ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 1, с. 112-119
УДК 536+532+517.9
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ С ОБОБЩЕННЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© 2015 г. А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва
polyanin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 11.03.2013 г.
Получены точные решения с обобщенным разделением переменных нелинейных реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием
щ = кихх + Р(и, м),
где и = и(х, г), м = и(х, г - т), т — время запаздывания. Все рассмотренные уравнения зависят от одной или двух произвольных функций одного аргумента. Найдены периодические решения по времени и по пространственной переменной; решения, описывающие нелинейное взаимодействие стоячей волны с бегущей волной; решения обобщенных уравнений Фишера с запаздыванием и др. Указаны условия неустойчивости некоторых решений. Приведены также точные решения более сложных реакционно-диффузионных уравнений с несколькими различными временами запаздывания и уравнений, в которых запаздывание произвольным образом зависит от времени т = т(г). Полученные точные решения содержат свободные параметры (в ряде случаев число таких параметров может быть любым) и могут быть использованы для решения некоторых задач и тестирования приближенных аналитических и численных методов решения подобных и более сложных нелинейных уравнений с запаздыванием.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием, точные решения с обобщенным разделением переменных, периодические решения, время запаздывания, обобщенные уравнения Фишера с запаздыванием, условия неустойчивости решений.
Б01: 10.7868/8004035711501011Х
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные уравнения и системы уравнений с запаздывающим аргументом возникают в различных приложениях, таких как биохимия, химия, биология, биофизика, физическая химия, медицина, гидродинамика, экология, теория климатических моделей, теория управления, математическая экономика и многих других (см., например, работы [1—12] и ссылки в них). Отметим также, что подобные уравнения встречаются в теории искусственных нейронных сетей, результаты которой используются для обработки сигналов и изображений и проблем распознавания образов [13, 14].
В данной статье рассматривается нелинейное реакционно-диффузионное уравнение с запаздыванием следующего вида [1, 2, 6, 12]:
и = кихх + Р(и, м), м = и(х, г - т). (1)
Точные решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником, которое является
частным случаем уравнения (1) без запаздывания при Р(и, м) = /(и), описаны в [15—18] (в [18, 19] приведено большое число точных решений соответствующих нелинейных реакционно-диффузионных систем уравнений без запаздывания).
Скорость изменения искомых величин в биохимических, биологических, физико-химических, экологических и других системах в общем случае зависит не только от их состояния в фиксированный момент времени, но и от всей предыдущей эволюции системы или определяется значениями искомой величины в конкретные моменты времени в прошлом. Последний случай часто моделируется уравнениями вида (1), в которых скорость биохимической реакции ¥ зависит от функции с запаздывающим аргументом w. При Р (и, м) = / (м) в уравнении (1) физический смысл запаздывания заключается в том, что процессы массо- и тепло-переноса в локально-неравновесных средах обладают инерционными свойствами: система реаги-
рует на диффузионное (тепловое) воздействие не в тот же момент времени t, как в классическом локально-равновесном случае, а на время релаксации т позже.
Простейшим нелинейным уравнением вида (1) является диффузионное логистическое уравнение (уравнение Фишера с запаздыванием) с кинетической функцией F(u, w) = au(l - bw) [2, 3]. Системой из двух уравнений вида (1) с квадратичной нелинейностью и запаздыванием моделируется реакция Белоусова—Жаботинского [2]. Примеры других реакционно-диффузионных систем с запаздыванием (включая систему Лотки-Вольтер-ра с запаздыванием) можно найти в [3].
Наличие запаздывания в уравнении (1) резко усложняет его исследование. Поэтому список известных точных решений уравнения (1) весьма невелик. В общем случае уравнение (1) допускает простые точные решения типа бегущей волны u = u(ax + в t). Анализу подобных решений посвящены, например, работы [2-5]. Полный групповой анализ нелинейного дифференциально-разностного уравнения (1) выполнен в [6]. В результате были найдены четыре уравнения вида (1), допускающих инвариантные решения; два из этих уравнений малоинтересны, поскольку имеют вырожденные решения (линейные по x).
Далее термин точные решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений с частными производными (в том числе и уравнений вида (1)) применяется в следующих случаях:
(i) когда решение может быть выражено через элементарные функции или быть представлено в замкнутой форме (выражается через неопределенные или определенные интегралы),
(ii) может выражаться через решения обыкновенных дифференциальных или обыкновенных дифференциально-разностных уравнений (или систем таких уравнений),
(iii) может выражаться через решения линейных уравнений в частных производных.
Допустимы также комбинации решений из пп. (i)-(iii).
Данное определение обобщает определение точных решений, которое использовалось в [18] для нелинейных уравнений в частных производных.
Замечание 1. Методы решения и различные приложения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциально-разностных уравнений, которые существенно проще нелинейных дифференциально-разностных уравнений в частных производных, описаны, например, в [7-9, 21].
Замечание 2. В теории тепло- и массопереноса и гидродинамике встречаются также дифференциально-разностные модели с конечным временем релаксации [22-24], в которых запаздывание входит в производные искомых величин.
