ТРЕХМЕРНАЯ ТЕОРИЯ МАГНИТООПТИЧЕСКОИ ЛОВУШКИ
О. Н. Прудников* А. В. Тайченачев, В. И. Юдин
Новосибирский государственный университет, Институт лазерной физики Сибирского отделения Российской академии наук 630090, Новосибирск, Россия
Новосибирский государственный технический университет 630092, Новосибирск, Россия.
Российский квантовый центр 143025, Сколково, Московская. обл., Россия.
Поступила в редакцию 9 июля 2014 г.
Рассмотрена кинетика атомов в трехмерной магнитооптической ловушке (МОЛ). Для атома с оптическим переходом ,]д = 0 —¥ .],, = 1 (-Уд,,: — полные угловые моменты в основном и возбужденном состояниях) в квазиклассическом приближении построена трехмерная модель МОЛ с учетом влияния относительных фаз световых полей на кинетику атомов. Показано, что влиянием относительных фаз можно пренебречь только в пределе малых интенсивностей световых полей. В общем случае выбор относительных фаз может оказывать сильное влияние на кинетику атомов в МОЛ.
DOI: 10.7868/S0044451015040023 1. ВВЕДЕНИЕ
С середины 1980-х гг. лазерное охлаждение атомов является быстро развивающимся направлением на стыке лазерной и атомной физики. В настоящее время лазерно охлажденные атомы широко используются в прецизионной спектроскопии, квантовых стандартах частоты, для достижения конденсации Бозе Эйнштейна, для моделирования квантовых эффектов в конденсированных средах, при изучении межатомных столкновений и в других исследованиях. Основным источником холодных атомов является магнитооптическая ловушка (МОЛ), которая позволяет охлаждать до сверхнизких температур (мкК мК) сравнительно большое количество атомов. За прошедшее время было выполнено большое количество экспериментальных и теоретических исследований МОЛ различных типов [1 6]. Аналитические модели МОЛ, как правило, являются одномерными [7 11]. Это связано с тем, что теоретическое описание кинетики атомов в трехмерной модели МОЛ встречает значительные трудности, связанные со
* E-mail: llf'ffllaser.nsc .ru
сложной пространственной структурой светового поля, образованного тремя парами интерферирующих лазерных пучков. Насколько нам известно, существует только две работы, посвященные построению трехмерной аналитической модели МОЛ в квазиклассическом приближении [12, 13]. В работе [12] авторы ограничиваются линейным приближением по интенсивности поля. В этом приближении основные характеристики МОЛ, усредненные по пространственному периоду, совпадают с предсказаниями одномерной модели. В работе [13] эти характеристики найдены в виде ряда по интенсивности поля (до четвертого порядка). При этом были обнаружены определенные отклонения от предсказаний одномерной модели. Следует отметить ограниченность подхода работы [13]. Во-первых, ряды по интенсивности поля сходятся только при малом насыщении перехода. Во-вторых, при проведении расчетов в работе использовалась конфигурация поля с фиксированными (нулевыми) относительными фазами волн, распространяющихся в ортогональных направлениях, в то время как в экспериментах, как правило, эти фазы меняются неконтролируемым образом. От значений относительных фаз зависит простран-
