигом была впервые рассмотрена в пионерской работе Иди [1]. В рамках этой задачи были определены параметры длинноволновых неустойчивых возмущений (волн Иди), которые хорошо согласуются с параметрами циклонических возмущений атмосферы средних широт. Современные исследования задачи Иди [2—7] основываются на использовании квазигеострофической модели атмосферы (фильтрующей быстрые волновые движения и справедливой при малых значениях числа Росс-би), хотя сам Иди рассматривал гидростатический вариант полной линеаризованной системы уравнений гидродинамики. Соответствующая система была сведена в [1] к одному уравнению для вертикальной скорости (третьего порядка по времени) с привлечением целого ряда упрощающих
приближений. В настоящей работе показано, что использование закона сохранения потенциальной завихренности позволяет свести двумерный вариант полной (негеострофической) системы уравнений к одному неоднородному уравнению волнового типа второго порядка. С использованием этого точного уравнения получены простые асимптотические решения спектральной задачи теории гидродинамической устойчивости, согласующиеся с результатами [8—11] и серии недавних работ [12, 13] при больших значениях числа Ричардсона (малых значениях числа Россби). На основе метода многомасштабных временных разложений построено асимптотическое решение задачи Коши с нулевой начальной потенциальной завихренностью. Показано, что развитие ба-роклинных волн Иди вызывается неоднородными распределениями плавучести (потенциальной температуры) на границах в начальный момент времени. Этот результат проясняет механизм роста
неустойчивых возмущений без привлечения концепции о взаимодействии мод непрерывного и дискретного спектра, как это делается в квазигео-строфической теории [2, 3, 7].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается зональное (вдоль горизонтальной оси x) течение стратифицированной вращающейся жидкости с постоянным вертикальным сдвигом. Распределения скорости течения U и плавучести а описываются точным решением системы гидродинамических уравнений в приближении Буссинеска [2]
U = u(z)i = Л1 i, а = а = N 2z - /Лу, (1)
где Л — величина сдвига, N = const — частота плавучести, f — параметр Кориолиса (инерционная частота). Для распределений (1) выполнено уравнение термического ветра /uz = -ау, показывающее, что во вращающейся жидкости вертикальный сдвиг скорости поддерживается меридиональным (вдоль оси у) градиентом плавучести.
Исследуем поведение двумерных возмущений течения (1), не зависящих от координаты перпендикулярно потоку. Гидростатический вариант линеаризованной системы уравнений динамики имеет вид [2, 7]:
— - / v + Л^ + px = 0, — + /и = 0,
Dt Dt
ст = pz, — - /Лv + N 2w = 0,
Dt
(2)
D д
д
их + = 0, — = —+ Лг—.
х г !>г дг дх
Здесь и, V, м - компоненты скорости вдоль горизонтальных осей х, у и направленной вертикально вверх оси г соответственно, р, а — возмущения нормированного на среднюю плотность давления и плавучести. В приближении Буссинеска плавучесть а = g , где — фоновое значение потенциальной температуры, &' — возмущение. Система (2) рассматривается в горизонтальном слое 0 < г < Н с условием непротекания м = 0 на твердых границах г = 0, Н.
Возможность роста возмущений в сдвиговом потоке вытекает из уравнения баланса энергии
д E = Щ (va)-A( wu),
dt n2N ' x '
E = Ц u2 + v2 + (°
N.
(3)
где угловые скобки означают усреднение по объему. Согласно (3) источниками энергии возмущений являются меридиональный поток плавучести
и работа напряжений Рейнольдса (второе слагаемое в правой части(3)). Действие этих источников проявляется только при ненулевом сдвиге скорости.
Важным следствием системы (2), которое легко устанавливается прямым вычислением, является уравнение переноса потенциальной завихренности
Dq = 0, q = N2vx - /Auz + /стz. Dt x z
(4)
Уравнение (4) представляет собой линеаризованную форму общего закона сохранения потенциальной завихренности для течений стратифицированной вращающейся жидкости (см. Приложение 1). Интегрирование (4) приводит к соотношению
N vx - /Auz + /az = qt(x - Azt, z),
(5)
где qi(x, г) — начальное распределение д. Соотношение или закон сохранения (5) выполняется для любого г > 0. Этот закон, который не учитывался в работе Иди и последующих работах [9—11], позволяет редуцировать систему уравнений (2) к одному уравнению волнового типа без промежуточных упрощений.
