Поляков М.Е., кандидат физико-математических наук
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ БИНЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Из общих принципов и без упрощений получено и решено в виде простых тригонометрических функций (1+1)-мерное бинелинейное уравнение возмущенного диссипативного осциллятора. Использована форма квадратичного синусоидального барьера для случая пропорциональности скорости движения массы осциллятора коэффициенту трения. Сумма кинетической энергии и
энергии кинетических потерь записывается в виде ( т /2 )(у&(1 + к2)) . Использован новый самосогласованный нелинейный метод вывода и решения полученного бинелинейного уравнения.
ВВЕДЕНИЕ
Осциллятор является модельным элементом для многих физических задач. Но в случае пропорциональности скорости смещения осциллятора коэффициенту трения точного решения задачи не существует. Простейшее нелинейное уравнение, описывающее осциллятор Ван дер Поля, решалось асимптотическим методом [1]. Обычно поведение возмущенного осциллятора анализировалось с помощью теории возмущений [2], а в обзоре, посвященном исследованию ангармонических осцилляторов, упоминался лишь вариант задачи с постоянным коэффициентом трения [3]. Широкое использование простейшего уравнения линейного осциллятора с переменной собственной частотой [4] свидетельствует о необходимости создания более совершенной модели осциллятора.
В уравнениях работ [5-7] диссипация процесса, при явном наличии в уравнении первой производной по времени, но всего лишь спрятанной под знаком второй производной по времени, почему-то учитывалась специальным дополнением слагаемого, равного произведению коэффициента трения и первой производной по времени от переменной. Эта методика описывает модель похожую на модель транспортного средства, у которого монтируется тормозное устройство на специальное пятое колесо, причем оставшиеся колеса с тормозом не связаны. Нетрудно представить себе поведение такого транспортного средства. Влияние трения достаточно учесть введением дополнительного множителя (1+к-гр) у второй производной по времени от переменной, причем игнорирование учета трения при оставшихся функциях скорости является некорректным.
В работе [8] для квадратичного синусоидального барьера из общих принципов и без упрощений получены и решены в аналитической форме (3+1)-мерные пентанелинейные уравнения возмущенных диссипативных осцилляторов. Сумма кинетической энергии и
энергии кинетических потерь записывалась в виде ( т /2 )((1 + к)) . Учтены пропорциональные зависимости масс и коэффициентов трения от скоростей шариков (вязкость), нелинейные связи масс от координат, времени и частоты (квадратичные синусоидальные зависимости). При произвольных стационарных, комбинированных стационарных и переменных величинах внешних механических воздействий на центры масс и концы пружин разработан метод согласованного аналитического решения полученных нелинейных уравнений для скоростей масс осцилляторов. Исследованы процессы в режимах затухания и усиления. При выводе и решении уравнений использовался принцип жесткой связности: модель процесса - точное уравнение - точное решение. В случае генерации сосредоточенной в шарике энергии, необходимой для его перемещения, получено и решено уравнение для инверсного осциллятора. Простой заменой знаков перед коэффициентами трения режим торможения переходит в режим усиления. Во всех случаях скорости центра масс осцилляторов выражены элементарными тригонометрическими функциями.
Цель данной работы состоит в выводе и аналитическом решении уравнения движения возмущенного осциллятора в поле квадратичного синусоидального барьера для случаев
пропорциональности скорости движения его массы коэффициенту трения. Сумма кинетической энергии и энергии кинетических потерь записывается в виде
( т /2 )((1 + к2)) . Вначале рассматриваются вспомогательные случаи без трения, с постоянным коэффициентом трения, необходимые для пояснения, как вывода, так и решения основного уравнения. Использована форма квадратичного синусоидального барьера. Уравнения выводятся из условия баланса энергий. Корректно поставленная задача и специально разработанный самосогласованный нелинейный метод решения позволяют получить точное выражение для скорости смещения массы возмущенного осциллятора в виде простых тригонометрических функций. Результаты работы обсуждались на конференции [9].
ОСЦИЛЛЯТОР БЕЗ ТРЕНИЯ И С ПОСТОЯННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТРЕНИЯ
Пусть потенциальный барьер для осциллятора, который представлен в виде шарика, закрепленного в центре пружинки с фиксированными концами, имеет вид:
*(у) = Ж 8Ш2
(1)
где W - максимальная энергия барьера; 2а - период барьера. Ось у - координаты ориентирована вдоль направления перемещения шарика с координатой у = 0 в центре между точками закрепления пружины. Данный вид потенциала является первым членом разложения в ряд почти произвольного потенциала
Вспомогательное уравнение движения осциллятора выводится из условия равенства максимальной энергии барьера (константы W) сумме кинетической и потенциальной энергий шарика, находящегося в произвольной координате у, и имеет вид:
ту
2
2
+ Ж Б1П
пу 2а
= Ж,
(2)
где у&- скорость шарика. Из выражения (2) получается уравнение для скорости движения шарика в виде:
у=
^2ЖЛ1/2
т
ооб
ПУ
V 2а у
с решением:
а
71
2т 1/2
Ж
1п
с
1 + У
V а у
= г.
(3)
(4)
Учет наличия постоянного коэффициента трения к ведет к измененному варианту уравнения (2) на параметр, определяемый трением (1 + к2):
т ((2(1 + к 2))+Ж 81п2 \[пу | = Ж
2а
и измененным вариантам решений (3) и (4) на тот же параметр (1 + к2):
у=\ т г2 ч пу >+)
2 \ -1/2
г = а (1 + к 2)1/21 —
п V Ж
1/2
1п
Гп( \+у Т|
т
41 V а У]
(5)
(6) (7)
Коэффициент потерь скорости осциллятора определяется как отношение скорости осциллятора в момент наличия потерь к скорости без потерь. Такое условие автоматически
определяет значение для суммарной энергии кинетических потерь и кинетической энергии
( т /2 )(((1 + к2)) . Из уравнения (7) следует, что с ростом коэффициента к, как и следовало ожидать, время достижения шариком определенной координаты у из точки у = 0 увеличивается. Потери на трение в модели можно восполнить, например, перемещением кулачка, который растягивает пружину в такт колебаний маятника в кулачковом механизме, расположенном в местах закрепления пружины.
ОСЦИЛЛЯТОР С НЕЛИНЕЙНЫМ ТРЕНИЕМ
Пусть барьер описывается той же зависимостью (1). В данной модели осциллятора принимается, что коэффициент трения скольжения пропорционален скорости перемещения массы осциллятора. Это условие подтверждается экспериментальной линейной зависимостью интенсивности акустической эмиссии от нагрузки на нанозонд в случае его контакта с перемещающейся поверхностью твердого тела [10]. Функция скорости смещения шарика А по аналогии с предыдущими случаями отсутствия и постоянным трением,
выражается через максимальное значение скорости шарика А в виде:
Р= А СОБ
/„Л
пу V 2а у
(8)
При этом коэффициент потерь кф, характеризующий пропорциональную зависимость скорости смещения шарика от коэффициента трения, можно представить не иначе как в виде:
к тр - к м ^
2 Ум
(9)
где км, Ум - максимальные значения коэффициента трения и скорости шарика, соответственно. Из формулы (9) следует, что кр = 0 при у& = 0 и к^ = км при уА Ум .
Теперь предстоит вывести бинелинейное уравнение движения осциллятора и показать, что его предполагаемое решение (8) действительно удовлетворяет этому уравнению. По аналогии с вспомогательным случаем линейного трения базовое уравнение для перемещения массы бинелинейного осциллятора представляется в виде:
т 2
& соб! — ™ V 2а у
1 + к
2 • 2 м Б1П
пА
2 А
м у
. + жв1п2I Ж .
После преобразования бинелинейное уравнение (10) сводится к виду:
А -
м
2Ж
т
.1/2
(
1 + к2 м б1П
пА 2 А
м у
1/2
(10)
(11)
Определяются максимальные значения скоростей УАм для следующих частных условий: для условия УА- УАм :
А -
м
1 /2
.т) (+
для условия УА- 0 :
для условия УА- УАм / 2 :
УАм -
2Ж
т
1/2
(12)
(13)
2
& =
s м
2W
m
.1/2
1 + к2м sin21 П
1/2
(14)
Тогда при любой скорости смещения массы осциллятора выражение для его максимальной скорости & равно:
У& =
2W
m
.1/2
1 + к2м sin2
П I пу —cosl
2
2a
1/2
(15)
Подстановка значения (15) с учетом (8) в базовое уравнение (10) дает тождество, означающего справедливость построенного решения (8).
Выражение для скорости смещения массы бинелинейного осциллятора записывается в виде:
у&=
2W
m
1/2
(
1 + к2м sin2
п I пу cos
\Y
2
2a
1/2
cos
пу
2a
(16)
Из полученных результатов следует, что скорости движения масс осцилляторов для трех рассмотренных случаев выражаются простыми тригонометрическими функциями. В случае равенства значений постоянного и максимального коэффициентов трения (км = к) скорости масс осцилляторов различаются в области малых скоростей и почти совпадают в области больших скоростей.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, для случая пропорциональности скорости движения массы осциллятора коэффициенту трения и квадратичного синусоидального барьера, впервые выведено и аналитически решено (1+1) - мерное бинелинейное уравнение возмущенного диссипативного осциллятора. Использовался самосогласованный аналитический нелинейный метод вывода и решения бинелинейной задачи. Сумма кинетической энергии и энергии
кинетических потерь записывалась в виде ( m /2 )(&(1 + к2)( . Решение получено в виде комбинаций трех функций синусоидальных углов.
Список литера туры
1. Математическая физика. Энциклопедия. / Под ред. Л.Д. Фаддеева. - М.: Больш. Российская Энциклопедия, 1998. - 691 с.
2. Табор М. / Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. - М.: УРСС, 2001. - 320 с.
3. Lakshman M. / Integrability of Nonlinear Systems. Proceeding of the CIMPA, Berlin: Spring
- Verlag, 1997. - P. 206-255.
4. Блиох К.Ю. // ЖЭТФ. - 2002. - Т. 121, в. 1. - С. 14-18.
5. Зубова Е.А., Балабаева Н.К., Маневич Л.И. // ЖЭТФ. - 2002. - Т. 121, в. 4. - С. 884-896.
6. Аэро Э.Л. // Прикладная математика и механика. - 2002. - Т. 66, в.1. - С. 102-108.
7. Блехман И.И., Ланда П.С. // Изве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.