МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 533.6.011.8
ТОРМОЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА В МИКРОКАНАЛЕ ПРИ РАСШИРЕНИИ В ВАКУУМ
© 2015 г. Н. А. КОНОПЕЛЬКО*, В. А. ТИТАРЕВ***, Е. М. ШАХОВ***
* Московский физико-технический институт, Долгопрудный Московская обл. ** Вычислительный центр им. А.А. Дородницина РАН, Москва
*** МГТУим. Н.Э. Баумана, Москва e-mai: konopelko.na@mipt.ru, titarev@ccas.ru, shakhov@ccas.ru
Поступила в редакцию 19.08.2014 г.
На основе кинетической модели рассматривается нестационарная задача о развитии течения разреженного газа в плоском канале между параллельными пластинами бесконечной длины. В начальный момент времени покоящийся газ занимает половину канала и граничит с вакуумом. Изучается влияние торможения газа на стенках канала в зависимости от степени его разреженности при условиях диффузного отражения молекул на границе. Особое внимание уделяется расчету зависимости от времени интегрального потока массы газа через границу, отделяющую газ от вакуума в начальный момент времени. Прослеживается замедление условного фронта волны разрежения и условного фронта разлета газа в вакуум. Кинетическое уравнение решается численно методом конечных разностей первого порядка.
Ключевые слова: разреженный газ, кинетическая модель, истечение в вакуум, разностная схема.
Установившимся движениям разреженных газов в каналах и трубах посвящены обзор [1] и монография [2]. В последнее время значительное внимание уделяется нестационарным течениям (например, [3—5]). Из более ранних работ известны исследования двумерных течений, возникающих вследствие распада разрыва давления в покоящемся газе, расположенном в пространстве между двумя параллельными пластинами [6, 7]. В связи с актуальностью исследований по нестационарным течениям в каналах возникает необходимость более углубленного изучения основных закономерностей о распространении возмущений в разреженном газе, ограниченном стенками канала.
В данной работе анализируется простейший случай течения газа в канале между бесконечными параллельными пластинами, когда в начальный момент времени покоящийся газ заполняет только одну половину канала, а в другой половине газа нет (вакуум). В газодинамическом приближении в результате распада разрыва образуется только центрированная волна разрежения. Здесь анализируется движение разреженного газа в условиях торможения на стенках трубы в предположении диффузного отражения молекул от стенок при полной тепловой аккомодации. Прослеживается развитие потока на значительных расстояниях от места разрыва и исследуется влияние торможения в зависимости от степени разреженности газа. Устанавливается возможность приближенного описания процесса при больших временах.
1. Формулировка задачи. Рассмотрим нестационарное течение одноатомного разреженного газа в плоском канале между параллельными пластинами ширины 2а, возникающее вследствие разрывных начальных условий. Задачу формулируем в декартовой системе координат х, у, I с началом на средней линии канала в сечении х = 0. Канал
5 Механика жидкости и газа, № 2
расположен между плоскостями y = ±a. Будем изучать плоские течения газа не зависящие от координаты z. В начальный момент t = 0 газ покоится с постоянными параметрами n0, p0,T0 (числовая плотность, давление, температура) в левой стороне канала х < 0, в то время как в правой стороне канала x > 0 плотность и давление газа нулевые: ni = 0, pi = 0 (вакуум). Покоящийся газ отделен от вакуума перегородкой, расположенной в плоскости х = 0. В начальный момент перегородка убирается, и газ начинает расширяться в вакуум в пределах канала. Задача состоит в том, чтобы оценить влияние торможения газа на стенках канала при диффузном отражении молекул от стенок при полной тепловой аккомодации с температурой стенок Tw. Температуру стенок считаем постоянной и равной начальной температуре газа Tw = T0.
Состояние разреженного газа в точке (x, y) изображающей плоскости xOy в момент времени t определяется функцией распределения молекул по скоростям f(t, x, y, Çх, Çy, Ç z ), где (Ех, Еy, Еz) компоненты вектора молекулярной скорости по направлениям (x, y, z), соответственно.
