ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 5, с. 587-597
УДК 551.596;534.222
ТРАНСФОРМАЦИЯ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВЕРТИКАЛЬНО ВВЕРХ ИНТЕНСИВНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ АТМОСФЕРЕ © 2015 г. В. А. Гусев*, Р. А. Жостков**
*Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 119991ГСП-1, Москва, Ленинские горы E-mail: vgusev@bk.ru **Институт физики Земли РАН 123995 Москва, ул. Большая Грузинская, 10, стр. 1 E-mail: shageraxcom@yandex.ru Поступила в редакцию 03.03.2014 г., после доработки 17.10.2014 г.
На основе аналитических решений исследованы особенности распространения акустических волн конечной амплитуды в модели изотермической вязкой стратифицированной атмосферы. Выведены обобщения уравнений Хохлова—Заболотской и Бюргерса для стратифицированной атмосферы. Найдено автомодельное решение обобщенного уравнения Бюргерса с переменной вязкостью. Построено асимптотическое решение для начального синусоидального возмущения. Полученные решения применимы для анализа сейсмоиндуцированных акустических полей в широком частотном диапазоне.
Ключевые слова: пилообразные волны, стратифицированная атмосфера, эволюционные уравнения, автомодельное решение.
DOI: 10.7868/S0002351515040033
Проблема генерации акустических волн сей-смоиндуцированными источниками и распространения этих волн в атмосфере рассмотрена в теоретических работах академика Г.С. Голицына. Так, в [1] исследовано возбуждение акустических сигналов в атмосфере поверхностными волнами, в [2] проанализировано влияние вязкости и теплопроводности на распространение гравитационных волн в линейном приближении. В важной работе [3], учитывающей нелинейные эффекты, в приближении простых волн исследовано распространение периодических сигналов в стратифицированной атмосфере с учетом растущей с высотой вязкости, но в рамках приближенного уравнения Бюргерса с постоянными коэффициентами. В других теоретических работах (например, [4—6]) также допускаются упрощения по постановке и в ходе получения решения конкретной задачи, поэтому задача аналитического исследования эволюции волн в модели атмосферы, максимально приближенной к реальной, является актуальной.
Акустический механизм взаимодействия в системе "литосфера—атмосфера—ионосфера" подтвержден данными натурных экспериментальных
исследований [7]. Эта проблема активно изучается с использованием численного моделирования, в связи с необходимостью определения влияния акустико-гравитационных полей, создаваемых летательными аппаратами на ионосферу [8], или для учета влияния тонкой структуры атмосферы на дальнее распространение акустических импульсов [9].
В данной работе получены точные и асимптотические решения для профилей периодических акустических сигналов, распространяющихся вертикально вверх в изотермической стратифицированной атмосфере. Учет неизотермичности атмосферы [10] и построение характерных профилей импульсных сигналов [11] являются самостоятельными задачами и будут рассмотрены в следующих статьях.
При аналитическом анализе такой сложной среды, как атмосфера, необходимо учесть ее наиболее важные особенности. Наиболее значимой из них является стратификация — изменение с высотой равновесной плотности воздуха р0 согласно
барометрической формуле (для изотермической атмосферы):
р о = pooexp[-z/#o ],
(1)
где z — вертикальная координата, р00 — равновесная плотность воздуха при z = 0, Н0 = е1^^ — высота стандартной атмосферы, g — ускорение свободного падения, у — показатель адиабаты, с0 — скорость звука при постоянной температуре (ниже с без индекса обозначает локальную, в общем случае переменную скорость звука). В силу закона сохранения энергии зависимость (1) приводит к экспоненциальному росту амплитуды волны при распространении вертикально вверх, поэтому даже при малой начальной амплитуде сигнала нелинейные искажения окажутся существенными на больших высотах. Важно также учесть вязкость воздуха, относительная роль которой возрастает с увеличением высоты, поскольку она определяет характер распространения волны на больших расстояниях и форму ударного фронта.
Исходными уравнениями являются уравнение Навье—Стокса:
(2)
f + (.V).=
= -1 Vp - g + — Au + ^ + П3 graddiv u, P P P
уравнение непрерывности
ddp + (u V) p + pdivu = 0
и уравнение состояния p = p (p, s = const), которое можно записать в виде
(3)
(4)
dp ^ dp dp dp
Р=Ро
d2 p dp
2 , 2 у-= c + c —
1
p 0
-p.
Представим плотность воздуха и давление в виде:
р (х, у, г, г) = р0 (г) + р' (х, у, г, г), р (х, у, г, г) = Р0 (г) + р (х, у, г, г), где величины со штрихом являются акустической компонентой, а р0 (г) и р0 (г) описывают равновесное состояние стратифицированной среды в отсутствие акустических возмущений и удовлетворяют уравнению статики, которое следует из (2) при и = 0: др/дг = -р 0 g■ Используя уравнение состояния идеального газа р0 = р0ЛТ/ц и пренебрегая градиентом логарифма температуры Т по сравнению с градиентом логарифма плотности, получаем отсюда барометрический закон (1).