В данной статье для поиска точных решений нелинейных реакционно-диффузионных уравнений вида (1) в основном применялись методы обобщенного и функционального разделения переменных [18] (см. также [17, 20]), которые легко распространяются на нелинейные уравнения в частных производных с запаздыванием.
Рассмотренные далее реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием зависят от произвольных функций f (z), g(z), h(z), где z = z(u, w) — некоторая заданная функция. Вырожденные решения не приводятся.
УРАВНЕНИЯ СОДЕРЖАТ ПРОИЗВОЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ, ЗАВИСЯЩУЮ ОТ ОТНОШЕНИЯ W/U
Уравнение 1. Рассмотрим уравнение (1) с кинетической функцией
F(u, w) = uf (w/u). (2)
1.1. Уравнение (1)—(2) допускает решение с разделяющимися переменными в виде произведения функций разных аргументов
u = [C\ cos(ax) + C2 sin(ax)]y(t), (3)
где Съ C2, a — произвольные постоянные, а функция y(t) описывается обыкновенным дифференциально-разностным уравнением
у t(t) = -каV(0 + w(t)f W - т)М0). (4)
Решение (3)—(4) является периодическим по пространственной переменной х.
1.2. Уравнение (1)—(2) допускает другое решение с разделяющимися переменными
u = [Сх exp(-ax) + С2 exp(ax)]y(t), (5)
где С1, С2, a — произвольные постоянные, а функция y(t) описывается обыкновенным дифференциально-разностным уравнением
V t (t) = ка V(t) + y(t)f (y(t - т)/y(t)). (6)
Замечание 3. Уравнения (4) и (6) допускает частные решения экспоненциального вида
Y(t) = Aext,
где A — произвольная постоянная, а константа X определяется из трансцендентных уравнений
X = + ка2 + f (e ).
Замечание 4. Решения вида (3) и (5) допускает также более общее уравнение
ut = kuxx + uf(t, w/u),
в котором кинетическая функция дополнительно явно зависит также от t.
1.3. Уравнение (1)—(2) допускает также решение
u = eа+ßt0(z), z — Xx + yt, (7)
где а, в, у, X — произвольные постоянные, а функция 0(z) описывается обыкновенным дифференциально-разностным уравнением
kX2Q'Z(z) + (2kaX - y)e;(z) + (g)
+ (ka2 - p)e(z) + e(z)f (e -pTe(z - a)/e(z)) = 0,
где a = ут. Решение (7) можно трактовать как нелинейную суперпозицию двух различных бегущих волн.
Замечание 5. Уравнение (8) имеет решения (при подходящем выборе свободных параметров):
0(z) = A cos + B sin ,
a = ух, n = 1,2,...,
где A и B — произвольные постоянные, а четыре параметра а, в, у, X в (8) связаны двумя соотношениями
2каХ - у = 0, -kX2 (ял/a)2 + ka2 - p + f((-1)ne) = 0.
Если параметры в и X задать произвольно, то эта система сводится биквадратному уравнению для параметра а.
1.4. Уравнение (1)—(2) допускает решения с обобщенным разделением переменных
u = ectV1(x, t; b), b = f (e- c, (9)
где c — произвольная постоянная, а функция v = = V1(x, t; b) является любым т-периодическим решением линейного уравнения теплопроводности с источником
Vt = kvxx + bv, v(x, t) = v(x, t - t). (10)
Общее решение задачи (10) имеет вид
да
V1(x,t;b) = Yexp(-^nx)[An cos(PJ - Ynx) +
n=0
+ Bn sin(Pn - Ynx)] + Yexp(^nx);
(11)
n=1
X [Cn cos(P nt + Y nx) + Dn sin (в nt + Y nx)],
в _ 2nn л _
p n _ , л n _ T
Vb2 + en
-b
ч1/2
2k
(
Y n _
а/ь 2 + pn
, 1/2
(12)
+ b
2k
(I) т-периодические по времени t решения задачи (10), затухающие при х ^ да, даются формулами (11)-(12) при ^0 = Д) = 0, Сп = Бп = 0, п = 1,2, ...;
(II) т-периодические по времени г решения задачи (10), ограниченные при х ^ да, даются формулами (11)—(12) при Сп = Бп = 0, п = 1,2,...;
(III) стационарное решение дается формулами (11)—(12) при Ап = Вп = Сп = Бп = 0, п = 1,2,...
1.5. Уравнение (1)—(2) допускает решения с обобщенным разделением переменных
и = ве'¥2(х, г;Ъ), Ь = /(-е- с, (13)
где с — произвольная постоянная, а функция V = = У2(х, г; Ъ) является любым т-апериодическим решением линейного уравнения теплопроводности с источником
Vг = к^хх + Ъу у(х, г) = -у(х, г - т). (14)
Общее решение задачи (14) имеет вид
V2(x,t;b) = Yexp(-^nx)[An cos(Pnt - Ynx) +
n=1
(15)
+ Bn Sin(Pnt - Ynx)] + Yexp(^nx)[Cn cos(Pnt + Ynx) +
n=1
в n =
n(2n -1)
+ Dn sin(Pnt + ynx)] flb
s 1/2
К =
+ en-b 2k
Y n =
+ en + b 2k
N1/2
(16)
где Ап, Вп, Сп, Б„ — произвольные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.