ственная конфигурация поля (локальные значения амплитуды, фазы и поляризации), что может быть существенным при вычислении характеристик МОЛ. В настоящей работе для атомного перехода Зд = 0 3(: = 1 (Зд,с полные угловые моменты в основном и возбужденном состояниях) в квазиклассическом приближении строится трехмерная модель МОЛ, свободная от указанных выше ограничений. Получены аналитические выражения для основных характеристик МОЛ, пригодные для любых значений насыщения перехода и для произвольной конфигурации поля. Усреднение по пространственному периоду проводится для произвольных значений относительных фаз. При этом обнаружена существенная зависимость усредненных характеристик МОЛ от этих фаз. Результаты, полученные в данной работе, могут оказаться важными для оптимизации параметров МОЛ для атомов Mg, Са, Бг, УЪ, которые используются при разработке и исследовании оптических стандартов частоты нового поколения [14 17].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим движение атомов с полными угловыми моментами Зд = 0 и 3(: = 1 в основном и возбужденном состояниях в монохроматическом поле произвольной пространственной конфигурации:
Е(г Л) = Е(г)е
-ÍU)t
С.С.,
(1)
где Е(г) комплексная векторная амплитуда поля. Кроме того, будем полагать, что на систему наложено статическое неоднородное магнитное поле ква-друпольной конфигурации:
В(г) = ß
1 ,
- (e3,.i: + еуу)
(2)
формирующее совместно с полем (1) потенциал МОЛ. Здесь коэффициент 3 имеет смысл градиента магнитного поля вдоль оси г в центре ловушки. В квазиклассическом приближении, когда импульс фотона много меньше дисперсии атомного импульса (Нк -С кинетика атомов описывается уравнением типа Фоккера Планка:
(1+1НЛг-р,=
а
а2
Лг.р), (3)
где М масса атома,/"(г, р) вигнеровская функция распределения атомов в фазовом пространстве, а Fi(г,р) и Ду(г,р) представляют собой декартовы компоненты силы и тензора диффузии (в пространстве импульсов) в точке (г,р). Для описания распределения холодных атомов вблизи центра ловушки (г = 0) достаточно ограничиться линейными членами в разложении силы по магнитному полю и скорости атома (v = р/М):
Ft(r.p) « F<°>(г) + Г) + r)rj. (4)
г
где F(0) (г) сила светового давления, действующая на неподвижный атом в нулевом магнитном поле, F^(r) линейная по магнитному полю магнитооптическая сила, действующая на неподвижный атом, £у(г) тензор, который определяет линейную по скорости атома поправку к силе светового давления в нулевом магнитном поле. Симметричная часть тензора ^ут'> = (£y+£jj)/2 ость тензор диссипации, задающий линейное по скорости трение. Для тензора диффузии, как правило, достаточно ограничиться вкладами нулевого порядка как по магнитному полю, так и по скорости:
Яу(г,р)«Яу(г).
(5)
3. КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ В ПОЛЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ
Используя методы работ [18,19], можно получить явные аналитические выражения для векторов Е(°)(г) и Е(1^(г) и тензоров £у и Ду в поле произвольной конфигурации (1) и при произвольном насыщении перехода. Сила светового давления линейна по градиенту поля (1):
F,í0) = -ГП
п2
02/4 + S2 + 2П2|и|'
х ^Vj|U|2 + [U* • VjU - U • VjU*] j , (G)
где U(г) = Е(г)/£о безразмерная векторная амплитуда поля, нормированная на скалярную амплитуду Ео, не зависящую от координат. Выбор Ео достаточно произволен. Например, в качестве Ед можно выбрать амплитуду одной из волн, формирующих поле (1), либо среднеквадратичную амплитуду поля. В формуле (6) введены следующие обозначения: 6 = и) — и)о отстройка частоты поля от частоты
