Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 8, с. 634-638
© 2009 г. 25 октября
Топологические связанные состояния
А. А. Горбацевич1 , М. Н. Журавлев* + Санкт-Петербургский физико-технологический НОЦ РАН, 194021 Санкт-Петербург, Россия * Московский государственный институт электронной техники, 124498 Москва, Россия Поступила в редакцию 17 сентября 2009 г.
В приближении сильной связи показано, что в ветвящихся молекулах и квантовых проводниках существует особый тип электронных состояний, локализованных в окрестности точки изменения топологии. Связанные состояния данного типа присутствуют как снизу, так и сверху разрешенной зоны, то есть как для электронов, так и для дырок, что принципиально отличает их от связанных состояний, образующихся в минимуме потенциальной энергии. Декремент затухания волновой функции не зависит от зонных параметров и представляет собой инвариант, определяемый характеристикой топологии. Туннельное взаимодействие топологических связанных состояний существенным образом определяет изменение электронного спектра молекулярных систем при конфигурационных переходах.
РАСЯ: 71.23.An
Существование связанных состояний частиц -важная особенность квантовой механики. Как известно, в одномерных и двумерных системах связанные состояния образуются на любом сколь угодно слабом притягивательном потенциале, а в трехмерном - на достаточно сильном потенциале [1]. В твердом теле, где могут существовать носители с противоположными зарядами, потенциал, создающий связанное состояние для электрона, служит рассеивающим барьером для дырки, и наоборот. Ниже показано, что в ветвящихся молекулах и квантовых проводниках могут существовать локализованные (в точке ветвления) состояния нового типа, которые образуются одновременно и для электрона, и для дырки.
Простейшей и наиболее изученной ветвящейся системой служит У-разветвитель, образованный соединением в одной точке трех квантовых проводников, в роли которых могут выступать углеродные нанотрубки [2], электронные волноводы [3] или сложные супрамолекулярные соединения [4]. У-разветвитель - существенно нелинейный прибор [5].
Как известно, в одномерных проводниках свойства возбуждений при низких энергиях определяются кореляционными эффектами [6]. В работах [7, 8] было показано, что наличие разветвления существенным образом модифицирует свойства латинжеров-ской жидкости, приводя к появлению новых неподвижных точек уравнений ренормгруппы и скейлин-говых показателей. Рассмотренные в настоящей работе топологические связанные состояния расположены вне разрешенной зоны далеко от уровня Ферми, и
их существование не связано со свойствами низкоэнергетических возбуждений.
Рассмотрим У-разветвитель, образованный соединением в одной точке трех полубесконечных атомных цепочек (рис.1а). Введем степень ветвления N
(а)
„(2)
И
(2)
(2)
(3)
„(3) N
Рис.1. Условная схема У-разветвителя, составленного из трех полубесконечных атомных цепочек (а), к каждому узлу которых присоединен дополнительный ли-гандный атом (Ь)
как число соединенных в одной точке атомных цепочек, уменьшенное на 2. В случае У-разветвителя N = 1. Будем описывать данную молекулярную систему в приближении сильной связи, учитывая перескоки только между ближайшими соседями и отсчитывая номера узлов п от точки ветвления, которой соответствует п = 0. Уравнения для узельных амплитуд сп в каждой из г = 1,2,3 ветвей имеют стандартный вид:
м) - £ М) _ 4. (м) , с(0 А
-п ~ ьсЫ 1 ГЫ-1 т ьп+1 I
(1)
1,е-таП: aag0edu.ioffe.ru
где е - энергия носителя в цепочке, ес - узельная энергия (энергия электрона в изолированном атоме),
2
2
£ - интеграл перескока. Спин носителей не учитываем и обсудим его роль ниже. Для состояний непрерывного спектра уравнение (1) приводит к закону дисперсии одномерной цепочки е = е(к) = = ес — 24 сов(ка), где к - волновой вектор, а — постоянная решетки. В точке ветвления (п = 0) имеем следующее соотношение, играющее роль граничного условия к уравнению (1):
ed =
edd - i
.(i) , „(2) , „(зГ
(2)
Здесь ё - амплитуда электронной волновой функции в нулевом узле, е^ - энергия электрона на этом узле.
Из аналогичного (1) уравнения для узельных амплитуд в узлах сп = 1 можно получить соотношение, связывающее узельные амплитуды в различных цепочках:
_~{3) _ ,
со — Ч) — Ч) —
(3)
где знак тильды обозначает экстраполированное на нулевой узел значение узельной амплитуды в цепочке, подчиняющееся уравнению (1).
В У-разветвителе возможно существование двух типов связанных состояний, различающихся характером затухания последовательностей узельных амплитуд Сп :
cL,Un = hl)pnce
(4)
В одном случае (Ь: р = 0) последовательнос-(0
ти атомных амплитуд сп' являются монотонно затухающими, а в другом (II: р = 1) - знакопеременными и затухающими по модулю. Локализованным состояниям соответствуют энергии
£l,u = £с =F 2ich(xra).
(5)
Состояние Ь-типа можно трактовать как отщепившееся от дна разрешенной зоны, а состояние {7-типа -как отщепившееся от потолка зоны. Далее мы их будем называть, соответственно, "нижним" и "верхним" состояниями. Из граничного условия (3) следует, что как для нижних, так и для верхних состояний амплитуды в цепочках на узлах, равноудаленных от точек ветвления, равны: с^ = с^ = с^ = с. В случае, если узельная энергия в точке ветвления совпадает с энергией атомов в цепочках е^ = ес, для декремента затухания волновой функции связанного состояния (как верхнего, так и нижнего) имеем:
(6)
что дает для энергии ионизации связанного состояния е/ = |esjas — ес\ — 21, отсчитанной от края зоны, следующее (одинаковое для верхнего и нижнего состояний) значение:
£/ =
Зл/2
2 t.
(7)
Верхний уровень образует связанное состояние для дырки, а нижний - для электрона. Таким образом, изменение топологии системы, проявляющееся в наличии точки ветвления, представляет собой сильное возмущение, создающее локализованное состояние с энергией ионизации, сравнимой с шириной разрешенной зоны. Физическая причина образования топологического связанного состояния связана с выигрышем в энергии делокализации (кинетической энергии), который обусловлен наличием дополнительного, по отношению к одномерной цепочке, пути движения носителя в точке ветвления. Заметим, что, на первый взгляд, при движении носителя по одномерной траектории, образованной, например, цепочками 1 и 2, точку ветвления можно представить как узел с эффективной узельной энергией ес меньшей, чем исходная узельная энергия £сев < ес. Существенно, однако, что, в отличие от обычного потенциала, в рассматриваемой модели связанное состояние образуется как для электрона, так и для дырки. Поэтому точнее говорить о локальном изменении ширины разрешенной зоны АШ, связанной с изменением характера кинематики носителей в окрестности точки ветвления. Из сказанного следует, что эффект локализации будет выражен тем сильнее, чем больше будет степень ветвления N. Записав аналогичное (2) соотношение для N + 2 цепочек, сходящихся в точке ветвления, получим для декремента затухания волновой функции
N
ужтт
Таким образом, декремент затухания волновой функции связанного состояния не зависит от зонных параметров и, по сути, представляет собой топологический инвариант. Энергия ионизации связанных состояний при этом равна
^ + 2 21,
£/ = | .-
Кинематический эффект, связанный с изменением топологии системы, проявляется и при конечной длине ответвления (рис.2). На рисунке представлен график зависимости энергии связанных состояний от числа атомов в ответвлении.
е
0 2 4 6
8 10 М
12 14 16
Рис.2. Зависимости энергий локализованных состояний, возникающих в точке соединения бесконечной и конечной атомных цепочек, от длины ответвления М (светлые точки) и в квантовом кольце, от длины полукольца (черные точки)
число (рис.1Ь). Уравнения для узельных амплитуд в цепочках имеют вид
(!) _ (!) ВСп —
„(0
„(о ^
Сп+1)
теп'.
тип ,
(10)
ек^ = £ьЬ{п
Здесь Ь^п и е^ - узельная амплитуда и узельная энергия лигандного атома, связанного с п-ш узлом в г-й цепочке, т - интеграл перескока между атомом цепочки и лигандом. Энергетический спектр цепочек (4) (рис.1Ь) состоит из двух зон, разделенных щелью, обращающейся в нуль при т = 0. Уравнение для атома в точке ветвления сохраняет свой вид (4). Из уравнений (4) и (10) получим соотношение для определения декремента затухания ж волновой функции соответственно нижнего и верхнего связанных состояний (4):
Симметрия верхних и нижних связанных состояний нарушается при узельной энергии атома в точке ветвления, не равной узельным энергиям атомов в цепочках. Введем безразмерные параметры:
5 =
£<г
£
ж = е
(8)
Связанным состояниям соответствуют значения 0 < < х < 1. Уравнения (1), (2) переписываются, соответственно, в виде
Пх) = *б, Пх) = --2х,
х
О)
где знак минус относится к нижнему, а знак плюс -к верхнему состояниям. При 5 > 0 верхнее состояние существует при любых значениях а нижнее -только при 5 < 1. При 5 < 0, напротив, всегда существует нижнее состояние, а верхнее - только при
< 1. Таким образом, точка ветвления служит сильным возмущением, всегда приводящим к образованию связанного состояния.
Особенностью рассмотренной выше модели (рис.1а) и (1) служит то, что атом в точке ветвления имеет иное координационное число, чем атомы в цепочках. Таким образом, в модель уже изначально заложено химическое отличие атома в точке ветвления от атомов в цепочках. Чтобы явно продемонстрировать принципиальную роль в образовании локализованного состояния именно изменения топологии, рассмотрим более общую, чем (1), модель, в которой и атомы в цепочках, и атом в точке ветвления имеют одинаковое координационное
№ =
(П)
Здесь х, /(ж), 5 (с заменой е^ на е^,) те же, что и в (8), (9), V = т/£. Пусть, например, 5 > 0. Графическое решение уравнения (11) при 5 = 3, V = 1.3 представлено на рис.3. Левая часть уравнения (11) /(ж)
-1 -2 -3
. \ / - \ х01 ■ \ / \у - ____\
. х02 . . . 1 . . . V Х03 . ' / / \ ... . 1 .
0.5 1.0 1.5 2.0
х
Рис.3. Графическое решение уравнения (11)
изображена сплошной, а правые части, соответственно, для нижнего и верхнего состояний
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.