Плотность, скорость газа, напряжение трения выражаются тройными интегралами по пространству молекулярных скоростей
n = JfdÇ, nui = j"ÇifdÇ, Ui = Çi - Ui
t 1 (1.1)
Pij = m | UiUjfd Ç, i, j = 1,2,3, p = 3(Pii + P21 + P33), p = mnRT
Здесь m — масса молекулы, R — газовая постоянная, p — давление, T — температура, ui — собственная молекулярная скорость.
Предполагаем, что функция распределения удовлетворяет уравнению Больцмана с простейшим модельным оператором столкновений в форме БГК-модели —
Idf+£>y df=S(/m) - f), 5=p
dt dx dy |
f(M) =-n—v? exp(-C2), Q = (1.2)
(2nRT)3 V2RT
5
i
= — mW 2nRTX, C2 = Ci2 + C22 + C32, i = 1,2,3 16 1 2
Здесь ^ — вязкость газа, X — средняя длина свободного пробега молекул, соответствующая межмолекулярному взаимодействию по закону жестких сфер, 5 — частота столкновений или локальный параметр разреженности (точнее, сплошности). Индексы 1, 2, 3 соответствуют направлениям осей х,у,г. Предполагается суммирование по повторяющимся латинским индексам.
Начальные условия
/(0;х,у,хуг) =-^ЧлехР(-сс2), х < 0 (1.3)
(2пЯГо)
/(0;х,у,хуг) = 0, X > 0, Со2 ,
2К1о
Граничные условия на верхней поверхности канала у = а
/ (I, х, у, х уг) = Л, у = а, $ у < 0 (1.4)
I, = ^Щг2 ехр(-СЬ, С, = -|1
(2 пЯТ, )3/2 2ЯТ,
Плотность отраженных частиц п,(г, х) определяется условиями непротекания
1 5 у№
^ у >0
п, =--—
I = 1 5у ехр(-С2)й5 (1.5)
(2пЯТ„) ~3'21 ^
В случае зеркального отражения молекул от стенок имеем
I (х, а, % х, % у, % ; ) = I (х, а, % х, -% у, % г) (1.6)
Аналогичные условия выполняются на нижней стороне канала у = -а. Интегральная расчетная величина — расход массы газа Мх (х, г) или, что то же, расход числа частиц Ых(х, г), вычисляемый в контрольных сечениях канала
а
Мх = ш | пихйу = шЫх (1.7)
-а
В дальнейшем потребуется уравнение неразрывности
дп + дпих + дпиу = 0 дг дх ду
Обозначим интегральную по сечению канала числовую плотность газа
а
N(х, г) = | пйу
-а
Интегрируя по сечению уравнение неразрывности с учетом граничного условия непротекания, получим закон сохранения массы в виде
а
Ж + ^ = 0, ^(х, г) = | пихйу (1.8)
дг дх
-а
Интегрируя это уранение по х в пределах -Ь, Ь между двумя сечениями канала, достаточно удаленными от начального разрыва Ь > а, где потоки массы равны нулю, имеем
Ь
| N(x, г)йх к п02аЬ = М0 (1.9)
-Ь
Введем величину АМ(г) — убыль массы газа на стороне х < 0 и одновременно массу газа, оказавшуюся на стороне х > 0
г
АМ(г) = | Мх(0, г)йг (1.10)
0
Равенства (1.9), (1.10) служат для дополнительного контроля точности расчетов.
В дальнейшем пользуемся безразмерными величинами. В качестве масштабов длины, скорости, времени, плотности, температуры, потока тепла, функции распределения и вязкости примем величины
а, -J2RT0, аЦ 2RT0, n0, T0
о
тп0(2ЯТо)У2, щ(2ЯТо) ~У2, ц о = т5 тщтДлШ01 о
16
Здесь Х0 — средняя длина свободного пробега, соответствующая параметрам покоящегося газа п0, Т0.
Интегральный поток массы Мх через поперечное сечение канала отнесем к величине тп0^2ЯТ02а.
Ниже все безразмерные величины обозначены теми же буквами, что и соответствующие размерные.
Безразмерную частоту столкновений при параметрах покоя п0, Т0 обозначим 80. Она связана с числом Кнудсена простым соотношением
Kn =Ь± 5V п Kn а
5 о , Kn =:
Локальную частоту столкновений представляем в форме
5 = 5оp (1.11)
Решение задачи зависит от параметра разреженности покоящегося газа 50 и от вида
граничных условий. Приводимые ниже численные результаты получены для р. = что соответствует молекулам в виде жестких сфер.
2. Упрощение задачи. Поставленная двумерная задача допускает существенное упрощение путем введения редуцированных функций распределения. Число аргументов задачи можно понизить на единицу путем интегрирования полной функции распределения f (t, x, y, E,x, E,y, E,z) по E,z и, вводя редуцированные функции ф, у,
<Kt, x, y,% xy) = J fd £, z, V(t, x, y,% xy ) = J %\fd £, z
Необходимые макропараметры выражаются через введенные функции в виде
n = J<M % xd% y, nut =J Ш % xd % y (2.1)
Pj = \vpj§d$xd$y, i, j = 1,2, P33 = Jуd$xd$y
Уравнения для ф, у получаются путем умножения основного кинетического уравнения (в безразмерной форме) на 1 и Е, Z и последующего интегрирования по Е, z в пределах (-да, и имеют вид, аналогичный (1.2)
x ^ y дф=5(ф(") -Ф) (2.2)
dt dx dy
dw K dw K dy (m) ч
dt dx dy
(И) П , п п , (M) 1 ^ (Ш) , ,
пТ 2
Начальное условие (1.3) переписывается соответствующим образом
ф = ^ехр-(^ + £,2) у = 1 ф, г = 0, х < 0 (2.4)
п 2
Ф = 0, V = 0, г = 0, х > 0
Граничные условия (1.4)—(1.6) на верхней поверхности канала у = а при Т„ = Т0 принимают вид
ф = ф „, г > 0, у = а, £ у < 0, ф„ = ^^ ехр(-(Й + £2у))
п
+ю ю (2.5)
¥ = 1Ф^, пк = 24п | d£х | £ уф^ у
-ю 0
Аналогичное условие выполняется на нижней стороне канала у = -а.
3. Одномерные решения. Рассмотрим сначала случай зеркального отражения молекул от стенки. В этом случае торможения газа не происходит, решение не зависит от у, движение газа одномерно. Газ свободно расширяется вдоль оси канала как если бы стенок не было. Обратимся в первую очередь к предельным решениям по параметру разреженности. Это газодинамическое и свободномолекулярное решения. В газодинамическом пределе Кп = 0 имеют место формулы изэнтропического расширения газа в центрированной волне разрежения [8]
х ,2 2 п (с ^ 2
- = Ых - С, Ых +-- С = -- С0, — = 1 — I , К = ---(3.1)
г у-1 у-1 П0 ^ С0) у-1
Здесь c — скорость звука, с0 = ^ 5/6 — скорость звука в покоящемся газе.
Выпишем еще явные зависимости от x/t для величин ых, с, п, пых в случае одноатомного газа, когда у = 5/3
Ых = 3С0 (1 + —1, с = 3С0 (1 -—1, п = (с) (3.2)
х 4 0 ^ С0?) 4 0 ^ 3^' IС0) ' '
Расход газа пых обращается в нуль на фронте волны разрежения х = -с0г и на фронте разлета x = 3c0t. Расход достигает максимума в сечении х = 0, где все параметры газа мгновенно устанавливаются и остаются постоянными во все время движения. Скорость га
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.