МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 531.391
© 2014 г. В. Ф. ЧУБ
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ПРЕЦЕССИЕЙ
Рассмотрены различные случаи равномерного движения объекта по окружности под действием гравитационного ускорения. Особое внимание уделено точному решению релятивистских уравнений инерциальной навигации, которое соответствует геодезической прецессии.
Ключевые слова: геодезическая прецессия, конформная группа, кватернионы и бикватернионы, уравнения инерциальной навигации, гиростаби-лизированная платформа.
Введение. Настоящая работа представляет собой естественное продолжение и существенное развитие статьи [1], в которой можно найти введение в проблематику и обзор литературы.
Напомним, что в [1] исследовались решения уравнений инерциальной навигации, полученных в [2] в рамках специальной теории относительности, т.е. в рамках теории, основанной на 10-параметрической группе Пуанкаре. В данной же работе будут рассматриваться решения уравнений инерциальной навигации, полученных в [3] в рамках теории, основанной на 15-параметрическом расширении группы Пуанкаре — конформной группе.
В последнем пункте работы [1] была выписана следующая цепочка равенств для композиции преобразований из 6-параметрической группы Лоренца:
V ° ° = У^ о ©^ = у'° V, °
и отмечено, что условие 8Ф = 0 соответствует движению с инерциальной ориентацией, т.е. инерциальной платформе, условие й Ф = 0 — движению без поворота, т.е. непо-ворачивающейся платформе, а 8' Ф = 0 соответствует движению гиростабилизирован-ной платформы.
Запишем выписанные уравнения в следующем общем виде:
Л „л - л - л Е(т)Е(т+йт) .
л 1Е(т) ° л Е(т)Е(т+йт) - л 1Е(т+йт) - л I ° л 1Е(т)
Здесь I — базовая инерциальная система отсчета (ИСО), называемая также лабораторной ИСО, или ИСО наблюдателя, а Е(т) и Е(т + й т) — две бесконечно близкие ИСО, проходимые объектом. Далее, в соответствии с обозначениями и терминологией [2]:
Л 1Е(Т) = Л1Е(т) = Л Е^)' — собственная проекция оператора перехода от I к Е(т), представляющая конечное преобразование группы, связывающее I с Е(т);
Л 1Е(х+йх) = Л 1Е(т+йт) = ЛЕ^"^ — собственная проекция оператора перехода от I к Е(т + й т) — тоже конечное (т.е. не бесконечно малое в общем случае) преобразование;
д д Е(т)Е(т+йт) А Е(т)Е(т+йт) г
Л Е(х)Е(х+йх) = Л Е(т) = Л ¿(х+йх) — собственная проекция оператора перехода от Е(т) к Е(т + й т) — бесконечно малое преобразование;
Л/ВДДт+Л) — проекция оператора перехода от E(t) к E(t + d т) на лабораторную ИСО — тоже бесконечно малое преобразование.
Важно помнить, что в общем случае ЛE(T)E(T+dT) ^ лE(x)E(x+dx); именно поэтому дифференциалы параметров бесконечно малых элементарных преобразований имеют
разные обозначения: 5 для Л E(x)E(x+dx) и 8' для д-ВДД^я1.
Пользуясь стандартным разложением преобразования общего вида из группы Пуанкаре на элементарные Л1E = TtRr ° Vy ° 0где T, Rr, Vy, 0^ — перенос во времени, перенос в пространстве, буст и пространственный поворот с соответствующими параметрами [2], запишем аналогичную выписанной цепочку равенств, но уже не для 6-параметрической группы Лоренца, а для 10-параметрической группы Пуанкаре:
(TtRr ° Vv ° ©tf ) ° (T5iR6rV5v©5^) = Tt+dtRr+dr ° V4+dy ° =
= (T8.tR8'rV8'v©8^) ° (TtRr о Vv о ©^
Отметим, что уравнения для группы Лоренца — это следствие уравнений для группы Пуанкаре, поскольку в соответствии с определяющими соотношениями для группы Пуанкаре повороты пространства-времени не зависят от переносов. Напомним также, что первое равенство в выписанной цепочке при 5 r = 0 эквивалентно полученной в [2] системе релятивистских уравнений инерциальной навигации в свободном от гравитационного поля пространстве.
