ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 2, с. 175-181
УДК 536+532+517.9
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НОВЫХ КЛАССОВ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗАПАЗДЫВАНИЕ
И ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
© 2015 г. А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва
polyanin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 31.10.2013 г.
Рассматриваются нелинейные одномерные реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием
ut = [G(u)ux ]x + F(u, w),
где u = u(x, t),w = u(x, t — т), т — время запаздывания. Описаны новые классы таких уравнений, зависящих от одной или двух произвольных функций одного аргумента, которые имеют точные решения с простым, обобщенным и функциональным разделением переменных. Для поиска решений применяется метод функциональных связей. Приведены некоторые точные решения более сложных трехмерных реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием
и, = &\у[0(и)Ч и] + Г (и, т).
Все полученные решения являются новыми, содержат свободные параметры и могут быть использованы для решения некоторых задач и тестирования приближенных аналитических и численных методов решения подобных и более сложных нелинейных уравнений с запаздыванием.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием, точные решения с простым, обобщенным и функциональным разделением переменных, метод функциональных связей, время запаздывания, уравнение Гельмгольца, уравнение Пуассона.
БО1: 10.7868/80040357115020104
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные уравнения и системы уравнений с запаздывающим аргументом возникают в различных приложениях, таких как биохимия, химия, биология, биофизика, физическая химия, медицина, гидродинамика, экология, теория климатических моделей, теория управления, математическая экономика и многих других (см., например, работы [1—12] и ссылки в них). Отметим также, что подобные уравнения встречаются в теории искусственных нейронных сетей, результаты которой используются для обработки сигналов и изображений и проблем распознавания образов [13, 14].
В данной статье рассматриваются нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием следующего вида:
ы, = Щи)ых ]х + Г (и, т), ш = ы(х,, - т), (1)
где т — время запаздывания.
Точные решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником, которое является частным случаем уравнения (1) без запаздывания при Г (и, т) = / (и), описаны в [15—18] (в [18, 19] приведено большое число точных решений соответствующих нелинейных реакционно-диффузионных систем уравнений без запаздывания).
Скорость изменения искомых величин в биохимических, биологических, физико-химических, экологических и других системах в общем случае зависит не только от их состояния в фиксированный момент времени, но и от всей предыдущей эволюции системы или определяется значениями искомой величины в конкретные моменты времени в прошлом. Последний случай часто моделируется уравнениями вида (1), в которых скорость биохимической реакции Ш зависит от функции с
запаздывающим аргументом w. При F(u, w) = f (w) в уравнении (1) физический смысл запаздывания заключается в том, что процессы массо- и тепло-переноса в локально-неравновесных средах обладают инерционными свойствами: система реагирует на диффузионное (тепловое) воздействие не в тот же момент времени t, как в классическом локально-равновесном случае, а на время релаксации т позже.
Простейшим нелинейным уравнением вида (1) является диффузионное логистическое уравнение (уравнение Фишера с запаздыванием) с кинетической функцией F(u,w) = au(1 - bw) и G(u) = = const [2, 3]. Системой из двух уравнений вида (1) с квадратичной нелинейностью и запаздыванием моделируется реакция Белоусова—Жаботинского [2].
Наличие запаздывания в уравнении (1) резко усложняет его исследование. В последнее время был получен ряд результатов по точным решениям уравнения (1) для G (u) = const, которые описаны ниже. Проведенный в [6] групповой анализ позволил найти два реакционно-диффузионных уравнения, допускающих невырожденные инвариантные решения. В работах [20—24] были получены точные решения с простым, обобщенным и функциональным разделением переменных ряда уравнений вида (1) при G(u) = const. Многие из рассмотренных в [20—24] уравнений содержали функциональный произвол, причем некоторые решения включали большое (любое) число произвольных постоянных.
Замечание 1. В общем случае уравнение (1) допускает простые точные решения типа бегущей волны u = u(kx + Х t), которые здесь не рассматриваются.
Замечание 2. В данной статье термин точные решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений в частных производных (в том числе и уравнений с запаздыванием вида (1)) применяется, когда решения выражаются [20—24]:
(i) через элементарные функции и интегралы (неопределенные и определенные),
(ii) через решения обыкновенных дифференциальных или обыкновенных дифференциально-разностных уравнений (или систем таких уравнений),
(iii) через решения линейных уравнений в частных производных.
Допустимы также комбинации решений из пп. (i)-(iii).
Замечание 3. Методы решения и различные приложения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциально-разностных уравнений, которые существенно проще нелинейных дифференциально-разностных уравнений в частных производных, описаны, например, в [7—9, 25].
Замечание 4. В теории тепло- и массопереноса и гидродинамике встречаются также дифферен-
циально-разностные модели с конечным временем релаксации [20, 26—28], в которых запаздывание входит в производные искомых величин.
МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ.
ВИД ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
Будем рассматривать нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием вида (1), зависящие от произвольной функции одного аргумента / (г):
/ = /(г), I = г(и, м), м = и(х, ? - т), (2)
где г = 1(и, м) — некоторая функция.
