научная статья по теме ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЕЦЕССИЕЙ ТОМАСА Механика

Текст научной статьи на тему «ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЕЦЕССИЕЙ ТОМАСА»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014

УДК 531.391

© 2014 г. В. Ф. ЧУБ

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЕЦЕССИЕЙ ТОМАСА

Цель работы — дать обзор точных решений релятивистских уравнений инерциальной навигации, которые прямо или косвенно связаны с прецессией Томаса. Рассмотрены различные случаи равномерного движения объекта по окружности в свободном от гравитационного поля пространстве, близкие в нерелятивистском пределе к движению с инерциальной или с орбитальной ориентацией.

Ключевые слова: прецессия Томаса, группа Пуанкаре, кватернионы и би-кватернионы, уравнения инерциальной навигации, эксперимент Gravity Probe-B.

Введение. Одна из особенностей статьи — внимание к вопросам, которые связывают инерциальную навигацию с современной физикой. B научном сообществе по отношению к инерциальной навигации сложилась непростая ситуация. С одной стороны, механика — раздел физики [1, с. 17; 2], а инерциальная навигация — важный современный раздел общей механики [1, 3, 4]. Но, с другой стороны, термин "инерциальная навигация" отсутствует в предметном указателе "Физической энциклопедии" [5], а сама инерциальная навигация традиционно считается технической наукой [6—19]. Для подтверждения сказанного приведем две цитаты: "После лекции о вращающихся системах была прочитана лекция об инерциальной навигации, но, к сожалению, при издании ее опустили" Р. Фейнман [2, с. 14]; "Инерциальная навигация в наши дни — один из ярких примеров того, как идея, первоначально казавшаяся совершенно фантастической, находит свое реальное воплощение и прокладывает дорогу к широкому практическому применению" А.Ю. Ишлинский [1, с. 369].

С математической точки зрения обозначенная в заголовке статьи задача сводится к поиску нетривиальных аналитических решений некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которую для рассматриваемого в работе случая можно записать в виде одного такого уравнения, если использовать гиперкомплексные числа специального вида (комплексно-дуальные кватернионы). Приводимые в статье решения были, по сути, угаданы с использованием физических соображений. Таким образом, использованный автором метод представляет собой частный случай общего метода проб и ошибок [20, с. 119].

Далее введение будет построено по принципу последовательного краткого рассмотрения тех понятий (ключевых слов), которые необходимы для понимания статьи.

Под прецессией Томаса (или томасовской прецессией) понимают "релятивистский кинематич. эффект, заключающийся в том, что ось гироскопа поворачивается (прецес-сирует), когда его точка подвеса движется по криволинейной траектории (в общем случае гироскоп следует понимать как частицу, задающую определ. направление, напр.

электрон со спином)" [21]. Это явление1 исследовал Л. Томас в работах 1926—1927 гг. (см. [22, с. 204]), до сих пор, насколько известно автору, не переведенных на русский язык.

В то же время, существует устойчивая традиция [23—25] называть тем же термином, т.е. прецессией Томаса (или томасовской прецессией), другое явление — незамкнутость2 бустов (специальных преобразований Лоренца): "Л. п. не образуют группу, т.к. три последоват. Л. п. могут привести к и. с. о., неподвижной по отношению к исходной, но отличающейся пространств. поворотом (т. н. томасовская прецессия)" [26, с. 609]3. На этот важный факт обратил внимание А. Пуанкаре в работе 1906 г. [27, с. 134].

Глубокая связь между описанными явлениями, а именно, то, что первое из них — следствие второго, неоднократно подчеркивалась в литературе [28, с. 160—161; 29, с. 44—46; 30, с. 403; 31, с. 77]. На это указывал и Л. Томас уже в работе 1926 г. [22, с. 204].

Приведем две цитаты, характеризующие современную ситуацию с прецессией Томаса в физике: "Томасовская прецессия играет важную роль во многих явлениях (в том числе она существенна для вычисления тонкой структуры атомных спектров)", но "вопрос до сих пор излагается с ошибками даже в учебниках" [32]; "В литературе имеется большое число различных выражений для частоты прецессии Томаса", причем "корректный результат был получен в работах ряда авторов, опубликованных еще более сорока лет назад, однако оказавшихся незамеченными на фоне множества ошибочных работ" [33, с. 865].

Группой Пуанкаре (или неоднородной группой Лоренца) называют 10-параметри-ческую непрерывную группу преобразований, лежащую в основе специальной теории относительности (СТО) [34; 35, с. 187].

Преобразования, входящие в группу Пуанкаре, удобно представлять, считая, что они действуют на 4-вектор X, переводя его в 4-вектор X' (активная трактовка). В состав группы Пуанкаре входят следующие элементарные преобразования:

7: X' = X + ? — сдвиг (перенос) во времени T с параметром р,

Rr: X' = X + г — сдвиг (перенос) в пространстве R с параметром г;

V.X' = е*/2 о X о е*/2 — буст (лоренцев поворот) Vс параметром у;

X' = е /2 о X о е /2 — поворот (вращение) 0 с параметром -д.

