М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2013
УДК 532.526.75
© 2013 г. Е. П. ПОТАНИН
ТРЕХМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ С ТОРМОЗЯЩЕЙ КРЫШКОЙ
Интерес к изучению вращающихся потоков связан как с развитием центробежного метода разделения газовых и изотопных смесей, так и с астрофизическими приложениями. В работе представлена аналитическая нелинейная модель расчета гидродинамических характеристик потока вязкой несжимаемой жидкости во вращающемся цилиндре при наличии тормозящей крышки. Рассмотрены случаи неподвижной и вращающейся крышки. Анализ выполнен на основе системы гидродинамических уравнений Навье—Стокса. Зона течения разбивается на основной поток и торцевые пограничные слои на дне цилиндра и на вращающейся крышке. Основной поток, в свою очередь, разделяется на невязкое квазитвердое ядро и боковой слой, в котором сосредоточен практически весь восходящий циркуляционный поток. Анализ уравнений пограничного слоя на торцевых поверхностях находится приближенным методом Слезкина-Тарга. Решения в пограничных слоях и боковом слое "сшиваются" с распределением скоростей в ядре основного потока. Неизвестные величины угловой скорости ядра и его границы по радиусу Я1 определяются из баланса моментов сил трения, действующих на основной вращающийся поток, и условия неразрывности циркуляционного течения. Проведено сравнение экспериментальных и расчетных результатов.
Ключевые слова: вращающиеся потоки, пограничные слои, вязкая жидкость, ядро потока.
Изучению нелинейных эффектов в случае вращательных гидродинамических движений вязкой среды посвящено значительное количество монографий и статей, например [1—8]. В этих работах исследовались случаи движения газа как вблизи вращающихся в безграничном пространстве дисков, так и газодинамические характеристики внутри быстро вращающегося ротора с верхним тормозящим диском. Трехмерные течения вблизи вращающегося в безграничном пространстве диска при наличии отсоса и теплопередачи рассматривались в работах [1, 2, 6—8]. Случай проводящей среды рассмотрен в [9, 10]. Течения в ограниченных объемах исследованы в [1, 2, 4, 5, 11].
Наиболее интересная задача состоит в изучении трехмерной гидродинамики вязкого газа, вращающегося в цилиндре при наличии тормозящих элементов в верхней его части. Последние вызывают нарушение равновесия в торцевой зоне и, как следствие, вторичные циркуляционные течения. Эта задача прямо связана с газодинамикой центробежных разделительных устройств. Интерес к изучению течений в быстро вращающемся цилиндре при наличии вращающейся с различной угловой скоростью тормозящей крышки непосредственно обусловлен тем обстоятельством, что такая система моделирует течение в центрифуге с механическим возбуждением циркуляции [11]. При этом если скорость вращения разделяемой смеси определяет радиальный эффект разделения, то вторичные циркуляционные потоки ответственны за умножение первичного эффекта разделения по высоте аппарата.
В самое последнее время в связи со сложностями построения теории аномального переноса материи в аккреционных дисках возрос интерес к изучению вращательных движений обычных и проводящих сред [12]. При попытке наблюдения магнитовраща-тельной неустойчивости в лабораторных экспериментах возникает проблема торцевых поверхностей, вызывающих связанные с нелинейными эффектами вторичные те-
чения, которые не позволяют адекватно истолковать опытные факты [13]. В этой связи изучение нелинейных гидродинамических явлений во вращательных потоках, связанных с наличием тормозящего воздействия торцов, также приобретает важное значение.
Следует отметить, что с гидродинамической точки зрения возникающие внутри вращающегося прямого кругового цилиндра при наличии тормозящих элементов течения условно можно рассматривать как потерю устойчивости вращения среды, в результате чего появляются "наложенные" на азимутальное движение вторичные движения, аналогично тому как в пространстве между двумя вращающимися с различными угловыми скоростями цилиндрами на начальной стадии потери устойчивости азимутального потока жидкости возникают вихри Тейлора. Все эти гидродинамические явления довольно сложны, поскольку вместе с вращательным движением появляются циркуляционные и возникает необходимость учета нелинейных инерционных членов в уравнениях Навье—Стокса. Ситуация усложняется тем обстоятельством, что при больших числах Рейнольдса на торцах образуются тонкие пограничные слои, затрудняющие получение общего аналитического или численного решений гидродинамических уравнений.
Рассмотрим сначала случай, когда торможение вращательного потока обусловлено неподвижным верхним диском (крышкой). На первый взгляд (при отношении длины вращающегося цилиндра к его внутреннему радиусу Х/Л0 < 1) в приосевой зоне должно возникать линейное по высоте распределение окружной скорости сплошной среды Как показывают эксперименты, такая картина течения практически никогда не реализуется. Уже при умеренных скоростях вращения на торцах образуются тонкие пограничные слои, которые оказывают сильное влияние на движение среды. При этом практически во всем объеме, за исключением пограничных слоев на вращающемся торце цилиндра и неподвижной крышке, а также в узкой пристеночной области образуется вращающееся с постоянной угловой скоростью невязкое квазитвердое ядро. Отметим, что впервые вывод об образовании невязкого ядра между вращающимся и неподвижным дисками в случае относительно небольшого зазора был сделан еще Бет-челором [3] и впоследствии подтвержден расчетами Гроне [4]. Экспериментальные данные, полученные Седачем [5], подтвердили наличие квазитвердого ядра потока при больших числах Рейнольдса. Вторая важная особенность вращательного течения в ограниченном пространстве заключается в том, что из-за разбаланса центробежных сил и сил, связанных с радиальным градиентом давления в пограничных слоях, во всем объеме возбуждаются вторичные циркуляционные потоки, замыкающиеся через ядро и пристеночный слой. Радиальное распределение осевой компоненты скорости в основном потоке качественно проиллюстрировано на фиг. 1.