Точные решения с обобщенным разделением переменных ищем в виде
и = Ф:(хМ(0 + Ф2(х)у 2(*\ (3)
где функции фп(х) и уопределяются в ходе дальнейшего анализа. Простому разделению переменных соответствуют решения и = ф(х)у(?) и и = ф(х) + , которые являются частными случаями (3).
Для определения вида аргумента г = г(и, м) произвольной функции /(г) используем метод функциональных связей, который основан на поиске точных решений вида (3), удовлетворяющих одной из двух функциональных связей [23]:
г(и, м) = р(х), м = и(х, ( - т); (4)
г(и, м) = дЦ), м = и(х, ? - т). (5)
Эти связи представляют собой разностные уравнения относительно переменной I, где х играет роль свободного параметра. Функции р(х) и д^) неявно зависят от х и I и выражаются в терминах функций фп(х) и у$), соответственно.
Частное решение разностного уравнения (4) или (5) с учетом (3) определяет допустимый вид точного решения, окончательный вид которого определяется путем подстановки (3) в рассматриваемое реакционно-диффузионное уравнение (1). Попутно находятся также функции G(u) и ¥ (и, м).
Помимо решений с обобщенным разделением переменных (3) рассматривались также некоторые более сложные решения с функциональным разделением переменных, в том числе, допускающие представление в неявной форме
и (и) = ф1(х)^(0 + Ф2(х)у 2(0, (6)
где и (и) — некоторая заданная или произвольная функция.
Далее приводятся только реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием, зависящие от произвольных функций /(и) и g(u), и их точные решения с простым, обобщенным и функциональным разделением переменных. Все промежуточные выкладки опускаются.
УРАВНЕНИЯ СОДЕРЖАТ ОДНУ ПРОИЗВОЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ
Уравнение 1. Рассмотрим уравнение (1) вида щ = а(иких) х + и/ (Щи), (7)
где /(г) — произвольная функция.
Уравнение (7) имеет точное решение в виде произведения функций разных аргументов
и = ф(х)у(0, (8)
где функции ф(х) и описываются обыкновенными дифференциальным и дифференциально-разностным уравнениями
а(ф кфХ )Х = Ьф, (9)
¥'(0 = Ь¥ к+1(0 + ¥(,)/(¥(, - х)/¥(,)), (10) где Ь — произвольная постоянная.
При Ь = 0 общее решение уравнения (9) имеет вид
\(С1х + С2)1/(к+1) при к Ф-1, [С ехр(С2х) при к = -1, где С1, С2 — производные постоянные.
При к ф - 2 и к ф 0 частное решение уравнения (9) имеет вид
Ф =
Ф = Ах2к,
А =
Ьк2
1/ к
(11)
(12)
(15)
3. Уравнение (11) при к = -1 имеет решение в виде произведения функций разных аргументов
и = С1 ехр (—Ьх2 + С2 х) 2а
(16)
где С1, С2 — произвольные постоянные, а функция у(,) описывается обыкновенным дифференциально-разностным уравнением (14).
Уравнение 3. Рассмотрим уравнение
и, = а(иких)х + Ь + и~к/(ик+1 - тк+1), к ф-1. (17)
1. Уравнение (17) имеет решение с функциональным разделением переменных
"|1/(к+1)
и =
Аг - Ь(к±1)х2 + С1 х + С2 2а
(18)
где С1, С2 — произвольные постоянные, А — решение алгебраического (трансцендентного) уравнения А = (к + 1) / (А т).
2. Уравнение (17) имеет более сложное решение с функциональным разделением переменных вида
и = м,) - Ь(к±1)х2 + С1х + С2]1/(к+1), 2а
(19)
2а(к + 2)_
Уравнение 2. Рассмотрим уравнение
и, = а(иких )х + и/ (ш/и) + Ьи +1, которое является обобщением уравнения (7).
1. Уравнение (11) при Ь(к + 1) > 0 имеет решение в виде произведения функций разных аргументов
и = [С1 ео8(рх) + С2 Бшфх)]1/(к+1)),
в = л] Ь(к + 1)/а, где С1, С2 — произвольные постоянные, а функция описывается обыкновенным дифференциально-разностным уравнением
V'(,) = М0/№ -т)/ у(,)). (13)
Частным решением уравнения (14) является экспоненциальная функция
у(0 = Ае ^, (14)
где А — произвольная постоянная, а X — решение алгебраического (трансцендентного) уравнения X - /(е_Хт) = 0.
2. Уравнение (11) при Ь(к + 1) < 0 имеет решение в виде произведения функций разных аргументов
и = [С1 ехр(-р х) + С2 ехр (в х)]1/(к+1)у(,),
в = ^-Ь(к + 1)1 а, где С1, С2 — произвольные постоянные, а функция описывается обыкновенным дифференциально-разностным уравнением (13).
где С1, С2 — произвольные постоянные, а функция описывается обыкновенным дифференциально-разностным уравнением
у'(,) = (к + 1)/(у(0 -т)). (20)
Уравнение 4. Уравнение
и, = а(и~
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.