Далее, пользуясь стандартным разложением преобразования общего вида из конформной группы ЛIE = TtRr ° Vyrу©^ ° GgWw [3], выпишем еще одну цепочку равенств, уже не для 10-параметрической группы Пуанкаре, а для 15-параметрической конформной группы:
(TtRr о Vvrу©^ о GgWw) о (78(R8rV5vri+5y©5^G5gW5w) =
= Tt+dtRr+dr ° Vy+dvFy+dy®tf+dtf ° Gg+dgWw+dw =
= (T8'tRb'rV8yri+8'y©8'^G8'gW8'w) ° (TtRr о Vvrу©^ о GgWw)
Отметим, что ни выписанные выше уравнения для группы Пуанкаре, ни уравнения для группы Лоренца не вытекают в общем случае из приведенных уравнений для конформной группы. Напомним также, что первое равенство в выписанной цепочке при 8 r = 0 эквивалентно полученной в [3] системе релятивистских уравнений инерциаль-ной навигации с учетом гравитации.
Следуя [3], перейдем от элементарных преобразований T, Rr, Vy, ГY, ©^, Gg, Ww к "квазиэлементарным" пространственно-временным преобразованиям: переносу Rr = TtRr, поворотному растяжению BB = Vyrу©гравитационному преобразованию Aa = GgWw, где связь бикватернионных параметров R, B, A квазиэлементарных преобразований со скалярными и векторными параметрами t, r, у, у = ea, -—, g, w элементарных преобразований дается следующими соотношениями:
R = t + r, B = VYeV'2 о eW/2 = e(a+v)/2 о e1*/2, A = (w + g)/2
В этих (четырехмерных) обозначениях цепочка равенств для конформной группы принимает вид:
(rr ° bb ° aa) ° (R6rB1+5b A5a) = rr+dr ° bb+db ° aa+da =
= (R6'rB1+5'bA5'a) ° (rr ° bb ° aa)
8 R = 81 + 8 r, SB = (8а + 8у + i8-fl)/2, 5A = (8w + Sg)/2 d R = dt + d r, d A = (dw + dg)/2
dB = g[(a+da)+(V+dv)]/2 o _ g(a+y)/2 o gi-d/2
где 8R, 8B, 8Ä, dR, dB, dA, 8'R, 8'B, 8'A — бесконечно малые бикватернионы Гамильтона.
Разрешая левое равенство с использованием приведенных в [3] определяющих соотношений для конформной группы, получаем следующую систему соотношений "d от 8 ":
dR = B о 8R оB, dB = B о (SB -SR ° A) d A = 5 A + S B о A + A о SB - A ° S R ° A
где черта над бикватернионом обозначает комплексное сопряжение, а тильда — векторное [2]. Подставляя 8 R = d т, 8 B = (ц + а + ia)d т/2, 8A = (v + n)d т/2, получим выписанные в п. 4.3 уравнения инерциальной навигации (4.1)—(4.7), решения которых и приводятся в настоящей работе.