В систему (2) входят три параметра с размерностью частоты/, N Л. Совместное влияние сдвига и стратификации удобно характеризовать безразмерным параметром
s = Л/ N.
(6)
Данный параметр, связанный с обычным числом
Ричардсона соотношением Ш = в-2 = N2/Л2, служит основной характеристикой устойчивости. Стандартные значения для атмосферы средних
широт N = 10-2 с-1, / = 10-4 с-1. Для крупномасштабных течений с характерной скоростью и = 10 м/с в слое толщиной Н = 10 км величина
вертикального сдвига Л = 10-3 с-1, соответственно
1 2
в = 10"1 (Ш = 10). Значение е может быть существенно больше в районах интенсивных струйных течений или областях с практически нейтральной стратификацией.
Отметим, что в теории симметричной неустойчивости [14-16] исследуется поведение двумерных возмущений течения (1), не зависящих от координаты вдоль потока (координаты х). Относительно таких возмущений, имеющих форму валов, вытянутых вдоль потока, течение неустойчиво при Ш < 1 [15]. К образованию крупномасштабных бароклинных волн приводит неустойчивость относительно рассматриваемого класса двумерных возмущений (не зависящих от координаты перпендикулярно потоку).
2
3. СВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ УРАВНЕНИЮ И ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
Для рассматриваемых двумерных возмущений существует функция тока: и = -уг, w = ух, Определим новую функцию (линейная комбинация возмущения давления и функции тока) соотношением
ф = р + Лу,
(7)
и найдем уравнение, которому удовлетворяет ф = = ф(х, г, г). Из определения (7) и уравнения статики следуют выражения для производных
ф х = Рх + Лу х = Рх + Лм>, (8)
Ф г = рг + Л у г = а - Л и. (9)
С учетом (8) первое уравнение системы (2) можно записать в виде
Би—г - / V + ф х = 0. (10)
Выражение (9) позволяет записать закон сохранения (5) как
N Vх + /Фгг = д(Ц>г), П = X - Ш
(11)
Из (11) следует vx = N _2(д(-(г|, г) — /ф гг). С учетом (10) и этого выражения после дифференцирования по х первые два уравнения системы (2) примут вид
— их ф гг + ф хх (п, г),
— х N^гг Тхх N2
— фгг - N2их = 0. БГгг
(12)
Фг +Л- /V) = — фг -Лфх = 0. (14)
Таким образом, окончательная форма краевых условий на горизонтальных границах примет вид
— —г
г = 0,Н : — фг - Лфх = 0. БГг
(15)
Уравнение (13) представляет собой уравнение волнового типа с источником в правой части, пропорциональным потенциальной завихренности q¡. Далее будут рассматриваться возмущения с нулевой начальной потенциальной завихренностью д I = 0. В теории геострофической адаптации [17—20] подобные возмущения называют волновыми, в отличие от вихревых возмущений с дI Ф 0. Отметим, что при = 0 и в отсутствие сдвига уравнение (13) сводится к основному уравнению теории инерционно--гравитационных волн (ИГВ) в длинноволновом (гидростатическом) приближении. Из соответствующего уравнения следует известное дисперсионное соотношение для длинных ИГВ [2].
Приведем формулы, связывающие основные переменные с введенной функцией ф (редуцированным давлением). Непосредственно из (8), (9), (11) следует
V х =--^ ф гг, их = = — ф гг,
х N2 г х г N2 —г
Ъ х = фхг +ТТ2 — Ф гг,
А—
N2 —
А (
N2 т
(16)
Рх = фх +ТТ2 [фг - Лфх
С учетом тождества — фгг = — (— фг - Лфх) из
—г
дг —
второго соотношения (16) для вертикальной скорости (функции тока) вытекает явное выражение
Исключение из (12) их окончательно приводит к уравнению для функции ф:
— 2 2 2
—2 фгг + /2фгг + N2фхх = /<li(T\, г). (13)
Подчеркнем, что уравнение (13) является точным следствием системы (2) и имеет второй порядок по времени, в отличие от приближенного уравнения Иди для вертикальной скорости третьего порядка.
Сформулируем краевые условия для уравнения (13). В силу условия непротекания эволюция поля плавучести на границах г = 0, Н описывается уравнением Бст/—г — / Л V = 0. Из (9) следует а = фг + Ли и с учетом (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.