МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК: 539.3:534.1
© 2014 г. М. КАЧО, П. М. ЛОПЕЗ-РЕЙЕС, А. ЛОРЕНЦАНА
ТОЧНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ПРЯМОЙ МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
Представлен общий подход к определению критической нагрузки и формы потери устойчивости. Использована модель Навье—Бернулли для бруса, имеющего, возможно, переменное сечение и находящегося под действием произвольных нагрузок (включая нагрузки за счет давления и тепловые нагрузки). В предлагаемом подходе рассматриваются уравнения статического равновесия каждого стержневого элемента в деформированном состоянии, при этом деформации и перемещения считаются бесконечно малыми. В результате для каждого стержневого элемента получается система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для того чтобы определить нелинейный отклик стержневой системы в целом, необходимо привлечь условия совместности перемещений и условия равновесия сил и моментов в концевых точках стержней также в деформированном состоянии системы. Решение задачи отыскивается из условия равенства нулю полной вариации потенциальной энергии в момент потери устойчивости. Целью настоящей работы является разработка метода определения критической нагрузки и формы потери устойчивости произвольной стержневой системы, без привлечения упрощений, обычно используемых при матричном анализе или конечно-элементных расчетах. Таким образом, высокая точность результатов обеспечивается вне зависимости от используемой дискретизации системы.
Ключевые слова: Критическая нагрузка, форма потери устойчивости, переменный момент инерции, тепловая нагрузка.
1. Введение. Хорошо известно, что коммерческие программные средства, основанные на методе конечных элементов, позволяют решать задачи устойчивости, обычно в линейном приближении, на основе геометрической матрицы жесткости. Соответствующие подходы описаны в классических работах [1, 2]. В этих подходах для достижения приемлемой точности каждый стержневой элемент должен быть представлен в виде нескольких конечных элементов. В настоящей работе предложена простая математическая модель, позволяющая с высокой точностью рассчитывать критические нагрузки для произвольных стержневых систем без необходимости дискретизации ее отдельных элементов. Изложение ведется в следующей последовательности. Вначале рассмотрено нелинейное поведение произвольного стержня. Затем анализ распространен на случай произвольной плоской стержневой системы при произвольных приложенных нагрузках и граничных условиях с целью определения критических нагрузок и формы потери устойчивости. Далее приведены результаты решения трех демонстрационных задач и сделаны выводы по результатам исследования.
2. Модель стержня. Используется линейная модель балки Навье—Бернулли. Кроме того, предполагается, что смещения элементов конструкции под действием приложенных нагрузок малы по сравнению с исходными размерами стержневой системы.
qy(s)
Фиг. 1
При этих предположениях уравнения статического равновесия, совместности деформаций и определяющие соотношения имеют вид, описанный ниже.
2.1. Уравнения статического равновесия. Для произвольного дифференциального элемента ds в деформированном состоянии должны быть сформулированы условия статического равновесия. Будем описывать перемещения в системе координат (X, У, Z), представленной на фиг. 1.
Рассматривая равновесие сил вдоль осей X и Y, а также равновесие моментов вдоль оси Z, получим систему уравнений, записанную в напряжениях Пиолы—Кирхгофа [3—5]:
H\s) + qx (s) = 0, V(s) + qY (s) = 0 M(s) - H(s)9(s) + V(s) = 0
(1)
где через ()' обозначены производные по координате s. На основе предположения о малости перемещений sin 0 заменен на 0, а cos 0 на 1.
2.2. Условия совместности деформаций и определяющие соотношения. Уравнения, связывающие внутренние силы и перемещения (и, и, 0), имеют вид [6, 7]:
H(s) = EA(s) M(s) = EIZ (s)
u(s) + 2 (T + T2)
0'(s) + (Ti + t2 ) h(s)
0(s) = u'(s)
(2)
где E — модуль Юнга, а Iz(s) и A(s) — момент инерции и площадь поперечного сечения балки, соответственно. Тепловые эффекты приняты во внимание в обычном предположении о линейном изменении температуры по глубине балки h(s) от 7} до 72, где а — коэффициент теплового расширения.
Сформулированное ранее уравнение (2.1), в совокупности с условием совместности деформаций и определяющими соотношениями (2.2), приводит к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которая, в общем случае, не имеет точных решений в явной форме. Решение, однако, может быть найдено на основе численного анализа [8, 9]. После того, как поведение каждого стержня известно, отклик конструкции в целом определяется путем наложения условий совместности деформаций и определяющих соотношений для концевых точек всех стержней, образующих конструкцию.