Разрешая теперь правое равенство в цепочке для конформной группы, получаем систему соотношений "d от 8'":
d R = 8' R + 8' B о R + R о 8' B - R о 8' A о R
dB = (5' B - R о 5 'А) ° B, dA = B° S' A ° B Входящие в эти выражения дифференциалы
8' R = 8' t + 8 'r, 5' B = (5' a + 5' у + i5' tf)/2, 8 'A = (8' w + 8' g)/2
уже не имеют такой же прямой связи с измеряемыми инерциальной навигационной системой величинами как 8R, 8B, 8A, но для данной статьи представляет интерес случай 8'"0 = 0, соответствующий движению гиростабилизированной платформы. С целью выразить параметры бесконечно малого преобразования дЕ(т№+А) через известные при решении задачи инерциальной навигации параметры преобразований Л /E(X) (считающееся известным начальное положение) и Л E(x)E(x+dx) (измеренное инерциаль-ными приборами изменение начального положения) сначала обратим систему, получая соотношения "8' от d":
8' R = dR - (dB о B-1) о R - R о (dB о B-1) - (R ° B ° dÄÄ ° (R ° B
5'B = dB о B -1 + R о B-1 о d Äo B -1, 8' Ä = B -1 о dA о B-1
Далее уже не представляет труда получить систему соотношений "8' от 8". Для целей настоящей работы важно только выражение для 8'B:
8' B = (8' a + 8' у + iS' tf)/2 =
= B о (g B - 5 R о A) о B-1 + R о B-1 о (g A + A о g B + g B о A - Äo gR о A) о B -1
поскольку условие 8'Ф = 0 эквивалентно требованию обращения в нуль мнимой части 8'B. Именно этому условию удовлетворяет точное решение уравнений инерциальной навигации, выписанное в п. 1.4 (оно соответствует и результатам измерения геодезической прецессии в эксперименте Gravity Probe-B [4—8]1).
1 См. также краткое информационное сообщение под названием "Результаты Gravity Prob B" [9]. Имеются планы проведения аналогичных экспериментов с квантовыми гироскопами (датчиками угловой скорости) [10, 11].
В целом же в работе уделяется внимание: тем решениям, которые тесно связаны с шестью решениями из [1] (пп. 1.1 — 1.3, 2.1—2.3); уже упомянутому решению для геодезической прецессии и ему сопряженному2 (пп. 1.4, 2.4); самосопряженному3 решению (п. 3.1). Кроме того, развита удобная форма представления равномерного движения объекта по окружности в виде решения уравнений инерциальной навигации (зависящего от одной скалярной функции и параметра, характеризующего вклад гравитационного ускорения в полное), включающего все указанные выше случаи.
1. Первая группа решений. В пп. 1.1 — 1.4 этого раздела представлены решения релятивистских уравнений инерциальной навигации с ориентацией объекта, стремящейся к инерциальной (ю = 0) в нерелятивистском пределе. При рассмотрении этих решений полезно иметь соответствующее решение нерелятивистских уравнений. Поэтому напомним систему нерелятивистских уравнений инерциальной навигации [3]:
dt/dx = 1, dr/dx = и, du/dx = Q о (a + g) о Q-1, dg/dx = n + g x w dQ/d т = Q о irn/2
где Q = exp(i Ф/2) — кватернион поворота, и выпишем требующееся решение. Начальные условия:
2 2
t(To) = 0, г(т о) = Го, и(т о) = и 0, g(To) = g 0 =- - — = - Го
r0 r0 r0
^(Т0) = 0, Т0 = 0, Г0 > 0, Г0 • U0 = 0
Здесь и далее r0, и 0, g0, ... — постоянные векторы. Условия:
a = 0, n = e ° n0, ш = 0
О О Г0 X U0 U0 Г0 X U0 n U0 U03 U02
О - ° -;—--2—, n0 =---2 = —2и0
IГ0 X U0I Г0 r0 U0 Г02 Г02
Решение:
, HI't iQ't ¿Пт Л n
t = т, Г = e ° Г0, и = e ° u0, g = e ° g0, = 0
где П 't = Пт, соответствует движению объекта по окружности радиуса r = |Г01 со скоростью и = |и0| при нулевом кажущемся ускорении a и ненулевом гравитационном ускорении g. При этом4 Q' = Q, Q' = Q = и/г = g/и = -Jg/г, а dQ/dt = 0.
2 Связанному с решением для геодезической прецессии рассматриваемой далее заменой выражений для угловых скоростей га и О.
3 Для которого га = П .
4 Выпишем здесь для справки все "угловые скорости", которые используются в работе, в общем случае для равномерного движения объекта по окружности различные: га — измеряемая объектом (его датчиками угловых скоростей) угловая скорость; га' — вектор, входящий в релятивистское уравнение инерциальной ориентации (4.4); П — "угловая скорость вращения" вектора (гравитационного) ускорения (g = ехр(гПт) ° g0); П' — угловая
скорость вращения объекта по ок
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.