1. Постановка задачи. В газовой центрифуге имеет место существенное перераспределение плотности среды в радиальном направлении. В качестве первого приближения к практически важной задаче рассмотрим случай несжимаемой среды, что соответствует малым значениям вращательного числа Маха.
Исследуем поле скоростей во вращающемся с угловой скоростью ю0 цилиндре при наличии крышки, вращающейся с угловой скоростью ю2 < ®о, не предполагая малость зазора между торцами системы. Учтем, что на обеих торцевых поверхностях образуются тонкие пограничные слои Экмана. Назовем основным объемом всю область потока, за исключением торцевых пограничных слоев. Предположим, что в центральной части основного объема возникает квазитвердое ядро, в котором не действуют силы вязкости (фиг. 2), а к боковой поверхности примыкает вязкий слой, в котором доминирует восходящий осевой поток. Ядро вращается с некоторой угловой скоростью ю:, его радиус обозначим Я1. Эти величины вместе с толщинами пограничных слоев 80, б2, а также параметрами циркуляционного течения подлежат определению. Будем пред-
г, К!
СГ
яп
Фиг. 1. Распределение осевой компоненты скорости Vz по радиусу г при больших угловых скоростях вращения цилиндра ш0: г = 0
Л г
\ ю2_
Фиг. 2. Разделение области течения на ядро основного потока (1), пограничные слои на торцах (2) и боковой поверхности (3)
0
Ь
г
ю
0
полагать, что в основном объеме отсутствуют изменения окружной и осевой компонент скорости по высоте цилиндра: дУ^ / дг = дУ^ / дг = 0.
2. Методика решения. Решение задачи найдем применительно к несжимаемой жидкости в рамках уравнений Навье—Стокса. Рассмотрим сначала пограничные слои на торцах. Для осесимметричных (д / дф = 0) стационарных (д/д1 = 0) ламинарных движений вязкой среды без учета массовых сил справедлива система дифференциальных уравнений Навье—Стокса [1]
dur dur ит 1 dp
Vy-1- + uz —- —- -----
d r
dr
dvL dr
dz du,
r '
p dr (
1d 2ur + 1 du, dr2
2
_ v^ + d u, r dr r2 dz.2
• + u z
dz
p urup
— +-- = V
dup + i dup _ Up + ^
Kdr2 r dr r2 dz2 у
• + uz
dv.
dz
z 1 dp ,
- =---- + v
д v7
pöz
2 Л
dr
1 dvz д vz
2 + —+ 2 r dr
(2.1)
(2.2)
(2.3)
где or, up и uz — радиальная, тангенциальная (окружная) и осевая компоненты скорости, p — давление, v = n/p — кинематическая вязкость, п — динамическая вязкость, р — плотность жидкости. К системе (2.1)—(2.3) добавим уравнение неразрывности
dvr dr
• + ——+ -
duz
dz
= 0
(2.4)
Рассмотрим сначала случай, когда среда над бесконечно протяженным вращающимся с угловой скоростью ю0 диском вращается с постоянной угловой скоростью < ю0. Тогда в основном потоке возбуждается однородный вдоль оси z радиальный градиент давления
dp 2 -г = Pr®i dr
(2.5)
Воспользуемся предложенным впервые Н.А. Слезкиным [2] приближенным методом расчета пограничного слоя на диске, заключающемся в частичном учете инерционных членов и использовании упрощенных условий на границе пограничного слоя. Ось z будем отсчитывать от поверхности диска. В качестве граничных условий примем
z = 0 : vr = 0, Up = Юо-,
z = 5о : ur = 0, Up = ®ir,
и z = 0
(2.6)
dUp
dz
= 0
Исходя из характера вращательного потока, будем искать решение уравнений (2.1), (2.2) и (2.4) в виде
и- = rfi(z), Up = r/2(z), vz = f3(z)
Подставляя (2.7) в (2.1), (2.2) и (2.4) и учитывая (2.5), получим 2/1/2 + ff =У/2М
fi2 + ff - fi = -ю2 + Vi"
2fi + /з' = 0
(2.7)
(2.8) (2.9)
(2.10)
Усредним стоящие в левых частях уравнений (2.8) и (2.9) нелинейные инерционные члены, деленные на V, по толщине пограничного слоя 80
i
6о
A = [ (/i2 + ff - f22)dz v50 J
0 0
(2.11)
6о
в =4- [(2// + /з/2'№ (2.12)
v50
0 0
Тогда решая дифференциальные уравнения /"(т) = А0 и /2''(т) = В с соответствующими (2.6) граничными условиями, где А0 = А + ю1/V, получим
/1(Т1> = - А §2(Т1 - Т12), Т = т (2.13)
2 00
/2(Т1> = ®0 - (®0 - Ю1>(2Т1 - Т12) (2.14)
/з(Т1> = А°^°(3Т12 - 2Т13) (2.15)
6
Подставляя (2.13)—(2.15) в (2.11) и (2.12) и интегрируя с учетом (2.10), найдем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.