перехода и>о, 7 скорость спонтанного распада возбужденного состояния, П = (1Ео/Н частота Раби, соответствующая скалярной амплитуде Ео {й приведенный матричный элемент оператора дипольного
момента). Магнитооптическая сила линейна
как по градиенту поля (1), так и по магнитному полю (2):
= Нцо д
(2П2 |и|2 - о2 - 2¿6-,) П2
(о2/4 + 8* + 2П2|и|2) [26-, + ¿(о2 + 2П2|и|2)]
(У2 + 8П2|и|2 -6/<Ь)«4
(02/4 + 8* + 2П'2|и|2)2 [26-, + ¿(о2 + 2П2|и|2)]
(и* • [В х и]) (У^и* • и) + с.с. (7)
1
Здесь //о магнетон Бора, д фактор Ланде возбужденного состояния. Тензор диссипации можно представить в виде
Л пут) _ Су
Що7е
4Мт3П2
(о2/4 + б2 + 2П2|и|2) [4й"2о2
(7 2 Гг,6(",2
_г(1)
2П2|и|2)21 у
П2|и|2)П4
(о2/4 + б2 + 2П2|и|2)2 •31о4П2|и|2 + 40о2П4|и|44
[4й-272 + (7 32П6|и|6 + 20д"2о4
_г(2)
2П2|и|2)21 у
28д"20'2П2|и|2)П4
2о (о2/4 + ¿2
Г)(-,2/2 + П2|и|2)П4
(7'2/4 + Р
Г) (96П6|и|6
Г(4)
2П2|и|2)3 у
• 2П2|и|2)3 [4й"2о2 + (т Н(462-/2 -
+ 2П2|и|2)2]
4 + 4П4|и|4)П';
СтУ
_ 4(1)
2П2|и|2)21 ' 13
(64д'2
(02/4 + б2 + 2П2|и|2) [4<52о2 + Ь2 ■ -48о2)П4|и|4 + (104д"2 - 6о2)П2|и|:
• 48дчУ2 - Зо6) П4
8(о2/4 + 8* + 2П2|и|2)3 [4(52о2 + (о2 + 2П2|и|2)2]
А\У >з
(8)
где вещественные симметричные тензоры,
квадратичные по градиентам поля (1):
Ст\]] = • ъ^и + ъ^и* ■ у«и, С<2) = (1Ь У«и* - и* • У«и) X
х (и • У,-и* -
= (и • ■
х (и • У,-и* -
с|4) = < (и •
х (и • У,-и* -+ г (и • У,-и* X (и • У«11* -
• и* • У^-и), •и* • У«и) X
• и* • У^-и), -и* • У«и) X
• и* • У^-и) + -и* • У,-и) X и* • ,
О)
4 («■)
и Лу вещественные антисимметричные теизоры, квадратичные по градиентам поля:
А\]] = г • У^-и - У^-ХГ • , Л<2) = г (и* • У«и - и • У«и*) х
х (и • у^-и* + и* • ъ^и) -
- г (и • У«1Г + и* • У«и) х
(10)
Тензор диффузии содержит две компоненты:
Первое слагаемое Ду, обусловленное флуктуация-ми направления вылета спонтанных фотонов, зависит от локальных значений поля (1) и не зависит от его градиентов:
п1яР) = 1(т2 п2
у 5 о2/^ + б"2 + 2П2|и|'
х (и*
• и • У^-и*
йу|и|2^1(иг.и; + и,..и*)|. (И)
где 6.у символ Кронекера. Второе слагаемое, тензор индуцированной диффузии вызва-
но флуктуациями силы светового давления. Тензор Ду"^\ так же как и квадратичен по градиен-
там поля:
п{ Ш) = - Г,2 Г_—_г(1)
у ' ' [72 + 4<Т2 + 8П2|и|2 Ту 1С'.- - (а)
(02 + 4(52 + 8П2|и|2)3 Ту 4 [—12й"2')2 + (о2 + 2П2|и|2)2] П4 + о2(о2 + 4(52 + 8П2|и|2)3
32(5 (о2 + 2П2|и|2)П4
/111
о(о2 + 4(52+8П2|и|2)3 Ту
Формулы (6) (12) обобщают аналитические выражения для кинетических коэффициентов, полученные ранее в различных предельных случаях. Например, в низшем приближении по интенсивности поля (1), т.е. ограничиваясь членами порядка И2, получим из (6) (12) результаты работы [12]. Для простых одномерных конфигураций поля (1) полученные нами формулы воспроизводят хорошо известные результаты одномерных моделей (также представлены в [13]).
4. СТАНДАРТНАЯ КОНФИГУРАЦИЯ МОЛ
Обычно для охлаждения и захвата атомов в МОЛ используются три пары встречных взаимно ортогональных лазерных пучков. Встречные пучки имеют ортогональные циркулярные поляризации (так называемая <т+ <т_-конфигурация). Вблизи центра ловушки лазерные пучки можно аппроксимировать плоскими волнами. Тогда соответствующая конфигурация поля с учетом фаз интерферирующих волн может быть представлена в виде
и(г) = (е^г^ +
+ (е"',', + е ;','. <>'*- +
+ (е^^ + е^р"^)^*», (13)
где циклические орты, соответствующие пра-
в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.