Для представления преобразований здесь использованы кватернионные обозначения, символ (о) напоминает о некоммутативности операции. Преобразование общего вида из группы Пуанкаре представляет собой композицию перечисленных элементарных преобразований.

Термин кватернион [36] предложен У. Гамильтоном [37; 38, с. 188]. Применению кватернионов и бикватернионов посвящена обширная литература; ряд изданий (от рассчитанных на старшеклассников до фундаментальных монографий) указан в работе [39]. Обзор литературы, посвященной применению кватернионов и бикватернио-нов Клиффорда (дуальных кватернионов4) в современной механике и теории управления, приведен в монографиях [40—42]. В физике широко распространено матричное представление бикватернионов Гамильтона (комплексных кватернионов5) с исполь-

1 Под явлениями в статье понимаются факты, предсказываемые физической теорией, независимо от возможности их непосредственного экспериментального подтверждения.

2 Свойство не образовывать группы.

3 Л. п. = Лоренца преобразования; и. с. о. = инерциальная система отсчета.

4 Их называют также параболическими бикватернионами [40, с. 14].

5 Их называют также гиперболическими бикватернионами [40, с. 14] и комплексными кватернионами Ньюмена—Пенроуза [43, с. 141].

зованием спиновых матриц Паули [44, с. 149—151; 45], которое применяется в том числе и при рассмотрении прецессии Томаса [30, с. 391—405]. Укажем также, что в 2003 г. вышло [46, с. 1151] второе издание монографии А.В. Березина, Ю.А. Курочкина и Е.А. Толкачева, посвященной применению кватернионов и бикватернионов в теоретической физике (в ней содержится и "Краткий исторический очерк развития кватер-нионного исчисления и его применений в геометрии, механике и физике"), а в 2004 г. вышел первый номер специализированного научного журнала "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике".

Для понимания основного материала статьи нет необходимости переходить к покомпонентному представлению кватернионов и выписывать таблицы умножения гиперкомплексных единиц. Достаточно помнить, что кватернионы (а также бикватер-нионы и комплексно-дуальные кватернионы) представляют собой суммы скалярных и векторных компонент, например:

X = х 0 + x, ev/2 = ch(y/2) + sh(y/2), ehV1 = cos(9/2) + ;sin(-fl/2)

а складываются и перемножаются они как обычные многочлены. Некоммутативность кватернионного умножения проявляется только в формуле для произведения векторов:

а о b = а ■ b - i a x b

Здесь и далее точкой и крестом обозначаются, соответственно, скалярное и векторное произведения, i — обычная мнимая единица. Более подробно используемая автором система обозначений рассмотрена в [39].

Перейдем к следующему понятию из списка ключевых слов — к инерциальной навигации. Рассмотрим, следуя [39], теоретико-групповой подход к постановке задачи релятивистской инерциальной навигации в свободном от гравитационного поля пространстве (развитие этого подхода см. в [47]). Пусть ЛIE(T) = T^R^) ° Vv(T) о ©^ — известное (заданное) преобразование общего вида из группы Пуанкаре, связывающее инерциальные системы отсчета I и E(t), разложенное в последовательность элементарных преобразований (сдвиги во времени и в пространстве, буст и поворот). Здесь I — базовая (лабораторная) система отсчета, а E(t) — текущая (мгновенно сопутствующая) инерциальная система отсчета, связанная с движущимся объектом (т — собственное время объекта). Приборы, входящие в состав бесплатформенных инерциальных навигационных систем [4]: часы, акселерометры и датчики угловой скорости (ДУСы), позволяют найти бесконечно малое преобразование Л E(x)E(x+dx) = TdTVadlßmdT, связывающее две бесконечно близкие инерциальные системы отсчета, проходимые объектом. Тогда общая формула композиции преобразований группы

Л IE(x+dx) = Л IE(t) ° Л E(x)E(x+dx)

с использованием определяющих соотношений фундаментальной группы преобразований пространства-времени (в СТО — группа Пуанкаре, в механике Ньютона — группа Галилея) приводит к дифференциальным уравнениям инерциальной навигации, позволяющим по известному начальному положению объекта и измеряемым величинам, характеризующим "степень неинерциальности" связанной с объектом системы отсчета, рассчитывать текущее положение объекта. Для записи уравнений инерциальной навигации удобно использовать кватернионы и родственные им числовые системы.

Ниже приводятся точные решения выведенного в [39] релятивистского уравнения инерциальной навигации в свободном от гравитационного поля пространстве dЛ/dт = Л о (а + ;'ю + s/'Л ° Л) /2 в виде

. . / ч ей(х)/2 Eir(x)/2 ш(х)/2 i-O(x)/2

Л = Л(т) = e e ° e* ° e

при заданных векторных функциях а = а(т) и ю = ю(т). Здесь a — кажущееся (измеряемое акселерометрами) ускорение объекта; ю — измеряемая объектом (ДУСами) угловая скорость; т — собственное (измеряемое по часам объекта6) время движущегося объекта; Л — комплексно-дуальный кватернион (;2 = — 1, s2 = 0), соответствующий пространственно-временному преобразованию, которое связывает лабораторную (инерциальную) и связанную с объектом системы отсчета; индексы опущены. Его параметры характеризуют t — перенос (сдвиг, трансляцию) во вре

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком