ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 2, с. 242-252
УДК 551.46
ТРАНСФОРМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НАД ДОННЫМ УСТУПОМ
© 2015 г. А. А. Куркин*, С. В. Сёмин*, Ю. А. Степанянц*, **
*Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева 603950Нижний Новгород, ул. Минина, 24 E-mails: aakurkin@gmail.com, Serge.V.Semin@gmail.com **Университет Южного Квинсленда Вест стрит, Тувумба, 4350 Австралия E-mail: yuas50@gmail.com Поступила в редакцию 08.05.2014 г., после доработки 02.07.2014 г.
В линейном приближении детально проанализирована задача о трансформации поверхностных гравитационных волн над донным уступом в водоеме произвольной глубины. Отмечено, что строгие аналитические результаты могут быть получены только при учете счетного набора прижатых к уступу мод. Вместе с тем для практических расчетов можно пользоваться предложенными в данной работе приближенными формулами, обеспечивающими 5% точность для коэффициента прохождения волн. Обсуждаются специфические особенности коэффициентов трансформации, немонотонная зависимость от параметров, асимптотика при больших перепадах глубин и др. Приведены данные прямого численного расчета трансформации волн над уступом и представлено сравнение этих данных с точными и приближенными формулами. Найдены коэффициенты возбуждения прижатых к уступу мод набегающей квазимонохроматической волной. Получена связь между коэффициентами трансформации, вытекающая из закона сохранения потока энергии волн.
Ключевые слова: волны, трансформация, коэффициент прохождения, коэффициент отражения, шельф, донный уступ, поток энергии, нераспространяющиеся моды.
DOI: 10.7868/S0002351515020091
ВВЕДЕНИЕ
Проблема трансформации поверхностных волн над донным уступом имеет давнюю историю; интерес к ней обусловлен как с теоретической, так и с практической точек зрения. В классической монографии Лэмба [1] эта проблема была сформулирована, по-видимому, впервые и ее решение для волн в канале переменного поперечного сечения было дано в линейном приближении на основе сохранения давления и потока массы для бесконечно длинных волн. Полученные Лэмбом формулы для коэффициентов трансформации волн (коэффициентов прохождения Т0 и отражения До) широко известны в настоящее время и используются многими авторами как в линейных, так и в слабонелинейных задачах о трансформации солитонов на донном уступе (см., например, [2] и имеющиеся там ссылки). Коэффициенты трансформации можно выразить либо через отношение скоростей волн за уступом (с2) и перед
уступом (с1), либо через отношение глубин в этих областях (Н2 и Н1 соответственно):
T0 =
R
1 + c2/С1 1 + '
= 1 - С2/c = 1 - W h 1 + С2/С1 1 + 4hjhi'
(1)
Здесь е12 = ^[ghi^2 — скорости линейных волн в длинноволновом пределе, g — ускорение свободного падения.
Строгий подход к решению данной задачи в линейном приближении для волн произвольной длины был развит в работе Бартоломеуша [3], который отметил важность учета не только распространяющихся волн, но и бесконечного набора прижатых к уступу нераспространяющихся мод. В результате он свел задачу о нахождении коэффициентов трансформации к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Однако решения полученного уравнения им по-
строены не были, а был лишь изучен предельный случай бесконечно длинных волн, при котором возникают формулы Лэмба (1). Тем самым формулам Лэмба было дано строгое обоснование в рамках линейной теории.
Впоследствии такой же подход был использован Ньюмэном [4] для расчета коэффициентов трансформации волн на уступе, граничащем с бесконечно глубоким водоемом. В своей работе Ньюмэн рассчитал коэффициенты прохождения и отражения волн с учетом 80 нераспространяю-щихся мод в зависимости от частоты набегающей волны и привел результаты выполненных им лабораторных экспериментов. В целом эти результаты были в удовлетворительном согласии с выводами теории, хотя и оставляли место для критики (в частности, перепад глубин в экспериментах был конечным и в некоторых случаях не очень большим).
В работах Такано [5, 6] было предложено вместо интегрального уравнения Фредгольма использовать разложение граничных условий в области уступа по полной ортогональной системе функций нераспространяющихся и бегущих волновых мод. В результате задача сводилась к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов трансформации и коэффициентов возбуждения прижатых мод. Метод Такано был успешно реализован также в работах Масселя [7, 8]. В обоих случаях алгебраическая система уравнений решалась численно с учетом первых N прижатых мод (обычно использовалось N~ 20) при нескольких фиксированных перепадах глубин. При этом точность приближения не оценивалась, а коэффициенты возбуждения прижатых мод не анализировались.
В работе Майлса [9], как и в работе Ньюмэна [4], рассматривалась задача о трансформации волн на уступе при бесконечном перепаде глубин. При этом им было показано, что при учете одних лишь бегущих волн приближенное решение согласуется с более точным решением Ньюмэна, с погрешностью, не превышающей 5% для коэффициента прохождения, тогда как погрешность для коэффициента отражения получалась значительно выше, достигая 40% и более.
В виду громоздкости системы алгебраических уравнений Такано и необходимостью применения численных расчетов предпринимались многочисленные попытки построения удобных приближенных формул для расчета коэффициентов трансформации волн (см., например, [10, 11]). Полученные при этом выражения лишь весьма приближенно согласуются с результатами точного подхода. Более удачным оказался аппроксима-ционный подход, предложенный в работе авторов [12]; он будет изложен ниже вместе с обсуждением его точности.
Несмотря на достигнутый прогресс в решении проблемы о трансформации поверхностных гравитационных волн на донном уступе, многие ее аспекты до сих пор освещены недостаточно полно. В частности, не были получены оценки точности расчета коэффициентов трансформации в зависимости от числа учтенных прижатых мод, не были вычислены коэффициенты возбуждения этих мод, не было выполнено сравнение теоретических результатов с прямыми численными расчетами, не были протестированы ранее предложенные приближенные формулы. В данной работе этим вопросам уделяется внимание и предлагаются удобные аппроксимационные формулы для расчета коэффициентов трансформации поверхностных волн; дается оценка точности этих формул. Кроме того, впервые получено соотношение между коэффициентами прохождения и отражения на основе закона сохранения потока энергии волн.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Рассмотрим трансформацию поверхностных волн над областью резкого изменения глубины, которую будем моделировать с помощью подводного уступа, схематически изображенного на рис. 1. Предполагается, что волновой пакет заданной частоты ю с волновым числом к1 набегает на уступ слева, где глубина жидкости равна А1, и трансформируется за уступом (где глубина равна Н2) в прошедший волновой пакет с той же частотой, но с волновым числом к2.
Будем предполагать, что амплитуда набегающей волны равна А,, а после ее трансформации на уступе при х = 0 возникает прошедшая волна с амплитудой А, и отраженная волна с амплитудой Аг. Кроме того, набегающая волна возбуждает вблизи уступа бесконечный набор прижатых к нему не-распространяющихся мод с амплитудами Ап слева от уступа и Вп справа от него, где индекс п изменяется от единицы до бесконечности. Пространственные структуры этих мод приведены ниже.
Пренебрегая вязкостью, будем считать течение потенциальным и введем потенциалы скоростей перед ф1(х, г, 0 (х < 0) и за ф2(х, г, 0 (х > 0) уступом. При этом соответствующие поля скоростей выражаются следующим образом через потенциалы и1, 2 = Уф1, 2, а сами потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа: Аф1, 2 = 0.
Считая дно непроницаемым, запишем граничные условия:
дфх
дг
г=-к
= 0 (х < 0), ^
дг
= 0 (х > 0).
(2)
г=-¿2
Рис. 1. Схема расчетной области.
Аналогично запишем условие непротекания через вертикальную стенку на уступе (см. рис. 1):
5ф1
дх
= 0 (-Й1 < г < -й2).
(3)
с=0
На свободной границе при г = 0 выполняются кинематические и динамические граничные условия, которые в линейном приближении сводятся к уравнениям (см., например, [1, 10, 13]):
0ф1ф1 = 0 (х < 0);
дг £
дфф2 = 0 (х > 0).
дг £
(4)
Решение в области далеко слева от уступа (при х = ^ —да) ищем в комплексной форме в виде суперпозиции падающей и отраженной волн (физический смысл имеют действительные части комплекных функций):
П1(х, ') = Л/*' -кХ + Аге(+к'х\
Ф1(х, г,') = сН [к (к1 + г)]
ю сНк1Н1
|Ае'(ф'-кх) + А е'(а>'+к'х^
(5)
(6)
Здесь п1(х, 0 — возмущение свободной поверхности слева вдали от уступа, а ю(£) — частота падающей волны, связанная с волновым числом дисперсионным соотношением:
Справа далеко за уступом (при х = ^+да) ищем решение в виде прошедшей волны:
П2(х,') = А,е'(ш-к'х), Ф2(х, г,') = ^ СММ^л/--к'х\ (8)
ю сНк'к,
В районе уступа имеется также счетный набор прижатых к уступу нераспространяющихся мод, которые записываются в виде:
а'+в„;
Пе1(х,') = У Апе
п=1
ад
Фе1(х, г, ') = У Ап с°5 9п(г + ^**+впх
п-
ж
Пе2(х, ') = У Впе
-1 т'-хпх
ео8 дпк1
(х < 0),
(9)
п=1
фе2(х, г, ') = У В,
п- 1
ео8 х п(г + Йг) еш-х п Xп^2
(х > 0).
Для этих мод частота волны связана с показателями спадания в пространстве 9И или %„ соотношениями:
(10)
Частные решения (5), (6), (8) и (9) удовлетворяют основным уравнениям и граничным условиям на дне и свободной поверхности в соответствующих областях 1 и 2, изображенных на рис. 1. Теперь задача состоит в том, чтобы при заданной
ю(к) = ^к \ НкИ. (7)
зо
эо
амплитуде падающей волны А, определить амплитуды прошедшей А, и отраженной Аг волн, а также амплитуды всех прижатых к уступу мод, Ап и Вп. Для этого необходимо осуществить сшивку полных решений из областей 1 и 2 на границе х = 0. Введем для удобства коэффициенты отражения Д = Аг/А, и прохождения Т0 = А/А,, а также коэффициенты возбуждения прижатых мод перед уступом Дп = Ап/А,, и за уступом Тп = Вп/А,. В кач
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.