АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 92, № 10, с. 858-866
УДК 521.131
ТОНКАЯ СТРУКТУРА ОБЛАСТИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ БЛИЗКИХ К ПЕРИОДИЧЕСКИМ ОРБИТ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
© 2015 г. П. П. Ясько*, В. В. Орлов
Санкт-Петербургский государственный университет, С.-Петербург, Россия Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук, С.-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 9.04.2015 г.; принята в печать 13.05.2015 г.
В общей задаче трех тел с компонентами равных масс и нулевым моментом вращения исследована область начальных условий для орбит, близких к периодическим. Для поиска таких орбит использован предложенный ранее метод, основанный на минимизации функционала, равного сумме квадратов разностей начальных и текущих значений координат и скоростей тел. Поиск проводился среди орбит с периодами T < 2000т, где т — среднее время пересечения компонентом тройной системы. В области начальных условий найдены вытянутые структуры, каждая из которых соответствует определенной периодической орбите. Можно предположить, что обнаруженные структуры концентрируются вдоль характеристических кривых, соответствующих точным периодическим орбитам. Обнаружена пограничная зона начальных условий, слева от которой располагаются орбиты, порожденные орбитой Шубарта, а справа — S-орбитой. Показано, что в пограничной зоне орбиты, близкие к периодическим, обладают свойствами обеих порождающих орбит. Как правило, они имеют периоды ~102т. Представлены примеры траекторий движения тел. Описаны динамические и геометрические свойства исследованных орбит.
DOI: 10.7868/S0004629915100072
1. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Периодические орбиты играют важную роль в теории динамических систем [1]. Устойчивые периодические орбиты порождают области устойчивых финитных движений, в то время как неустойчивые орбиты формируют зоны хаотических движений. Значительное место периодическим орбитам уделяется при исследовании классической ньютоновской гравитационной задачи трех тел [2—4]. В общей задаче трех тел известно несколько семейств устойчивых периодических орбит. В частности, такие семейства были обнаружены в системах тел равных масс с нулевым угловым моментом [5—12].
В работах [8—12] начальные координаты и скорости тел задавались следующим образом: все три тела расположены на одной прямой (имеет место сизигия), одно из тел помещено в центр масс тройной системы. Вектор скорости этого (центрального) тела противоположно направлен относительно векторов скоростей двух крайних тел, которые равны по величине и направлению. Для выполнения
E-mail: astromex@yandex.ru
закона сохранения импульса модуль вектора скорости центрального тела равен удвоенному модулю вектора скорости каждого из крайних тел.
В [8, 11] начальные условия определялись через два параметра: вириальный коэффициент к, равный отношению кинетической энергии к модулю потенциальной энергии тройной системы, и угол р между вектором скорости центрального тела и прямой, на которой лежат три тела. Параметры к и р менялись в следующих интервалах: к € (0,1);
Случаи к = 0 и к = 1 соответствуют
тройным соударениям тел. Массы всех трех тел полагались равными единице, постоянная тяготения С = 1 и полная энергия тройной системы Е = —1. В [11] приведены выражения для начальных координат и скоростей компонентов тройной системы через параметры к и р. Таким образом, каждой точке области (к, р) соответствует конкретная орбита.
Поиск близких к периодическим орбит осуществлялся сканированием области начальных условий (к, р) с шагами Дк = Ар = 0.001 с
V е
Рис. 1. Множество близких к периодическим орбит с периодами Т < 100т в области (к, ф).
использованием минимизации следующего безразмерного функционала:
Ф2
Е
i=1
|r¿0 - r¿|2 |r¿0 - r¿|2
d2
(d/т )2
где rio и ri — начальный и текущии радиус-векторы положения i-го тела (i = 1,2,3), ri0 и ri — начальный и текущий радиус-векторы скорости i-го тела (i = 1,2,3), d — средний размер тройной системы, т — среднее время пересечения (время, за которое компонент тройной системы, двигаясь со средней скоростью, проходит расстояние, равное среднему размеру тройной системы). Отбирались траектории, для которых значение функционала Ф в определенный (заранее неизвестный) момент времени T становилось меньше принятого критического значения ФСгй = 0-03. Как правило, значение T равно периоду отобранной траектории. Это сканирование выявило ряд областей, в которых могут находиться искомые (близкие к периодическим) орбиты.
Так, в [11] были найдены 23 близкие к периодическим орбиты с периодами Т < 10т (из них 9 орбит обнаружены впервые, а остальные были независимо открыты в [9]). Все найденные нами орбиты имеют общие свойства: симметрия (центральная или осевая) и определенные соотношения между числом самопересечений витков траектории центрального тела на одной из осей симметрии и числом оборотов крайних тел. В [12] было обнаружено множество новых близких к периодическим орбит с периодами Т < 100т при Фсгц = 0.03 (рис. 1).
На рис. 1 выделяется семейство вытянутых, приблизительно параллельных друг другу структур ("ребер"), ориентированных сверху слева вниз направо и тянущихся от орбиты Шубарта (к, ф) и и (0.203,0) к S-орбите (к,ф) и (0.333,0.656). В этих структурах наблюдаются утолщения к центру, которые образуют своеобразный "хребет". На "хребте" также концентрируются некоторые обнаруженные в [11, 12] периодические орбиты, в том числе орбита Шубарта и S-орбита.
ф
1.6
0.8
к
Рис. 2. Структура области (к, р) для орбит с периодами Т < 100т. Серые точки взяты из рис. 1, крестиками обозначены начальные условия для орбит типа орбиты Шубарта, кружками — для орбит типа Б-орбиты.
В настоящей работе была поставлена задача более детально исследовать структуру "ребер" и "хребта", а также проследить изменение топологической структуры орбит при переходе от начальных условий, соответствующих орбитам типа орбиты Шубарта, к начальным условиям, соответствующим орбитам типа Б-орбиты. Для этого отдельные фрагменты области начальных условий (к,р) были просканированы с различными шагами Ак и Ар, а также с различными значениями Фсгц = = 0.01,0.003, что позволило локализовать начальные условия для орбит, близких к периодическим, и проследить эволюцию геометрии орбит.
При вычислениях использовалась динамическая система единиц, применявшаяся в [8, 11, 12]. Для каждой из рассмотренных нами тройных систем вычисления проводились до момента времени £ = 2000т. Как и в [8], нами проводилось численное интегрирование уравнений движения общей задачи трех тел методом Булирша—Штера [13] с использованием регуляризации Арсета—Заре [14]. Все
вычисления проводились по программе TRIPLE, составленной Арсетом [15].
2. РЕЗУЛЬТАТЫ
В процессе работы были замечены некоторые закономерности изменений периода и топологической структуры орбиты при вариации начальных условий (к,р). Было высказано предположение, что, если упорядочить орбиты по периодам, то появится возможность пронаблюдать "эволюцию" топологической структуры орбит при увеличении периода.
Нами было проведено дополнительное исследование окрестности "хребта". В результате были обнаружены близкие к периодическим орбиты двух типов: орбиты типа орбиты Шубарта (центральное тело движется по кривой, напоминающей несколько восьмерок, и испытывает последовательные двойные сближения с каждым из крайних
Ф
0.640 г
0.636 -
0.632 -
0.628 -
0.624 -
0.620
0.304
0.308
0.312
0.316
0.320
к
Рис. 3. Пограничная зона между областями орбиты Шубарта и Б-орбиты. Прямоугольником выделена область, для которой проведено сканирование с более мелким шагом (рис. 4).
тел) и орбиты типа Б-орбиты (траектория центрального тела напоминает букву Б, траектории крайних тел содержат по одной точке возврата). На рис. 2 изображены начальные условия для найденных орбит двух типов (для орбит типа Шубарта они обозначены крестиками, для орбит типа Б-орбиты — кружками). Серыми точками обозначены начальные условия для всех орбит, обнаруженных в [12]. Проведенный анализ показал, что орбиты с одинаковыми (или кратными) периодами формируют "ребра". Однако при движении вдоль "хребта" вверх и вправо периоды орбит меняются нерегулярно: чередуются орбиты с малыми и большими периодами (отличие может быть в несколько раз). Из рис. 2 видно, что начальные условия (к, ф) для орбит этих двух типов не пересекаются друг с другом — они расположены в изолированных областях.
Было проведено детальное сканирование пограничной зоны между этими областями (рис. 3) с шагом Дк = Дф = 0.00001 для Фсги = 0.003 и
периодами T < 500т. В левой части рис. 3 квадратиками обозначены начальные условия для близких к периодическим орбит, которые принадлежат области устойчивости, связанной с орбитой Шубарта. Периоды этих орбит в большинстве случаев кратны периоду орбиты Шубарта T & 0.90т. В правой части рисунка крестиками отмечены начальные условия для близких к периодическим орбит, которые содержатся в области, связанной с S-орбитой. Периоды этих орбит, как правило, кратны периоду S-орбиты T 2.68т.
Прямоугольником на рис. 3 выделен фрагмент пограничной области (он показан на рис. 4), для которой проводилось дополнительное сканирование с шагами Дк = 0.0000001, Дф = 0.0001 для Фсгй = = 0.01 и периодами T < 2000т. На рис. 4 хорошо выделяются два множества точек: слева — множество, связанное с орбитой Шубарта; справа — связанное с S-орбитой. Эти множества разделены "зоной избегания" (отделена двумя параллельными прямыми), в которой было обнаружено только
Ф
0.6304
0.6300 -
0.6296 -
0.6292 -
0.6288
0.3104
0.3108
0.3112
0.3116
0.3120
0.3124
к
Рис. 4. Тонкая структура пограничной зоны (выделена прямоугольником на рис. 3) между областями орбиты Шубарта и Б-орбиты.
Рис. 6. Пример промежуточной траектории с начальными условиями (к,р) = (0.3116677, 0.62905) и периодом Т = = 152.12т.
несколько точек, удовлетворяющих условиям поиска. Периоды орбит, начальные условия которых находятся в "зоне избегания", не кратны периодам орбиты Шубарта и Б-орбиты, но могут быть кратны произведению этих периодов.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.