НЕОРГАНИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ, 2007, том 43, № 5, с. 600-610
УДК 546.72
ТОРОИДАЛЬНЫЕ СОЛИТОНЫ В ОКСИДНЫХ МАГНЕТИКАХ, БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОМ КОНДЕНСАТЕ И ДРУГИХ СРЕДАХ
© 2007 г. А. Н. Калинкин, В. М. Скориков
Институт общей и неорганической химии им. Н С. Курнакова Российской академии наук, Москва Поступила в редакцию 16.06.2006 г.
Рассмотрены солитонные тороидальные решения ряда нелинейных моделей теории поля (модели Скирма, Фаддеева и Хиггса). Модели такого рода применяются в различных областях химии и физики твердого тела, химической физики, астрофизики, химии и физики плазмы. Показана топологическая природа устойчивости тороидальных солитонов и различные методы генерации нелинейного вклада в лагранжиане, обеспечивающего стабильность тора относительно коллапса. В рамках моделей Фаддеева и Скирма изучено тороидальное упорядочение в бозе-эйнштейновском конденсате щелочных атомов 23№, 39К, 8^Ь, тороидальные структуры, недавно обнаруженные в оксидных магнетиках типа BiFeOз и GaFeOз, и их возможное применение в устройствах спинтроники. Коротко рассмотрены некоторые актуальные направления развития солитонной химии и физики для солитонов с большими значениями топологического заряда.
ВВЕДЕНИЕ
На сегодняшний день теории солитонов для различных моделей посвящен ряд монографий и обзоров [1-10]. Однако истоки теории солитонов восходят к знаменитой работе У. Томсона (лорда Кельвина) (см. [10]), в которой он предложил вихревую модель атома. По Томсону, атомы представляют собой замкнутые вихри эфира, заполняющего мировое пространство и обладающего свойствами идеальной жидкости.
Как известно, в теории поля наличие точечных частиц приводит к появлению расходимостей и вынужденному использованию техники перенормировок [11]. Введение структуры частиц в той или иной форме (вихревые "атомы", многомерные солитоны), возможно, позволит решить эту задачу и построить самосогласованную теорию частиц и их взаимодействий. Протяженные частицы в свою очередь являются объектами изучения нелинейных теорий поля, среди которых выделим класс расширенных нелинейных с-мо-делей, в частности модели Скирма и Фаддеева [12, 13]. Именно в рамках модели Скирма впервые предложено описывать барионы как топологические солитоны.
Отметим, что в последнее время идеи физики солитонов стали проникать из теории элементарных частиц и гидродинамики (где она и оформилась как отдельный раздел математической физики) также в смежные области, такие как химия и физика твердого тела (спиновые вихри в магнетиках [14, 15], сверхпроводимость, бозе-эйнштей-новский конденсат), астрофизика ("скирмионные" звезды) [16] и даже в химическую физику, где с
помощью теории скирмионов (солитоны модели Скирма) удается объяснить геометрию некото-
2—
рых соединений бора и водорода типа ВпНп (с п = = 6, 8, 10, 12) [17]. Поиски скирмионов в виде то-роидов были предприняты в спинорном бозе-эйнштейновском конденсате охлажденных щелочноземельных атомов 23Ка, 39К, 87ЯЬ (со спином ядра I = 3/2); было проведено их численное моделирование и выяснены возможные области устойчивости [14, 18, 19]. Спиновое тороидальное упорядочение было предсказано в 3^-магнетиках [20], а в последнее время экспериментально получена спонтанная и индуцированная намагниченность такого рода в оксидных магнетиках типа GaFeO3 и BiFeO3 [21, 22].
Ввиду обширности материала по всем разделам солитонной тематики в данном обзоре рассмотрены в основном тороидальные солитоны.
РАННИЕ МОДЕЛИ ТОРОИДАЛЬНЫХ СОЛИТОНОВ
После работ Г. Гельмгольца и У. Томсона по гидродинамическим моделям вихревого движения эфира было выполнено много исследований по физическому обоснованию электромагнетизма и распространения радиоволн. В частности, в [23] предложено рассматривать электрон как вихревое кольцо (тор) в идеальной несжимаемой среде. Из относительно недавних данных отметим работу [24], где была предложена (3 + 1)-мерная нелинейная с-модель с двумя полями 0 и ф (полярный и азимутальный углы, параметризующие модель). Для обеспечения топологической стабиль-
ности решений модель содержит член 4-го порядка по производным 9- и ф-полей и допускает решения в виде замкнутых вихревых струн (тороидов) достаточно большого радиуса (см. рис. 1). Струнопо-добные стабильные решения с топологией тора были получены для отношения констант модели у = ЕК/А = 34 (где К, Е, А - константа для кинетического члена, константа стандартной нелинейной а-модели и константа для члена 4-го порядка соответственно). Как обычно, член 4-го порядка по динамическим полям вводится для преодоления следствий теоремы Деррика-Мантона в пространствах с размерностью N > 3, т.е. для обеспечения топологической устойчивости решений [25].
Отметим, что данные решения получены без прямого решения уравнений Эйлера и отвечают приближению бесконечной вихревой трубки, т.е. не учитывают зависимость энергии от радиуса тора. Чисто качественно, однако, ясно, что для малых значений радиуса кривизны тора Я член с константой Е обычной а-модели доминирует, давая вклад в энергию ~1/Я, тогда как для больших радиусов Я энергия растет пропорционально Я (т.е. фактически пропорциональна длине струны). Следовательно, должен существовать оптимальный радиус тора Ят1п, обеспечивающий минимум энергии.
В [26] рассмотрены модели Хиггса, Джорджи-Глэшоу и нелинейная а-модель со стабилизирующим членом 4-го порядка по полевым производным. Для моделей Хиггса и Джорджи-Глэшоу получены тороидальные решения в приближении большого радиуса тора Я, однако стабильные тороидальные решения отсутствуют из-за линейной зависимости энергии Е от радиуса тора Я, т.е. из-за наличия коллапса: Я —► 0. Для модифицированной а-модели с двумя константами связи g1 и g2 в стабилизирующем члене с помощью неравенств Шварца качественно получено стабильное относительно коллапса тороидальное решение (для g1 > 0, g1 + g2 > 0). Однако из-за неразделимости угловых и радиальных переменных в тороидальных координатах уравнения движения не решались и явной зависимости Е от Я не получено.
Позднее в [27] для абелевой модели Хиггса в тороидальных координатах удалось получить оценки для энергии тора в виде
E > 4n2[Rf2 + (16e2/R)sinajl /3 + cos а], где f 8, а - параметры модели.
(1)
Минимизация по радиусу тора Я дает энергию Е > 3 ТэВ, что отвечает Я - 2 х 10-4 Ферми и характерным массам тяжелых лептонов. Отметим, что в этой модели стабильность достигается чисто топологическими средствами без использования эффекта вращения солитона.
Рис. 1. Тороидальный солитон T .
R
S2
Co
Рис. 2. Отображение Я
S2.
ТОРОИДАЛЬНЫЕ СОЛИТОНЫ В МОДЕЛЯХ СКИРМА И ФАДДЕЕВА
Общий формализм для модели Фаддеева (5е —► —► 5?). Изучим солитонные тороидальные решения модели Фаддеева, лагранжиан которой имеет следующий вид [13]:
L = X2(d,na)2 - (e74XF)2.
(2)
Здесь X, г - параметры модели, Е^ = ЭА/ - д]А1 = = 2гаЬсд1пад]пьпс, гаЬс - единичный полностью антисимметричный тензор 3-го ранга, по повторяющимся индексам проводится суммирование. Компоненты п-поля в модели (2) удовлетворяют условию связи
(п1)2 + (п2)2 + (п3)2 = 1, т.е. полевое многообразие параметризуется единичным вектором П (г), принимающим значения на сфере З2. Отображение 3-мерного пространства на сферу Я3 —► З2 при некотором фиксиро-
4
в
3.5
-4 0
Рис. 3. Тороидальное решение модели Фаддеева для Q = 1 в сечении ф = const.
ванном значении 3-й компоненты поля n3 = nc (отвечающей асимптотическому значению поля на пространственной бесконечности) обладает интересной топологической структурой.
Пусть C0 - кольцевой контур, отвечающий значению nc согласно рис. 2, где символически показано отображение R3 —»► S2 [28]. Прообраз контура C0 в R3 представляет собой тороидальную поверхность T2, разбивающую все пространство на две части: внутреннюю, отвечающую отображению части сферы S2 c южным полюсом S, и внешнюю - с северным полюсом N. При nc —1 контур C0 "стягивается" к северному полюсу N, а его прообраз - тор - вырождается в ось тора bN. При nc —»► -1 C0 вырождается в "сердцевину" тора bS (кор). Для каждой точки сферы n, принадлежащей контуру C0, прообразом является своя замкнутая линия b, лежащая на поверхности тора.
В терминах A -поля модели Фаддеева b -линию
можно представить как b = rotA или как b =
= (2/n3)Vn! х Vn2. Степень "заузленности" b -линий (т.е. число витков на поверхности тора) определяется топологическим зарядом Q [9] и является удобной топологической характеристикой.
Для удобства расчетов параметризуем компоненты n-поля следующим образом:
Тогда гамильтониан модели Фаддеева принимает вид
H = Jd3х{£2sin2р(Vp х Vy)2 + + (1/2 X2 )[(Vp)2 + sin2 P(Vy)2 ]}.
(4)
Из групповых соображений следует, что тороидальное решение должно иметь вид [9]:
в = P(r, в), у = ka + v(r, в),
(5)
+ in2 = sinв(х )eiY(x), n3 = cos в(х).
(3)
где функции в, у задают направление единичного вектора и-поля в сферических координатах (в, у) вспомогательного пространства. Эти функции рассматриваются как функции в физическом пространстве (г, 0, а).
Отметим одну из ранних работ в рамках этого направления [29], в которой была найдена энергия бесконечного линейного вихря для модели Фаддеева, а затем рассмотрены тороидальные решения (полученные "сшивкой" концов фрагмента этого вихря) и для комбинации констант модели С0 = 2£2Д2 = 1.908 численным методом получено стабильное решение (в приближении достаточно больших по сравнению с сечением тора значений его радиуса Я).
В последнее время модель Фаддеева интенсивно изучается также и численными методами. В ряде работ [30, 31] изучаются тороидальные солитоны с кручением, что обеспечивает их устойчивость относительно коллапса. Используется метод вспомогательного энергетического функционала Е^), приводящий к параболическим динамическим уравнениям потока, так как исходные уравнения Эйле-ра-Лагранжа связаны с сильно нелинейной краевой задачей. С помощью метода конечных элементов
8
1
n
удается проинтегрировать систему, эволюционирующую в некотором "машинном" времени т на пространственной решетке (г, ¿) с учетом аксиальной симметрии задачи. Было получено стабильное тороидальное решение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.