ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 5, с. 527-541
УДК 532+536+517.9
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© 2015 г. А. Д. Полянин, В. Г. Сорокин*, А. В. Вязьмин**
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва polyanin@ipmnet.ru
* Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва
vsesor@gmail.com
** Московский государственный машиностроительный университет
av1958@list.ru Поступила в редакцию 23.12.2014 г.
Описаны новые классы точных решений нелинейных реакционно-диффузионных уравнений гиперболического типа с запаздыванием. Все рассматриваемые уравнения зависят от одной или двух произвольных функций одного аргумента, а полученные решения содержат свободные параметры (в некоторых случаях число таких параметров может быть любым). Найдены периодические решения по времени и по пространственной переменной, решения, описывающие нелинейное взаимодействие стоячей волны с бегущей волной, и др. Приведены также точные решения более сложных нелинейных уравнений, в которых запаздывание произвольным образом зависит от времени. Получены условия глобальной неустойчивости решений некоторых реакционно-диффузионных систем с запаздыванием. Решена обобщенная задача Стокса с периодическим граничным условием, описываемая линейным диффузионным уравнением с запаздыванием.
Ключевые слова: нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием, точные решения, решения с обобщенным разделением переменных, решения с функциональным разделением переменных, дифференциальные уравнения с запаздыванием, условия глобальной неустойчивости решений, обобщенная задача Стокса.
БО1: 10.7868/80040357115050073
ВВЕДЕНИЕ
Для описания нестационарных тепловых и реакционно-диффузионных процессов в химической технологии широко используются классические модели теплопроводности и диффузии, основанные на законе Био—Фурье—Фика
(| = -ХУТ, (1)
где q — поток тепла, Т — температура, X — коэффициент теплопроводности, V — оператор градиента. Закон (1) приводит к уравнениям теплопроводности и диффузии параболического типа [1—6]:
— = аДТ, Д = 4 + 4 + 4,
дt
<-\ 2 <-\ 2 <-\ 2 дх ду д1
(2)
Параболическое уравнение (2) обладает физически парадоксальным свойством — бесконечной скоростью распространения возмущений, что не наблюдается в природе. Указанное обстоятельство приводит к необходимости разработки моделей тепло- и массопереноса, которые приводят к конечной скорости распространения тепла или вещества. Самой распространенной из них является модель Каттанео—Вернотте [7, 8]:
I = -XV Т -3,
(3)
где т — время релаксации.
Модель (3) приводит к уравнениям тепло- и массопереноса гиперболического типа [7—11]:
где t — время, а = X/ (рср) — коэффициент температуропроводности, р — плотность, ср — удельная теплоемкость тела (среды) при постоянном давлении, х, у, г — декартовы координаты, А — оператор Лапласа.
д2Т , дТ Кгр т—т- + — = аДТ,
д^ дt
(4)
обладающих свойством конечности скорости распространения возмущений при т > 0. Тепловое и диффузионное времена релаксации могут варьироваться в чрезвычайно широких пределах от
миллисекунд (и меньше) до нескольких десятков секунд [9—19] и должны учитываться при решении многих задач тепло- и массопереноса. В вырожденном случае, соответствующем т = 0, уравнение (4) переходит в (2).
Второй важной особенностью эволюционных процессов, в том числе и процессов массо- и теплопереноса, осложненных химическими превращениями, является то, что скорость изменения искомых величин в химических, биологических, физико-химических, биохимических, химико-технологических, био-технологических, медико-биологических, экологических и других системах в общем случае зависит не только от состояния в данный момент времени, но и от всей предыдущей эволюции процесса [9, 13, 20]. Такие системы называют наследственными. В частном случае, когда состояние системы определяется не всей её эволюцией, а только каким-то конкретным моментом в прошлом, говорят о системе с запаздывающей обратной связью.
Системы с запаздывающей обратной связью часто моделируется реакционно-диффузионными уравнениями, в которых кинетическая функция Ш (скорость протекания химических или биохимических реакций) зависит как от искомой функции и = и(х, 0, так и от той же самой функции, но уже с запаздывающим аргументом м> = = и(х, t — т). Специальный случай Ш(и, м) = /(м) допускает простую физическую интерпретацию: процесс массо- и теплопереноса в локально неравновесной среде обладает инерционными свойствами, т.е. система не мгновенно реагирует на воздействие в рассматриваемый момент времени t, как в классическом локально-равновесном случае, а на время запаздывания т позже. В некоторых случаях запаздывание может быть заданной функцией времени т = т(0.
Рассмотрим некоторые уравнения массо- и теплопереноса с запаздыванием. Наиболее простым является обобщение классического уравнения диффузии, включающее реакционный член с запаздыванием (параболическое реакционно-диффузионное уравнение с запаздыванием). В одномерном случае оно имеет вид
ди = аЩ + Р(и,я), я = и(х,г -т),
дг дх
где т — время запаздывания, ¥(и, м) — кинетическая функция. Различным свойствам и точным решениям данного уравнения и систем таких уравнений посвящены работы [21—31].
Другим уравнением массо- и теплопереноса с запаздыванием является дифференциально-раз-
ностное уравнение диффузии с конечным временем релаксации:
дг
дх
О(и)
д и дх _
+ Р(и, V), V = и(х, г + т),
которое выводится из дифференциально-разностной модели для потока массы [17, 18]. Ряд точных решений этого нелинейного уравнения получен в [18, 19].
Поскольку при решении нестационарных проблем массопереноса в химической технологии возникает необходимость учета релаксационных явлений как связанных с конечностью скорости переноса тепла и массы, так и конечностью времен химических превращений или (и) микрокинетического взаимодействия между различными фазами, составляющими единую макросреду переноса, в данной статье будут получены и проанализированы точные решения нелинейных гиперболических реакционно-диффузионных уравнений вида
д 2и ди е—т + а—
дг2 дг
2
а ^ + Р (и, я),
дх
я = и(х, г -т), (5)
где а > 0, е > 0, а > 0 (е + а Ф 0). Важно отметить, что уравнение (5) включает в себя, как частный случай, при е = 0 параболические уравнения с запаздыванием. Будут рассмотрены также более сложные нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с переменным запаздыванием общего вида т = т(0. Для линейного уравнения диффузии с запаздыванием при Ш(и, м) = —км будет решена обобщенная задача Стокса с периодическим граничным условием.
Далее будут представлены также точные решения нелинейных реакционно-диффузионных уравнений с переменным коэффициентом переноса О(и):
д 2и
дг
ди д ~ + а— = —
2 дг дх
О(и) ди
дх.
+ Р (и, м>),
(6)
я = и(х, г — т), В вырожденном случае при е = 0 (т.е. для параболического уравнения) некоторые точные решения уравнения (6) получены в [32—34].
Кроме того, в статье получены условия неустойчивости решений нелинейных систем реакционно-диффузионных гиперболических уравнений с запаздыванием специального вида и показано, что при выполнении условий неустойчивости задачи с начальными данными и некоторые начально-краевые задачи являются некорректными по Адамару.
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ. МЕТОДЫ ПОИСКА РЕШЕНИЙ
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений способствуют лучшему пониманию
качественных особенностей описываемых процессов (неединственность, пространственная локализация, режимы с обострением и др.). Важно подчеркнуть, что запаздывание существенно осложняет анализ уравнений и является фактором, который может привести к неустойчивости моделируемых систем [19, 30, 35, 36].
Термин "точные решения" нелинейных уравнений в частных производных с запаздыванием применяется в случаях, когда решение [27—29]:
(I) может быть выражено через элементарные функции или может быть представлено в замкнутой форме (выражается через неопределенные или определенные интегралы);
(II) может выражаться через решения обыкновенных дифференциальных уравнений или обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием (или систем таких уравнений);
(III) может выражаться через решения линейных уравнений в частных производных.
Допустимы также комбинации решений из пп. (1)-(Ш).
Замечание 1. Методы решения и различные приложения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, которые существенно проще нелинейных уравнений в частных производных с запаздыванием, описаны, например, в [37-40].
Замечание 2. Ряд точных решений некоторых нелинейных уравнений в частных производных с запаздыванием (а также систем уравнений с запаздыванием), отличных от реакционно-диффузионных уравнений, приводится в [36, 41, 42].
Замечание 3. О численном решении различных нелинейных уравнений и систем с запаздыванием и возникающих при этом трудностях см. [43-46].
В статье для поиска точных решений нелинейных гиперболических реакционно-диффузионных уравнений вида (5) и (6) использовались различные модификации методов обобщенного и функционального разделения переменных [47-50], а также метод функциональных связей [28, 33, 51]. Для краткости изложения далее промежуточные выкладки обычно опускаются.
Замечание 4. В общем случае уравнения (5) и (6) допускают очевидные точные решения типа бегущей волны и = и(г), где г = кх + №.
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА (5) С КИНЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ОТНОШЕНИЯ Ж/ и
Рассмотрим уравнение (5) вида
е^и + ст— = аЦ + и¥(^/и), w = и(х,t -т), (7)
дt дt дх
где Щ(г) - произвольная функция.
1. Уравнение (7) допускает решение с разделяющимися переменными в виде произведения функций разных аргументов
и = [С1ео8(Хх) + С28т(Хх)]у(0, (8)
где С1, С2, Х - произвольные постоянные, а функция у(0 в (8) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с запаздыванием
еу"(0 + ау() = -аХ2у(0 + - т)/у(0). (9)
Урав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.