2.3. Уравнения устойчивости. Нелинейное поведение каждого стержня определяется решением системы дифференциальных уравнений (2.1) и (2.2) при возрастании силового фактора А с учетом граничных условий. Это решение обычно является устойчивым и однозначно определенным. Тем не менее, существуют такие значения силового фактора, при которых могут возникать неопределенные поперечные перемещения (потеря устойчивости). Метод определения критического значения X cr, при котором возникает данное явление, состоит в наложении малых возмущений на равновесное состояние в предположении, что изгибные деформации по отношению к устойчивому состоянию Ли являются бесконечно малыми. Полученное в результате новое состояние конструкции также должно удовлетворять уравнениям (2.1) и (2.2), поэтому приращения перемещений (А и, А и, А9) и приращения сил (A H, A V, AM) должны удовлетворять следующим уравнениям устойчивости [6]:
AH'(s) = 0, AV'(s) = 0
AM'(s) - H(s)A0(s) - 9(s)AH(s) + A V(s) = 0 (3)
AH (s) = EA(s)Au'(s), A9(s) = Au'(s)
AM (s) = EIz (s)A9'(s) (4)
Критическое значение Xcr может быть определено из решения уравнений (2.3) и (2.4) с граничными условиями исходной задачи без приложенных внешних нагрузок.
3. Анализ устойчивости стержневой системы. 3.1. Условия статического равновесия и совместности деформаций. При исследовании стержневых систем прежде всего необходимо определить общую систему отсчета для всех стержней, называемую глобальной системой отсчета (Xg, Yg,Zg). После того, как отклик каждого стержня найден, необходимо разбить конструкцию на составляющие ее стержни. В принятой в настоящей работе постановке задачи и при сделанных предположениях достаточно взять минимальное количество элементов, т.е. по одному элементу на каждый стержень (прямолинейные элементы конструкции, соединяющие ее узлы).
Амплитуды нагрузок на каждый стержень должны быть заданы в глобальной системе отсчета, показанной на фиг. 2 (цифрами 1 и 2 обозначены исходное и деформированное состояния)как функции начального угла ab. Применение стандартной матричной процедуры дает следующие соотношения:
" H' cos a b - sin ab 0 " H'
V = sin ab cos ab 0 V
M _ (Xg 'Yg, Zg > _ 0 0 1_ M _ (X ,Y ,Z)
Аналогично, для каждого узла должны быть сформулированы условия совместности деформаций концов стержней, а также условия равновесия, включающие внутренние силы и моменты. Все внешние нагрузки умножаются на единый параметр нагрузки X, предполагая пропорциональное нагружение.
В уравнения статического равновесия входят амплитуды нагрузок в состоянии, предшествующем потере устойчивости. Поэтому определяющие уравнения для каждого стержня необходимо решать совместно с условиями совместности деформаций и уравнениями статического равновесия в каждом узле. Эти уравнения вместе с граничными условиями приводят к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Решение данной системы может быть получено численными методами, например, методом пристрелки [8, 9], поскольку в большинстве случаев для него отсутствуют явные математические формулы.
Известно, что в момент потери устойчивости деформированное состояние фермы соответствует одной из форм потери устойчивости, так что критическим значением нагрузки будет то, для которого приращение функционала потенциальной энергии обращается в ноль:
ь Ц
А Щ(Х) = 2 X |№(з)А0'(з) + Н(з)[А0;(з)]2} йз
1=1 0
где Ь — общее число элементов конструкции.
Применяя какой-либо численный метод, например, метод секущих, либо метод Ньютона—Рафсона [8, 9], можно решить уравнение Щ(к) = 0 и получить критическую нагрузку.
Чтобы определить форму потери устойчивости, необходимо из уравнений (2.3) и (2.4) получить значение X сг, при этом вместо одного из уравнений устойчивости следует использовать дополнительное условие на перемещения. Это означает, что одной из поперечных степеней свободы стержневой системы приписывается произвольная величина перемещения [10].
4. Результаты численных расчетов. Ниже приведены примеры расчетов с возрастающей степенью сложности, которые иллюстрируют методологию предлагаемого подхода и демонстрируют его надежность.
4.1. Брус под действием сжимающих напряжений (тестовые задачи).
4.1.1. Брус, подверженный действию сжимающей силы. Рассматривается брус с защемленным концом, к свободному концу которого приложена сжимающая сила Р (фиг. 3). В этом случае граничные условия нелинейной задачи имеют вид:
Н (0) = -Р, V (0) = М (0) = ы(1) = о(Ь) = 0(1) = 0
P
Фиг. 3
а граничные условия уравнений статического равновесия Ли(0) = и0, АН (0) = Л У (0) = AM (0) = Au(L) = A9(L) = 0
где и0 — произвольная достаточно малая величина.
Решение уравнений статического равновесия при данных граничных условиях имеет вид
AH (s) = 0
EIzK 3u0cos (KL)
AV (s) =
KLcos (KL)- sin (KL) EIZK 2u0sin (Ks)
AM (s) = -
KLcos (KL)- sin (KL)
Au(s) = 0
= KU0 [cos (KL)-cos (Ks)] sin (KL)- KLcos (KL)
-iK(L+s)
Au(s) =-e-^0-{ieiKL - ieiL(L+2s) +
2 [KLcos (KL) - sin (KL)]
+ eiKs [K(L - s) - i] + eiK(2L+s) [i + K(L - s)]} где K = .J P/(EIz). Приращение функционала потенциальной энергии равно
L з 2 / \
AW(P) = i J{AM¿(s)A0i(s) + P[A9;.(s)]2}ds = . ^Z*KL 2' sin (KL) - KLcos (KL)
Отсюда следует, что потеря устойчивос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.