Запишем ¿-компоненту уравнения (2) в более удобном виде
d* + w d* + (u
dt dz
= -P + b d2w +
pdz P
±V ± )w =
Зд ±w + i±n3 dD
(5)
dz
где и± = (и,у), V± вычисляется в горизонтальной плоскости, Р = рЭр/дг + g = р-1 (Эр'/дг + p'g), Б = (V ±и ±), Ь = 2, + 4ц/3 — коэффициент затухания. Уравнение состояния (4) в развернутом виде выглядит так:
|р + (и±У ±) р - wpg + м>рР =
йр _ йрйр йг йр йг
Здесь и = (и, V, w) — вектор колебательной скорости, р — давление, р — плотность воздуха, I — время, £, и п — коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости, й/йг = д/дг + (иУ) — оператор полной производной. Координаты выбраны так, что оси х и у лежат в горизонтальной плоскости, а ось г направлена вертикально вверх. Запись уравнения состояния в форме (4) показывает, что хотя полная энтропия ж постоянна, энтропия в данной точке пространства в стратифицированной среде может изменяться за счет переноса частиц из соседних областей, имеющих, вообще говоря, другое равновесное значение энтропии. В уравнении (2) учтена нелинейность уравнения движения. Нелинейность уравнения состояния определяется величиной
4 (6)
Сведем систему (2), (3), (5), (6) к уравнению для одной переменной, например, вертикальной компоненты колебательной скорости м>. Такой выбор подразумевает, что рассматриваются волны, распространяющиеся преимущественно вертикально. Для этого дифференцируем по времени уравнение (5) и подставляем уравнения (3) и (6) для производных плотности и давления соответственно. В итоге получаем уравнение
L =
д 2w
1 д 2w2
dt2 2 dtdz
w^ + d(u±V±)w _ dtdz дГ J
_ c
2 d 2w -1 dc p dw _д_ dz2 p dz dz dt
pdz
Y_ 1 d ( 2 ,dw \ 2 1--1 c p — \ = c
p dz V dz.
p
(^n 2 л dD <Übv d _
Vdz g )
Здесь введена частота Брента—Вяйсяля
(7)
Q.
&BV = -
f 2 g- +
2 ^
g dpc
2
Pc
dz
а символом Q обозначена группа малых членов
- PD +
+
Q = (P +
dz\ dt
(g - P)u±V 1p + f (u±V±p)
dz
+
+ d_{ % + V з dD dt
y-1 д 2 ,n + J--c p D.
dz
р дг ] р
При рассмотрении близкого к вертикальному распространения акустических волн и квазиплоских волновых пучков О имеет по крайней мере третий порядок малости; в дальнейших преобразованиях величинами подобного порядка будем пренебрегать без специальных оговорок.
Для получения замкнутого уравнения для w из (6) найдем
д 2L = 2 dt2 С
Г d3D
®BV d_D
dt2
д_
dt2
2
- c2 Aw + ±(u±V±)w -1
5
1 dc 2p dwЛ
dt
dt
2 2 | Я 2
- c <aBVALw = I —т - c AL
\dt
p dz dz
y -1 д p
2 ,dw
i c P —
dz V dz
15 2w2
+ ! in Aw + i±V3 dV
p' = p(т = t - J—,).
(10)
Пусть акустические возмущения имеют первый порядок малости р ~ ц. В окончательных уравнениях оставим только члены порядка малости не выше ц . Из уравнений (1)—(3) заключаем, что амплитуда вертикальной компоненты скорости w имеет такой же порядок, как и амплитуда акустического давления ю ~ р ~ ц, а амплитуды горизонтальных компонент имеют более высокий порядок малости и ~ V ~ ~ ~ Ц^2. Тогда получаем, что (и±У±) ю ~ ц3, Б ~ ц2. Будем также считать малыми коэффициенты вязкости П ~ 2, ~ Ц, так что в вязких членах удержим только старшие члены. Таким образом, предположение о малости величины О и подобных ей подтверждается. После перехода к новым переменным согласно (10) получаем эволюционное уравнение для вертикальной компоненты колебательной скорости:
2 - - (8)
кдгдг2 £
а величину 5 2б/ дг2 определим, продифференцировав поперечные компоненты уравнения (2) по х и у соответственно и складывая их:
д2 Б 2Л дю 2Л п л —у = с А ± — + с А ±Б -
дг дг
Находя далее д 3б/дгдг2 и используя (7) для преобразования получившегося выражения в правой части (8), окончательно получаем уравнение для w:
52
д 2w
+1 [ 1 dc
. +-1 dP0
дт ydxdz 2 ^c dz p0 dz
dw dT
—A Lw -■
d w
4 2
c r J A ,,, S d w
2 ®BVALw + 2c2
(11)
2 2р0с3 дт3
Здесь б = (у + 1)/2 — нелинейный параметр воздуха, а также учтено, что
1 dc Р
Р dz
dc dz 1 д 2w2
+d dee.
1 dc 2p
p0 dz p дт dw дт
,dw 'дт'
w
.д 2w
- (9)
2 дгдг дг ф р дг1
Уравнение (9) описывает близкое к вертикальному распространение широкоугольных акустических волн. Для ограниченных, достаточно плавных волновых пучков уравнение может быть эффективно упрощено методом медленно изменяющегося профиля (МИП). Для определения порядков слагаемых в (9) исходим из выражения для скалярной величины — акустического давления, решение для которого отыскивается в виде
2 дт2 дт2 В реальной атмосфере относительные изменения температуры невелики вплоть до ионосферы (~ 100 км), и равновесное состояние атмосферы можно приближенно считать изотермическим. Поэтому дальше считаем скорость звука постоянной, c = c0 = const. Это допущение позволяет записать окончательные уравнения в замкнутом виде.
Для анализа роли различных слагаемых введем безразмерные эффективные переменные:
V = w exp
wn
2H
0J
^ =
— [exp
zni J
L2H J
dz = ^01 exp
2H0
-1
= Ю0Т
x = — x0
У = y. x0
Здесь ц — параметр, малый в предложении, что волна в целом переносится с локальной скоростью звука, а искажения профиля медленно накапливаются на больших расстояниях. Для справедливости данного приближения необходи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.